中考数学备考《二次函数》专题复习含答案解析Word文档下载推荐.doc
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D、y=﹣(x+)2+
6、(2016•黄石)以x为自变量的二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是( )
A、b≥
B、b≥1或b≤﹣1
C、b≥2
D、1≤b≤2
7、(2016•兰州)二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a(x﹣h)2+k的形式,下列正确的是( )
A、y=(x﹣1)2+2
B、y=(x﹣1)2+3
C、y=(x﹣2)2+2
D、y=(x﹣2)2+4
8、(2016•毕节市)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A、
B、
C、
D、
9、(2016•呼和浩特)已知a≥2,m2﹣2am+2=0,n2﹣2an+2=0,则(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值是( )
A、6
B、3
C、﹣3
D、0
10、(2016•绍兴)抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是( )
A、4
B、6
C、8
D、10
11、(2016•湖北)一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为( )
12、(2016•安顺)某校校园内有一个大正方形花坛,如图甲所示,它由四个边长为3米的小正方形组成,且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形ABCD如图乙所示,DG=1米,AE=AF=x米,在五边形EFBCG区域上种植花卉,则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是( )
二、填空题(共5题;
共5分)
13、如果函数是关于x的二次函数,则k=________
。
14、(2016•河南)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是________.
15、(2016•大庆)直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,当OA⊥OB时,直线AB恒过一个定点,该定点坐标为________.
16、(2016•十堰)已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣2,y1),(﹣1,y2),(1,0),且y1<0<y2,对于以下结论:
①abc>0;
②a+3b+2c≤0;
③对于自变量x的任意一个取值,都有x2+x≥﹣;
④在﹣2<x<﹣1中存在一个实数x0,使得x0=﹣,
其中结论错误的是________
(只填写序号).
17、(2016•菏泽)如图,一段抛物线:
y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2)记为C1,它与x轴交于两点O,A1;
将C1绕A1旋转180°
得到C2,交x轴于A2;
将C2绕A2旋转180°
得到C3,交x轴于A3;
…如此进行下去,直至得到C6,若点P(11,m)在第6段抛物线C6上,则m=________.
三、综合题(共6题;
共81分)
18、(2016•宁夏)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,动点Q从点A出发,以每秒1个单位的速度,沿AB向点B移动;
同时点P从点B出发,仍以每秒1个单位的速度,沿BC向点C移动,连接QP,QD,PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0<x≤3),解答下列问题:
(1)设△QPD的面积为S,用含x的函数关系式表示S;
当x为何值时,S有最大值?
并求出最小值;
(2)是否存在x的值,使得QP⊥DP?
试说明理由.
19、(2016•菏泽)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(﹣2,6),C(2,2)两点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积;
(3)若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,求b的取值范围.
20、(2016•百色)正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线L经过O、P、A三点,点E是正方形内的抛物线上的动点.
(1)建立适当的平面直角坐标系,
①直接写出O、P、A三点坐标;
②求抛物线L的解析式;
(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值.
21、(2016•漳州)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方上的动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;
(3)在
(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使△PBN是等腰三角形?
若存在,请直接写出所有点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
22、(2016•梅州)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.
(1)b=________,c=________,点B的坐标为________;
(直接填写结果)
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?
若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;
若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
23、(2016•包头)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为点D,点E的坐标为(0,﹣1),该抛物线与BE交于另一点F,连接BC.
(1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;
(2)若点H(1,y)在BC上,连接FH,求△FHB的面积;
(3)一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,连接OM,BM,设运动时间为t秒(t>0),在点M的运动过程中,当t为何值时,∠OMB=90°
?
(4)在x轴上方的抛物线上,是否存在点P,使得∠PBF被BA平分?
若存在,请直接写出点P的坐标;
答案解析部分
一、单选题
【答案】D
【考点】解一元二次方程-因式分解法,抛物线与x轴的交点,图象法求一元二次方程的近似根,二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
【解答】∵二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为(1,0),
∴0=1+1+c,
∴c=-2,
∴y=x2+x-2,
当y=0时,
x2+x-2=0,
解得x1=1,x2=-2.
故另一个交点坐标是(-2,0).
故选D.
【分析】先将已知交点坐标代入二次函数的解析式求出c值,再当y=0时,求出关于x的一元二次方程的解,就可以求出另一个交点坐标.
【考点】二次函数与不等式(组)
【解析】【解答】由图象得:
对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5,0),
∴图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,0).
利用图象可知:
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,
∴x<-1或x>5.
故选:
D.
【分析】利用二次函数的对称性,可得出图象与x轴的另一个交点坐标,结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集.
【答案】B
【考点】反比例函数的性质,二次函数的性质,一次函数的性质
【解析】【解答】解:
A、在y=﹣2x中,k=﹣2<0,
∴y的值随x的值增大而减小;
B、在y=3x﹣1中,k=3>0,
∴y的值随x的值增大而增大;
C、在y=中,k=1>0,
D、二次函数y=x2,
当x<0时,y的值随x的值增大而减小;
当x>0时,y的值随x的值增大而增大.
故选B.
【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质考虑4个选项的单调性,由此即可得出结论.本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质以及二次函数的性质,解题的关键是根据函数的性质考虑其单调性.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,熟悉各类函数的性质及其图象是解题的关键.
【考点】二次函数的图象,二次函数的性质
A、∵当a=1,x=﹣1时,y=1+2﹣1=2,
∴函数图象不经过点(﹣1,1),故错误;
B、当a=﹣2时,
∵△=42﹣4×
(﹣2)×
(﹣1)=8>0,
∴函数图象与x轴有两个交点,故错误;
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,
∴若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大,故错误;
D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,
∴若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大,故正确;
【分析】把a=1,x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1,于是得到函数图象不经过点(﹣1,1),根据△=8>0,得到函数图象与x轴有两个交点,根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性.本题考查的是二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
【答案】A
【考点】二次函数图象与几何变换
∵抛物线的解析式为:
y=x2+5x+6,
∴绕原点选择180°
变为,y=﹣x2+5x﹣6,即y=﹣(x﹣)2+,
∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣(x﹣)2+﹣3=﹣(x﹣)2﹣.
故选A.
【分析】先求出绕原点旋转180°
的抛物线解析式,求出向下平移3个单位长度的解析式即可.本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键.
【考点】二次函数的性质,二次函数图象与系数的关系
∵二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,
∴抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限,
当抛物线在x轴的上方时,
∵二次项系数a=1,
∴抛物线开口方向向上,
∴b2﹣1≥0,△=[2(b﹣2)]2﹣4(b2﹣1)≤0,
解得b≥;
当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限时,
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2,
∴x1+x2=2(b﹣2)≥0,b2﹣1≥0,
∴△=[2(b﹣2)]2﹣4(b2﹣1)>0,①
b﹣2>0,②
b2﹣1>0,③
由①得b<,由②得b>2,
∴此种情况不存在,
∴b≥,
【分析】由于二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,所以抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限,根据二次项系数知道抛物线开口方向向上,由此可以确定抛物线与x轴有无交点,抛物线与y轴的交点的位置,由此即可得出关于b的不等式组,解不等式组即可求解.此题主要考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是会根据图象的位置得到关于b的不等式组解决问题.
【考点】二次函数的三种形式
y=x2﹣2x+4配方,得
y=(x﹣1)2+3,
B.
【分析】根据配方法,可得顶点式函数解析式.本题考查了二次函数的三种形式,配方法是解题关键.
【答案】C
【考点】一次函数的图象,二次函数的图象
A、由抛物线可知,a<0,由直线可知,故本选项错误;
B、由抛物线可知,a>0,x=﹣>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;
C、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;
D、由抛物线可知,a<0,x=﹣<0,得b<0,由直线可知,a<0,b>0故本选项错误.
故选C.
【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负,再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致.本题考查抛物线和直线的性质,用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法.
【考点】根与系数的关系,二次函数的最值
∵m2﹣2am+2=0,n2﹣2an+2=0,
∴m,n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根,
∴m+n=2a,mn=2,
∴(m﹣1)2+(n﹣1)2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=(m+n)2﹣2mn﹣2(m+n)+2=4a2﹣4﹣4a+2=4(a﹣)2﹣3,
∵a≥2,
∴当a=2时,(m﹣1)2+(n﹣1)2有最小值,
∴(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值=4(a﹣)2+3=4(2﹣)2﹣3=6,
【分析】根据已知条件得到m,n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根,根据根与系数的关系得到m+n=2a,mn=2,于是得到4(a﹣)2﹣3,当a=2时,(m﹣1)2+(n﹣1)2有最小值,代入即可得到结论.本题考查了根与系数的关系,二次函数的最值,熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.
【考点】二次函数的性质
∵抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,
∴
解得6≤c≤14,
【分析】根据抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,可以得到c的取值范围,从而可以解答本题.本题考查二次函数的性质、解不等式,解题关键是明确题意,列出相应的关系式.
【考点】一次函数的图象,反比例函数的图象,二次函数的图象
∵一次函数y=ax+b经过一、二、四象限,
∴a<0,b>0,
∵反比例函数y=的图象在一、三象限,
∴c>0,
∵a<0,
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向下,
∵b>0,
∴>0,
∵c>0,
∴与y轴的正半轴相交,
【分析】根据一次函数的图象的性质先确定出a、b的取值范围,然后根据反比例函数的性质确定出c的取值范围,最后根据二次函数的性质即可做出判断.本题主要考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的性质,掌握相关性质是解题的关键.
【考点】二次函数的图象,二次函数的应用
S△AEF=AE×
AF=x2,S△DEG=DG×
DE=×
1×
(3﹣x)=,
S五边形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG=9﹣x2﹣=﹣x2+x+,
则y=4×
(﹣x2+x+)=﹣2x2+2x+30,
∵AE<AD,
∴x<3,
综上可得:
y=﹣2x2+2x+30(0<x<3).
A
【分析】先求出△AEF和△DEG的面积,然后可得到五边形EFBCG的面积,继而可得y与x的函数关系式.本题考查了动点问题的函数图象,解答本题的关键是求出y与x的函数关系式,对于有些题目可以不用求出函数关系式,根据走势或者特殊点的值进行判断.
二、填空题
【答案】0
【考点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵函数y=(k-1)xk²
-k+2+kx-1是关于x的二次函数,
∴k-1≠0且k2-k+2=2,解得k=0或k=1,
∴k=0.
故答案为0.
【分析】根据二次函数的定义得到k-1≠0且k2-k+2=2,然后解不等式和方程即可得到k的值.
【答案】
(1,4)
【考点】二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征
∵A(0,3),B(2,3)是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点,∴代入得:
,
解得:
b=2,c=3,
∴y=﹣x2+2x+3
=﹣(x﹣1)2+4,
顶点坐标为(1,4),
故答案为:
(1,4).
【分析】把A、B的坐标代入函数解析式,即可得出方程组,求出方程组的解,即可得出解析式,化成顶点式即可.本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征的应用,能求出函数的解析式是解此题的关键.
(0,4)
【考点】二次函数的性质,一次函数的性质
∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,∴kx+b=,
化简,得
x2﹣4kx﹣4b=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4b,
又∵OA⊥OB,
∴,
解得,b=4,
即直线y=kx+4,故直线恒过顶点(0,4),
(0,4).
【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,可以联立在一起,得到关于x的一元二次方程,从而可以得到两个之和与两根之积,再根据OA⊥OB,可以求得b的值,从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标.本题考查二次函数的性质、一次函数的性质,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,知道两条直线垂直时,它们解析式中的k的乘积为﹣1.
【答案】②
【考点】二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征
由题意二次函数图象如图所示,
∴a<0.b<0,c>0,
∴abc>0,故①正确.
∵a+b+c=0,
∴c=﹣a﹣b,
∴a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a,
又∵x=﹣1时,y>0,
∴a﹣b+c>0,
∴b﹣a<c,
∵c>O,
∴b﹣a可以是正数,
∴a+3b+2c≤0,故②错误.
故答案为②.
∵函数y′=x2+x=(x2+x)=(x+)2﹣,∵>0,∴函数y′有最小值﹣,∴x2+x≥﹣,故③正确.
∵y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0),
∴a+b+c=0,
令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0,设它的两个根为x1,1,
∵x1•1==﹣,∴x1=﹣,
∵﹣2<x1<x2,
∴在﹣2<x<﹣1中存在一个实数x0,使得x0=﹣,故④正确,
【分析】①正确.画出函数图象即可判断.
②错误.因为a+b+c=0,所以a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a,又a﹣b+c>0,所以b﹣a<c,故b﹣a可以是正数,由此可以周长判断.
③正确.利用函数y′=x2+x=(x2+x)=(x+)2﹣,根据函数的最值问题即可解决.④令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0,设它的两个根为x1,1,则x1•1==﹣,求出x1即可解决问题.本题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征,解题的关键是灵活应用二次函数的性质解决问题,学会构建二次函数解决最值问题,属于中考填空题中的压轴题.
【答案】-1
【考点】二次函数图象与几何变换,抛物线与x轴的交点
∵y=﹣x(x﹣2)(0≤x≤2),
∴配方可得y=﹣(x﹣1)2+1(0≤x≤2),
∴顶点坐标为(1,1),
∴A1坐标为(2,0)
∵C2由C1旋转得到,
∴OA1=A1A2,即C2顶点坐标为(3,﹣1),A2(4,0);
照此类推可得,C3顶点坐标为(5,1),A3(6,0);
C4顶点坐标为(7,﹣1),A4(8,0);
C5顶点坐标为(9,1),A5(10,0);
C6顶点坐标为(11,﹣1),A6(12,0);
∴m=﹣1.
﹣1.
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点,由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等,且OA1=A1A2,照此类推可以推导知道点P(11,m)为抛物线C6的顶点,从而得到结果.本题考查了二次函数的性质及旋转的性质,解题的关键是求出抛物线的顶点坐标.
三、综合题
(1)解:
∵四边形ABCD为矩形,
∴BC=AD=4,CD=AB=3,
当运动x秒时,则AQ=x,BP=x,
∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x,CP=BC﹣BP=4﹣x,
∴S△ADQ=AD•AQ=×
4x=2x,S△BPQ=BQ•BP=(3﹣x)x=x﹣x2,S△PCD=PC•CD=•(4﹣x)•3=6﹣x,
又S矩形ABCD=AB•BC=3×
4=12,
∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣(x﹣x2)﹣(6﹣x)=x2﹣2x+6=(x﹣2)2+4,
即S=
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