几何证明题及常见的添加辅助线方法.docx
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几何证明题及常见的添加辅助线方法
学科教师辅导讲义
课题
几何证明例题及常见的添加辅助线方法
教学目标
1、能熟练掌握全等三角形判定及性质,理解并掌握等腰和等边三角形的判定和性质定理;
2、了解添置辅助线的基本方法,会添置常见的几种辅助线;
3、会运用添加辅助线的方法来解决几何证明问题。
教学内容
【证明题例解】
例1、
(1)已知:
如图,AD∥BC,点E是DC的中点,AE平分∠BAD.求证:
BE平分∠ABC.
年级:
辅导科目:
数学
学科教师:
2)已知:
如图,在△ABC中,CD是△ABC的角平分线,BC=AC+AD。
求证:
∠A=2∠B.
例2、已知:
如图3-41,AB=AD,CB=CD.求证:
(1)AC平分∠BAD和∠BCD;
(2)AC⊥BD.
针对训练:
1、已知,如图,AB、CD相交于点O,△ACO≌△BDO,CE∥DF。
求证:
CE=DF。
例3、如图3-42,已知:
AB=AC,BE与CF相交于点O,BO=CO.求证:
OE=OF.
4、如图,AB=AD,BC=CD,AC、BD交于E,由这些条件可以得出若干结论。
请你写出其中三个正确的结论(不要添加字母和辅助线)。
C
5、己知,△ABC中,AB=AC求证:
①
②
PE+PF=CD.PE–PF=CD.
6、已知,如图
5,△ABC中,
∠ADB=∠CDF。
,CD⊥AB,垂足为D,P是BC上任一点,PE⊥AB,PF⊥AC垂足分别为E、F,
A
P
AB=AC,∠BAC=900,D是AC的中点,
AF⊥BD于E,交BC于F,
连结DF。
求证:
常用的添加辅助线的方法】
1、构造全等三角形
例1、已知?
ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,是AE=BD,联结CE,DE求证:
CE=DE
【提示】:
延长CD到F,是CF=AE,联结EF
2、“倍长中线”法
其实质是把三角形绕中点旋转180o,使两个三角形组成一个三角形,再证所得三角形为等腰三角形)
例2、已知在?
ABC中,AD是中线,BE交AD于点F,AE=EF。
求证:
AC=BF
方法1:
延长AD到点G,使DG=AD,联结BG。
方法2:
过点C作CH//BE交AD延长线于点H
3、“截长补短”法
补短:
延长两条线段中的一条,使其等于两条线段之和)
截长:
在线段上截取一段等于另两条线段中的一条,再证余下的部分等于另一条线段
例3、已知?
ABC中,AD是∠BAC的角平分线,∠B=2∠C,
求证:
AB+BD=AC
方法1:
补短法:
延长AB至E,使AE=AC,联结DE
方法2:
截长法:
在AC上截取AF=AB联结DF
4、“分割图形”法如果题目所给的是多边形,也将多边形分割成三角形来研究,如图
针对练习:
1、如图,已知AD∥BC,AE平分∠DAB,EB平分∠ABC,点E在CD上,求证:
AB=AD+BC
【提示】:
截长法:
在AB上截取AF=AD,联结EF
补短法:
延长AD到点M,使AM=AB
2、已知D为EC的中点,EF∥AB,且EF=AC,求证:
AD平分∠BAC.【提示】:
倍长中线法:
延长FD至G,使FD=DG,联结CG
3、已知:
如图,点D在边BC上,BD=CD,∠1=∠2.求证:
AB=AC.
4、已知如图,正方形ABCD中,对角线中点是O,AD中点是H,要求分割图形找答案。
课后练习】
1、已知,如图,M、N在AB上,AC=MP,AM=BN,BC=PN。
求证:
AC∥MP
2、已知,如图,AB=CD,DF⊥AC于F,BE⊥AC于E,DF=BE。
求证:
AF=CE。
3、已知,如图,AB⊥AC,AB=AC,AD⊥AE,AD=AE。
求证:
BE=CD。
6、如图,EG∥AF,请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确的命题。
①AB=AC②DE=DF③BE=CF
7、如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD,图中有没有和△ABE全等的三角形?
请说明理由。
8、、如图,正方形ABCD的边长为1,G为CD边上一动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方形ABCD
外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于H。
求证:
①△BCG≌△DCE
②BH⊥DE
全等三角形内容提要判断三角形全等的方法:
典型例题
例1.在三角形ABC中,点E在BC上,点D在AE上,且ABD=ACD,请再添加一条件,使BE=CE成立例2.已知BD,CE是ABC的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB。
试证:
AP=AQ且APAQ。
(图另附)
ABC
例3.在ABC内,BAC=60°,ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别是BAC、的角平分线。
求证:
BQ+AQ=AB+BP。
(图另附)
1)证明:
ABCA1B1C1
立?
写出你的证明过程。
例6.在四边形ABCD中,已知AB=a,AD=b,BC=DC,对角线AC平分BAD。
问:
a和b的大小关系符合什么条件时,有B+D=180°,请画出图形,并证明你的结论。
例7.ABC是等腰直角三角形,ACB=90°,D是AC的中点,连接BD,作ADF=CDB,连接CF交BD于E。
求证:
BDCF.(图另附)
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