中考数学压轴题专题训练Word格式.doc
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抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0),B(3,0),C(0,-3).
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)如图①,点P是直线BC上方抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交直线BC于点E.是否存在一点P,使线段PE的长最大?
若存在,求出PE长的最大值;
若不存在,请说明理由;
(3)如图②,过点A作y轴的平行线,交直线BC于点F,连接DA、DB.四边形OAFC沿射线CB方向运动,速度为每秒1个单位长度,运动时间为t秒,当点C与点B重合时立即停止运动.设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S,请求出S与t的函数关系式.
1.4(2015·
重庆A)
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点W,顶点为C,抛物线的对称轴与x轴的交点为D.
(1)求直线BC的解析式;
(2)点E(m,0),F(m+2,0)为x轴上两点,其中2<m<4,EE'
,FF'
分别垂直于x轴,交抛物线于点E'
,F'
,交BC于点M,N,当ME'
+NF'
的值最大时,在y轴上找一点R,使|RF'
-RE'
|的值最大,请求出R点的坐标及|RF'
|的最大值;
(3)如图2,已知x轴上一点P(,0),现以P为顶点,2为边长在x轴上方作等边三角形QPG,使GP⊥x轴,现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移,当点P到达点A时停止,记平移后的△QPG为△Q'
P'
G'
.设△Q'
与△ADC的重叠部分面积为s.当Q'
到x轴的距离与点Q'
到直线AW的距离相等时,求s的值.
二、运动形成的最值问题
2.1(2010·
永州)
探究问题:
(1)阅读理解:
①如图(A),在已知△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形顶点的距离之和最小,则称点P为△ABC的费马点,此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离;
②如图(B),若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上,则有AB•CD+BC•DA=AC•BD.此为托勒密定理;
(2)知识迁移:
①请你利用托勒密定理,解决如下问题:
如图(C),已知点P为等边△ABC外接圆的BC(︵)上任意一点.求证:
PB+PC=PA;
②根据
(2)①的结论,我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°
)的费马点和费马距离的方法:
第一步:
如图(D),在△ABC的外部以BC为边长等边△BCD及其外接圆;
第二步:
在BC(︵)上任取一点P'
,连接P'
A、P'
B、P'
C、P'
D.易知P'
A+P'
B+P'
C=P'
A+(P'
C)=P'
A+_______;
第三步:
请你根据
(1)①中定义,在图(D)中找出△ABC的费马点P,并请指出线段________的长度即为△ABC的费马距离.
(3)知识应用:
2010年4月,我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象,许多村庄出现了人、畜饮水困难,为解决老百姓的饮水问题,解放军某部来到云南某地打井取水.
已知三村庄A、B、C构成了如图(E)所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°
),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.
2.2(2011·
丹东)
己知:
二次函数y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点A、点B的横坐标是一元二次方程x2-4x-12=0的两个根.
(1)请直接写出点A、点B的坐标.
(2)请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标.
(3)如图1,在二次函数对称轴上是否存在点P,使△APC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(4)如图2,连接AC、BC,点Q是线段0B上一个动点(点Q不与点O、B重合).过点Q作QD∥AC交BC于点D,设Q点坐标(m,0),当△CDQ面积S最大时,求m的值.
2.3(2014·
重庆B)
如图1,在□ABCD中,AH⊥DC,垂足为H,AB=4,AD=7,AH=.现有两个动点E,F同时从点A出发,分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动,在点E,F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使△EFG与△ABC在射线AC的同侧,当点E运动到点C时,E,F两点同时停止运动,设运动时间为t秒.
(1)求线段AC的长;
(2)在整个运动过程中,设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式,并写出相应的自变量t的取值范围;
(3)当等边△EFG的顶点E到达点C时,如图2,将△EFG绕着点C旋转一个角度α(0°
<α<360°
),在旋转过程中,点E与点C重合,F的对应点为F'
,G的对应点为G'
,设直线F'
与射线DC、射线AC分别相交于M,N两点.试问:
是否存在点M,N,使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形?
若存在,请求出CM的长度;
2.4(2015·
福州)
如图,抛物线y=x2-4x与x轴交于O,A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.
(1)这条抛物线的对称轴是________,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是_________;
(2)若两个三角形面积满足S△POQ=S△PAQ,求m的值;
(3)当点P在x轴下方的抛物线上时,过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D,求:
①PD+DQ的最大值;
②PD•DQ的最大值.
三、运动形成的存在性问题
3.1(2014·
莆田)
如图,在边长为4的正方形ABCD中,动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动,动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线BC—CD向点D运动,动点E比动点F先出发1秒,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设点F的运动时间为t秒.
(1)点F在边BC上.
①如图1,连接DE,AF,若DE⊥AF,求t的值;
②如图2,连结EF,DF,当t为何值时,△EBF与△DCF相似?
(2)如图3,若点G是边AD的中点,BG,EF相交于点O,试探究:
是否存在在某一时刻t,使得?
若存在,求出t的值;
若不存在,请说明理由.
3.2(2012·
襄阳)
如图,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处.分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三点.
(1)求AD的长及抛物线的解析式;
(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?
(3)点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);
3.3(2013·
恩施州)
如图所示,直线l:
y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,抛物线过点B、C和D(3,0).
(1)求直线BD和抛物线的解析式.
(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上,以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似,求所有满足条件的点N的坐标.
(3)在抛物线上是否存在点P,使S△PBD=6?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,说明理由.
3.4(2013·
贵港)
如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等?
若存在,请求出直线PE的解析式;
3.5(2013·
湖州)
如图①,O为坐标原点,点B在x轴的正半轴上,四边形OACB是平行四边形,sin∠AOB=,反比例函数y=(k>0)在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F.
(1)若OA=10,求反比例函数解析式;
(2)若点F为BC的中点,且△AOF的面积S=12,求OA的长和点C的坐标;
(3)在
(2)中的条件下,过点F作EF∥OB,交OA于点E(如图②),点P为直线EF上的一个动点,连接PA,PO.是否存在这样的点P,使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形?
若存在,请直接写出所有点P的坐标;
3.6(2013·
临沂)
如图,抛物线经过A(-1,0),B(5,0),C(0,-)三点.
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?
若存在,求点N的坐标;
3.7(2012·
北海)
如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A=90°
,AB=AC,A(-2,0)、B(0,1)、C(d,2).
(1)求d的值;
(2)将△ABC沿x轴的正方向平移,在第一象限内B、C两点的对应点B'
、C'
正好落在某反比例函数图象上.请求出这个反比例函数和此时的直线B'
C'
的解析式;
(3)在
(2)的条件下,直线BC交y轴于点G.问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC'
是平行四边形?
如果存在,请求出点M和点P的坐标;
如果不存在,请说明理由.
3.8(2015·
雅安)
如图,已知抛物线C1:
y=-x2,平移抛物线y=x2,使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上,设平移后的抛物线为C2,且C2与y轴交于点C(0,2).
(1)求抛物线C2的解析式;
(2)抛物线C2与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧),求点A,B的坐标及过点A,B,C的圆的圆心E的坐标;
(3)在过点(0,)且平行于x轴的直线上是否存在点F,使四边形CEBF为菱形?
若存在,求出点F的坐标;
四、运动形成的几何定值、恒等问题
4.1(2010·
镇江)
对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,即:
当n为非负整数时,如果n−≤x<n+,则<x>=n.
如:
<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.493>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>=4,…
试解决下列问题:
(1)填空:
①<π>=________(π为圆周率);
②如果<2x-1>=3,则实数x的取值范围为____________;
(2)①当x≥0,m为非负整数时,求证:
<x+m>=m+<x>;
②举例说明<x+y>=<x>+<y>不恒成立;
(3)求满足<x>=x的所有非负实数x的值;
(4)设n为常数,且为正整数,函数y=x2−x+的自变量x在n≤x<n+1范围内取值时,函数值y为整数的个数记为a,满足<k>=n的所有整数k的个数记为b.求证:
a=b=2n.
4.2(2012·
广州)
如图,抛物线y=-x2-x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
4.3(2012·
义乌市)
如图1,已知直线y=kx与抛物线交于点A(3,6).
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:
线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?
如果是,求出这个定值;
如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:
m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
4.4(2013·
在平面直角坐标系中,已知M1(3,2),N1(5,-1),线段M1N1平移至线段MN处(注:
M1与M,N1与N分别为对应点).
(1)若M(-2,5),请直接写出N点坐标.
(2)在
(1)问的条件下,点N在抛物线y=x2+x+k上,求该抛物线对应的函数解析式.
(3)在
(2)问条件下,若抛物线顶点为B,与y轴交于点A,点E为线段AB中点,点C(0,m)是y轴负半轴上一动点,线段EC与线段BO相交于F,且OC:
OF=2:
,求m的值.
(4)在(3)问条件下,动点P从B点出发,沿x轴正方向匀速运动,点P运动到什么位置时(即BP长为多少),将△ABP沿边PE折叠,△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的,求此时BP的长度.
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