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对立事件
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
互斥事件与对立事件区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.
三、概率的几个基本性质
1.概率的取值范围:
0≤P(A)≤1.
2.必然事件的概率P(E)=1.
3.不可能事件的概率P(F)=0.
4.概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B).
5.对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).
1.总数为10万张的彩票,中奖率是
,下列说法中正确的是( )
A.买1张一定不中奖
B.买1000张一定有一张中奖
C.买2000张一定中奖
D.买2000张不一定中奖
【解析】 由题意知,彩票中奖属于随机事件,故买1张也可能中奖,买2000张也可能不中奖.
【答案】 D
2.袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则①恰有1个白球和全是白球;
②至少有1个白球和全是黑球;
③至少有1个白球和至少有2个白球;
④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中,是对立事件的为( )
A.① B.② C.③ D.④
【解析】 至少有1个白球和全是黑球不同时发生,且一定有一个发生.
∴②中两事件是对立事件.
【答案】 B
3.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )
A.0.7B.0.65
C.0.35D.0.5
【解析】 “抽到的不是一等品”与事件A是对立事件,
∴所求概率P=1-P(A)=0.35.
【答案】 C
4.若随机事件A、B互斥,A、B发生的概率均不等于0,且分别为P(A)=2-a,P(B)=3a-4,则实数a的取值范围为________.
【解析】 ∵由题意可得
,
∴
解得
<a≤
.
【答案】
5.(2011·
浙江高考)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 从5个球中任取3个共有10种方法.
又“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取的3个球都不是白球”
因而所求概率P=1-
=
6.(2010·
上海高考)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得为黑桃”,则概率P(A∪B)=________(结果用最简分数表示).
【解析】 52张中抽一张的基本事件为52种,事件A为1种,事件B为13种,并且A与B互斥,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=
+
考向一[181] 互斥事件与对立事件的判定
(1)下列说法正确的是( )
A.掷一枚硬币,出现正面朝上的概率是0.5,因此掷一枚硬币10次,恰好出现5次正面向上
B.连续四次掷一颗骰子,都出现6点是不可能事件
C.一个射手射击一次,命中环数大于9与命中环数小于8是互斥事件
D.若P(A+B)=1,则事件A与B为对立事件
(2)从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么对立的两个事件是( )
A.至少有1个白球,至少有1个红球
B.至少有1个白球,都是红球
C.恰有1个白球,恰有2个白球
D.至少有1个白球,都是白球
【思路点拨】
(1)根据随机事件的有关概念判断.
(2)概括对立事件的定义判断.
【尝试解答】
(1)掷一枚硬币,出现正面朝上的概率是0.5,因此掷一枚硬币10次,则出现5次正面向上的可能性较大,但不一定恰好出现5次正面向上,故A不正确.
连续四次掷一颗骰子,都出现6点是随机事件,故B不正确.
一个射手射击一次,命中环数大于9与命中环数小于8,这两件事不可能同时发生,故是互斥事件,故C正确.
若P(A+B)=1,则事件A与B不一定是对立事件,如向一个半径等于1的圆面(包含边界)上随即插上一根针,
设“针插在圆面上(包含边界)”为事件A,“针插在圆上”为事件B,P(A)=1,P(B)=0,满足P(A+B)=1,
但事件A和事件B不是互斥事件,故D不正确.
(2)对于A,“至少有1个白球”发生时,“至少有1个红球”也会发生,
比如恰好一个白球和一个红球,故A不对立;
对于B,“至少有1个白球”说明有白球,白球的个数可能是1或2,
而“都是红球”说明没有白球,白球的个数是0,
这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,故B是对立的;
对于C,恰有1个白球,恰有2个白球是互斥事件,它们虽然不能同时发生
但是还有可能恰好没有白球的情况,因此它们不对立;
对于D,至少有1个白球和都是白球能同时发生,故它们不互斥,更谈不上对立了.
【答案】
(1)C
(2)B
规律方法1
(1)对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解.
(2)对立事件是互斥事件中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
对点训练 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中,任取一张.判断下列给出的每对事件,互斥事件的为________,对立事件的为________.
①“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.
【解析】 ①是互斥事件,不是对立事件.
“抽出黑桃”与“抽出红桃”是不可能同时发生,但可以都不发生,所以两事件互斥不对立.
②是互斥事件,且对立事件.
从40张扑克牌中,任意抽取1张.“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
③不是互斥事件,也不是对立事件.
从40张扑克牌中任意抽取1张.“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽得点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.
【答案】 ①② ②
考向二[182] 随机事件的频率与概率
图10-4-1
如图10-4-1所示,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间(分钟)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
选择L1的人数
6
12
18
选择L2的人数
4
16
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
【思路点拨】
(1)根据频数分布表计算频率,利用频率估计概率;
(2)分别根据不同路径估计概率,并比较大小,做出判定.
【尝试解答】
(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),
∴用频率估计相应的概率为0.44.
(2)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;
B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.
由频数分布表知,40分钟赶往火车站,选择不同路径L1,L2的频率分别为(6+12+18)÷
60=0.6,(4+16)÷
40=0.5.
∴估计P(A1)=0.6,P(A2)=0.5,则P(A1)>P(A2),
因此,甲应该选择路径L1,
同理,50分钟赶到火车站,乙选择路径L1,L2的频率分别为48÷
60=0.8,36÷
40=0.9,
∴估计P(B1)=0.8,P(B2)=0.9,P(B1)<P(B2),
因此乙应该选择路径L2.
规律方法2 1.
(1)解题的关键是正确计算选择不同路径时,事件发生的频率,并用频率估计概率;
(2)第
(2)问的实质是比较选择不同路径概率的大小.
2.概率是频率的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时,频率越稳定于一个常数,可用频率来估计概率.
对点训练 (2012·
陕西高考)假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图10-4-2所示:
图10-4-2
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
【解】
(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为
用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为
(2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品是75个.
所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是
用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为
考向三[183] 互斥事件与对立事件的概率
国家射击队的队员为在第51届射击世锦赛上取得优异成绩,正在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7~10环的概率如下表所示:
命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员射击一次:
(1)射中9环或10环的概率;
(2)命中不足8环的概率.
【思路点拨】 该射击队员在一次射击中,命中几环不可能同时发生,故是彼此互斥事件,利用互斥事件求概率的公式求其概率.另外,当直接求解不容易时,可先求其对立事件的概率.
【尝试解答】 记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak彼此互斥.
(1)记“射击一次,射中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件的加法公式得
P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
(2)设“射击一次,至少命中8环”的事件为B,则
表示事件“射击一次,命中不足8环”.
又B=A8+A9+A10,由互斥事件概率的加法公式得
P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
∴P(
)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
因此,射击一次,命中不足8环的概率为0.22.
规律方法3 1.解答本题时,首先应正确判断各事件的关系,然后把所求事件用已知概率的事件表示,最后用概率加法公式求解.
2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:
一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和;
二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P(
)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题,多考虑间接法.
对点训练 某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下:
排队人数
1
2
3
5人及5人以上
0.1
0.16
0.3
0.04
(1)至多2人排队等候的概率是多少?
(2)至少3人排队等候的概率是多少?
【解】
(1)记“在窗口等候的人数i”为事件Ai+1,i=0,1,2,它们彼此互斥,则至多2人排队等候的概率为
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)至少3人排队等候的概率为
1-P(A1∪A2∪A3)=1-0.56=0.44.
思想方法之二十五 互斥事件的概率求解的妙招——正难则反思想
若一个事件正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”,“至多”等问题往往用这种方法求解.
————[1个示范例]————[1个对点练]————
(2012·
湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1.5
2.5
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
【解】
(1)由题意,
∴x=15,y=20.
该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体,100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为:
又
=1.9.
∴估计顾客一次购物的结算时间为1.9分钟.
(2)设B、C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”.
将频率视为概率,得P(B)=
,P(C)=
∵B,C互斥,且
=B+C,
)=P(B+C)=P(B)+P(C)=
因此P(A)=1-P(
)=1-
∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分的概率为0.7.
【名师寄语】
(1)准确理解题意,善于从图表信息中提炼数据关系,明确数字特征的含义.
(2)正确判定事件间的关系,善于将A转化为互斥事件的和或对立事件,切忌盲目代入概率加法公式.
一盒中装有12个球,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率;
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
【解】 法一 (利用互斥事件求概率):
记事件A1={任取1球为红球},A2={任取1球为黑球},A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},
则P(A1)=
,P(A2)=
,P(A3)=
,P(A4)=
根据题意知,事件A1、A2、A3、A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=
;
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
法二:
(利用对立事件求概率):
(1)由法一知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4,所以取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)
=1-
-
(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4,所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-
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