昆明数学中考压轴题含答案Word下载.doc
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解得:
k=,b=
∴直线AB的解析式为y=x+7分
当x=-1时,y=
∴所求点C的坐标为(-1,)8分
(4)设P(x,y),(-2<
x<
0,y<
0),则y=x2+x①
过点P作PQ⊥x轴于点Q,PG⊥x轴于点G,过点A作AF⊥PQ于点F,过点B作BE⊥PQ于点E,则PQ=-x,PG=-y,由题意可得:
S△PAB=S梯形AFEB-S△AFP-S△BEP9分
=(AF+BE)·
FE-AF·
FP-PE·
BE
=(-y+-y)(1+2)-(-y)(x+2)-(1-x)(-y)
=-y+x+②
将①代入②,化简得:
S△PAB=-x2-x+10分
=-(x+)2+
∴当x=-时,△PAB的面积有最大值,最大面积为.11分
此时,y=·
+·
(-)=-
∴点P的坐标为(-,-)12分
2.(2008昆明)如图,在直角坐标系中,以点为圆心,以6为半径的圆分别交轴的正半轴于点,交轴的负半轴于点,交轴的正半轴于点,过点的直线交轴的负半轴于点.
(1)求两点的坐标;
(2)求证:
直线是的切线;
(3)若抛物线经过两点,求此抛物线的解析式;
M
D
C
E
F
(4)连接,若(3)中抛物线的对称轴分别与直线交于点,与交于点,如果点是抛物线上的动点,是否存在这样的点,使得,若存在,请求出此时点的坐标;
若不存在,请说明理由.(注意:
(1)连接CM,由题意得:
OM=3,OB=3,OE=9,MC=6
OA=OM+MA=3+6=9
A(9,0)……………………………………1分
∴C(0,)……………………………………2分
(2)证法一:
在Rt△DCO中,
在△DCM中,
……………………………………3分
∴△DCM直角三角形。
……………………………………4分
∴MC⊥DC,而MC是⊙M的半径
∴CD是⊙M的切线。
……………………………………5分
证法二:
在Rt△COM中,
在Rt△DOC中,
,而MC中的⊙M半径。
证法三:
在△CMO和△DMC中
又
(3)由抛物线经过点M(3,0)和点A(9,0),可得:
解得:
……………………………………6分
∴抛物线的解析式为:
……………………………………7分
(4)存在。
……………………………………8分
方法一:
设直线CD的解析式为,点C和点D(—9,0)在此直线上,可得:
解得:
∴直线CD的解析式为:
设直线AC的解析式为,点A(9,0)和点C在此直线上,可得:
解得:
∴直线AC的解析式为:
∵抛物线的对称轴为
又∵点E是对称轴和直线CD的交点
当x=6时,
点E的坐标为(6,)
双点F是对称轴和直线AC交点
∴当x=6时,
∴点F的坐标为(6,)
∴
过点C作CG⊥EF于点G,则CG=6
①若点P在轴的上方,设点P坐标为(x,y)
y=4
当y=4时,即,解得
……………………………………10分
②若点P在x轴上,则点P与点M或与点A重合,此时构不成三角形。
③若点P在x轴下方,设点P的坐标为(x,y)
y=-4
当y=-4时,即,解得
……………………………………12分
∴这样的点共有4个,,
方法二:
存在……………………………………8分
设抛物线的对称轴交x轴于点H
在
(2)中已证:
∵抛物线的对称轴平行于y轴
∵OD=OA=9
∴CO垂直平分AD
在Rt△AFH中,
∴△CEF是等边三角形
可得:
3.(2009昆明)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯形,OA∥BC,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(4,3),点C在y轴的正半轴上.动点M在OA上运动,从O点出发到A点;
动点N在AB上运动,从A点出发到B点.两个动点同时出发,速度都是每秒1个单位长度,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止,设两个点的运动时间为t(秒).
(1)求线段AB的长;
当t为何值时,MN∥OC?
(2)设△CMN的面积为S,求S与t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围;
S是否有最小值?
若有最小值,最小值是多少?
N
(3)连接AC,那么是否存在这样的t,使MN与AC互相垂直?
若存在,求出这时的t值;
若不存在,请说明理由.
(1)过点作于点, 1分
则四边形是矩形,
,,.
在中,. 2分
当时,,
,. 3分
∵,,
∴, 4分
即(秒). 5分
(2)过点作轴于点,交的延长线于点,
∵,
∴,.
即,. 6分
,.
, 7分
.
即(). 8分
由,得.
当时,有最小值,且. 9分
4.(2010昆明)在平面直角坐标系中,抛物线经过O(0,0)、A(4,0)、B(3,)三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)以OA的中点M为圆心,OM长为半径作⊙M,在
(1)中的抛物线上是否存在这样的点P,过点P作⊙M的切线l,且l与x轴的夹角为30°
,若存在,请求出此时点P的坐标;
若不存在,请说明理由.(注意:
本题中的结果可保留根号)
(1)设抛物线的解析式为:
由题意得:
……………1分
………………2分
………………3分
(2)存在 ………………4分
l′
抛物线的顶点坐标是,作抛物线和⊙M(如图),
设满足条件的切线l与x轴交于点B,与⊙M相切于点C
连接MC,过C作CD⊥x轴于D
∵MC=OM=2,∠CBM=30°
CM⊥BC
∴∠BCM=90°
,∠BMC=60°
,BM=2CM=4,∴B(-2,0)
在Rt△CDM中,∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°
∴DM=1,CD==∴C(1,)
设切线l的解析式为:
,点B、C在l上,可得:
解得:
∴切线BC的解析式为:
∵点P为抛物线与切线的交点
由解得:
∴点P的坐标为:
,………………8分
∵抛物线的对称轴是直线
此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形
于是作切线l关于直线的对称直线l′(如图)
得到B、C关于直线的对称点B1、C1
l′满足题中要求,由对称性,得到P1、P2关于直线的对称点:
,即为所求的点.
∴这样的点P共有4个:
,,,………12分
5.(2011昆明)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AB=10cm,AC:
BC=4:
3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动.
(1)求AC、BC的长;
(2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm2),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似,请说明理由;
(4)当x=5秒时,在直线PQ上是否存在一点M,使△BCM得周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明理由.
(1)设AC=4x,BC=3x,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即:
(4x)2+(3x)2=102,解得:
x=2,∴AC=8cm,BC=6cm;
(2)①当点Q在边BC上运动时,过点Q作QH⊥AB于H,
∵AP=x,∴BP=10﹣x,BQ=2x,∵△QHB∽△ACB,
∴,∴QH=x,y=BP•QH=(10﹣x)•x=﹣x2+8x(0<x≤3),
②当点Q在边CA上运动时,过点Q作QH′⊥AB于H′,
∵AP=x,
∴BP=10﹣x,AQ=14﹣2x,∵△AQH′∽△ABC,
∴,即:
,解得:
QH′=(14﹣x),
∴y=PB•QH′=(10﹣x)•(14﹣x)=x2﹣x+42(3<x<7);
∴y与x的函数关系式为:
y=;
(3)∵AP=x,AQ=14﹣x,
∵PQ⊥AB,∴△APQ∽△ACB,∴,即:
,
x=,PQ=,∴PB=10﹣x=,∴,
∴当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似;
(4)存在.
理由:
∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4,AP=x=5,∵AC=8,AB=10,
∴PQ是△ABC的中位线,∴PQ∥AB,∴PQ⊥AC,
∴PQ是AC的垂直平分线,∴PC=AP=5,∴当点M与P重合时,△BCM的周长最小,
∴△BCM的周长为:
MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16.∴△BCM的周长最小值为16.
6.(2012昆明)如图,在平面直角坐标系中,直线交轴于点,交轴于点,抛物线的图象过点,并与直线相交于、两点.
求抛物线的解析式(关系式);
过点作交轴于点,求点的坐标;
除点外,在坐标轴上是否存在点,使得是直角三角形?
若存在,请求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
;
、或、或、或、或
解:
如图,因为一次函数交轴于点,所以,,,
即.
又,一次函数交轴于点,所以,
,,即.
由、是抛物线的图象上的点,
所以,抛物线的解析式是:
如图,、
∴在中,
∴点的坐标:
设除点外,在坐标轴上还存在点,使得是直角三角形,
即或
.在中,若,那么是以为直径的圆与坐标轴的交点,这时会在轴的正半轴上和轴的正半轴上.
.若交点在轴的正半轴上(如图),设,则有,
,此时
.若交点在轴的正半轴上(如图),设,此时过作垂直轴于点,则有,于是:
,
,
此时,或
.在中,若,即过作,这时会在轴的正半轴上和轴的负半轴上.
.在轴的正半轴上,如图,设,同样过作垂直轴于点,则在中,有
,
此时,
.在轴的负半轴上,如图,设,过作垂直轴于点,则在中,有,即:
此时,
综上所述,除点外,在坐标轴上还存在点,使得是直角三角形,满足条件的点的坐标是:
、或、或、或,或共五个点.
7.(2013昆明)如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,点A在轴的正半轴上,点C在轴的正半轴上,=4,=3,若抛物线的顶点在边BC上,且抛物线经过、两点,直线AC交抛物线于点D。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)若点M在抛物线上,点N在轴上,是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点N的坐标;
若不存在,请说明理由。
(1)由题意知:
A(4,0),C(0,3),BC=4。
∴BC的中点坐标为(2,3)
由对称性可知:
抛物线的顶点坐标为(2,3)
设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,
由抛物线的顶点坐标为(2,3),则h=2,k=3
将O(0,0)代入得:
0=a(0-2)2+3,解得:
a=-
抛物线的解析式为y=-x2+3x
(2)解:
设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(4,0),C(0,3)代入解析式可得:
解得:
∴直线AC的解析式为
由解得或
∴抛物线与直线AC的交点的坐标为(1,)和(4,0)
∴点D的坐标为(1,)
(3)存在。
①若点M在x轴的上方
如图
(1),过点D作DM∥x轴交抛物线于点M
N1
N2
图1
∵DM=2,要使以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,须有AN=2,
∴N1(2,0),N2(6,0)
②若点M在x轴的下方
图2
M4
N4
N3
M3
如图
(2)所示,要使以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形,
须有|Dy|=|My|=,且MN∥AD
∴My=-
∵点M在抛物线y=-x2+3x上
∴-x2+3x=-
x1=2+,x2=2-,
此时M3(2+,-),M4(2-,-)
Ⅰ.当M3(2+,-),∵M3N3∥AD
设直线M3N3的解析式为y=-x+b,把M3(2+,-)代入解得:
b=
直线M3N3的解析式为y=-x+
令y=0,解得:
x=-1,∴N3(-1,0)
Ⅱ.当M4(2-,-),∵M4N4∥AD
同理可得直线M4N4的解析式为y=-x+
令y=0,解得:
x=-1,∴N4(-1,0)
综上所述,满足条件的点N有四个:
N1(2,0),N2(6,0),N3(-1,0),N4(-1,0)
8.(2014昆明)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C。
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动。
其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动。
当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最多面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使,求K点坐标。
9.(2015昆明)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(4,0),抛物线的对称轴是直线x=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)M为第一象限内的抛物线上的一个点,过点M作MG⊥x轴于点G,交AC于点H,当线段CM=CH时,求点M的坐标;
(3)在
(2)的条件下,将线段MG绕点G顺时针旋转一个角α(0°
<α<90°
),在旋转过程中,设线段MG与抛物线交于点N,在线段GA上是否存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似?
如果存在,请求出点P的坐标;
如果不存在,请说明理由.
(1)∵x=﹣=,b=,
∴a=﹣,
把A(4,0),a=﹣代入y=ax2+x+c,
可得()×
42+×
4+c=0,
解得c=2,
则抛物线解析式为y=﹣x2+x+2.
(2)如图1,连接CM,过C点作CE⊥MH于点E,
∵y=﹣x2+x+2,
∴当x=0时,y=2,
∴C点的坐标是(0,2),
设直线AC解析式为y=kx+b(k≠0),
把A(4,0)、C(0,2)代入y=kx+b,
可得,
∴直线AC解析式为y=﹣x+2,
∵点M在抛物线上,点H在AC上,MG⊥x轴,
∴设点M的坐标为(m,﹣m2+m+2),H(m,﹣m+2),
∴MH=﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)=﹣m2+2m,
∵CM=CH,OC=GE=2,
∴MH=2EH=2×
[2﹣(﹣m+2)]=m,
又∵MH=﹣m2+2m,
∴﹣m2+2m=m,
即m(m﹣2)=0,
解得m=2或m=0(不符合题意,舍去),
∴m=2,
当m=2时,
y=﹣×
22+×
2+2=3,
∴点M的坐标为(2,3).
(3)存在点P,使以P,N,G为顶点的三角形与△ABC相似,理由为:
∵抛物线与x轴交于A、B两点,A(4,0),A、B两点关于直线x=成轴对称,
∴B(﹣1,0),
∵AC==2,BC==,AB=5,
∴AC2+BC2=+=25,AB2=52=25,
∵AC2+BC2=AB2=25,
∴△ABC为直角三角形,
∴∠ACB=90°
线段MG绕G点旋转过程中,与抛物线交于点N,当NP⊥x轴时,∠NPG=90°
设P点坐标为(n,0),
则N点坐标为(n,﹣n2+n+2),
①如图2,
当=时,
∵∠N1P1G=∠ACB=90°
∴△N1P1G∽△ACB,
∴=,
n1=3,n2=﹣4(不符合题意,舍去),
当n1=3时,
32+×
3+2=2,
∴P的坐标为(3,2).
②当=时,
∵∠N2P2G=∠BCA=90°
∴△N2P2G∽△BCA,
∴,
n1=1,n2=1﹣(不符合题意,舍去),
当n1=1时,
(1+)2+×
(1)+2=,
∴P的坐标为(1,).
又∵点P在线段GA上,
∴点P的纵坐标是0,
∴不存在点P,使得以P、N、G为顶点的三角形与△ABC相似.
10.(2016昆明中考)
如图1,对称轴为直线x=的抛物线经过B(2,0)、C(0,4)两点,抛物线与x轴的另一交点为A
(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点,设四边形COBP的面积为S,求S的最大值;
(3)如图2,若M是线段BC上一动点,在x轴是否存在这样的点Q,使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形?
若存在,求出点Q的坐标;
【考点】二次函数综合题.
【分析】
(1)由对称轴的对称性得出点A的坐标,由待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形,表示出面积S,化简后是一个关于S的二次函数,求最值即可;
(3)画出符合条件的Q点,只有一种,①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式;
②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程;
两方程式组成方程组求解并取舍.
11.(2017昆明中考)已知二次函数(3,8),该二次函数图像的对称轴与轴的交点为A,M是这个二次函数图像上的点,是原点
(1)不等式是否成立?
请说明理由;
(2)设是△AMO的面积,求满足的所有点M的坐标。
【考点】二次函数性质
【解析】
(1)
(直接用顶点公式展开也可求出b、c值)
(2)设
①②
21
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