对数函数及其性质教案.doc
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2.2.2对数函数及其性质
(一)
教学目标
(一)教学知识点
1.对数函数的概念;
2.对数函数的图象与性质.
(二)能力训练要求
1.理解对数函数的概念;
2.掌握对数函数的图象、性质;
3.培养学生数形结合的意识.
(三)德育渗透目标
1.认识事物之间的普遍联系与相互转化;
2.用联系的观点看问题;
3.了解对数函数在生产生活中的简单应用.
教学重点
对数函数的图象、性质.
教学难点
对数函数的图象与指数函数的关系.
教学过程
一、复习引入:
1、指对数互化关系:
2、的图象和性质.
a>1
0<a<1
图
象
性
质
(1)定义域:
R
(2)值域:
(0,+∞)
(3)过点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在R上是增函数
(4)在R上是减函数
3、我们研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题,某种细胞分裂时,得到的细胞的个数是分裂次数的函数,这个函数可以用指数函数=表示.
现在,我们来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个,10万个……细胞,那么,分裂次数就是要得到的细胞个数的函数.根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式就是.
如果用表示自变量,表示函数,这个函数就是.
引出新课--对数函数.
二、新授内容:
1.对数函数的定义:
函数叫做对数函数,定义域为.
学生思考问题:
为什么对数函数概念中规定
例1.求下列函数的定义域:
(1);
(2);
分析:
此题主要利用对数函数的定义域(0,+∞)求解.
解:
(1)由>0得,∴函数的定义域是;
(2)由得,∴函数的定义域是;
(3)由x-1>0得x>1,
∴函数的定义域是.
2.对数函数的图象:
通过列表、描点、连线作与的图象:
思考:
与的图象有什么关系?
3,
(1)根据对称性(关于x轴对称)已知y=x的图像,你能画出y=的图像吗?
(2)在同一坐标系中画出下列对数函数的图象,观察图象,找出各函数图象的共同特征,分析其不同之处,并归纳其性质.
(1)
(2)
(3)
(4)
4.对数函数的性质
由对数函数的图象,观察得出对数函数的性质.
a>1
0<a<1
图
象
性
质
定义域:
(0,+∞)
值域:
R
过点(1,0),即当x=1时,y=0
时
时
时
时
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
三、讲解范例:
例2.比较下列各组数中两个值的大小:
⑴;⑵;⑶.
解:
⑴考查对数函数,因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是.
⑵考查对数函数,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是.
小结1:
两个同底数的对数比较大小的一般步骤:
①确定所要考查的对数函数;②根据对数底数判断对数函数增减性;
③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.
⑶当时,在(0,+∞)上是增函数,于是;
当时,在(0,+∞)上是减函数,于是.
小结2:
分类讨论的思想.
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明,因此需要对底数a进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.
四、练习1。
(P73、2)求下列函数的定义域:
(1)y=(1-x)
(2)y=(3)y=
(5(6)
解:
(1)由1-x>0得x<1∴所求函数定义域为{x|x<1};
(2)由x≠0,得x≠1,又x>0∴所求函数定义域为{x|x>0且x≠1};
(3)由∴所求函数定义域为{x|x<};
(4)由∴x≥1∴所求函数定义域为{x|x≥1}.
练习2、函数的图象恒过定点()
3、已知函数的定义域与值域都是[0,1],
求a的值。
(因时间而定,选讲)
五、课堂小结
⑴对数函数定义、图象、性质;
⑵对数的定义,指数式与对数式互换;
⑶比较两个数的大小.
六、课后作业:
1.阅读教材第70~72页;
2.《习案》P191~192面。
2.2.2 对数函数及其性质
(二)
教学目标
1.教学知识点
1.对数函数的单调性;2.同底数对数比较大小;3.不同底数对数比较大小;
4.对数形式的复合函数的定义域、值域; 5.对数形式的复合函数的单调性.
2.能力训练要求
4.掌握对数函数的单调性;2.掌握同底数对数比较大小的方法;
3.掌握不同底数对数比较大小的方法;4.掌握对数形式的复合函数的定义域、值域;
5.掌握对数形式的复合函数的单调性; 6.培养学生的数学应用意识.
3.德育渗透目标
1.用联系的观点分析问题、解决问题; 2.认识事物之间的相互转化.
教学重点
1.利用对数函数单调性比较同底数对数的大小;
2.求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法;
3.求对数形式的复合函数的单调性的方法.
教学难点
1.不同底数的对数比较大小;2.对数形式的复合函数的单调性的讨论.
教学过程
一、复习引入:
1.对数函数的定义:
函数叫做对数函数,对数函数的定义域为,值域为.
2、对数函数的性质:
a>1
0<a<1
图
象
性
质
定义域:
(0,+∞).
值域:
R.
过点(1,0),即当时,.
时.
时.
时.
时.
在(0,+∞)上是增函数.
在(0,+∞)上是减函数.
3.书P73面练习3
③
5.函数y=x+a与的图象可能是__________
1
1
o
x
y
1
1
o
x
y
①
②
1
1
o
x
y
③
y
1
1
o
x
④
二、新授内容:
例1.比较下列各组中两个值的大小:
⑴;⑵.(3)
解:
⑴,,.
⑵,,.
小结1:
引入中间变量比较大小:
例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入1或0等,间接比较两个对数的大小.
练习:
1.比较大小(备用题)
⑴;⑵;⑶.
例2.已知x=时,不等式loga(x2–x–2)>loga(–x2+2x+3)成立,
求使此不等式成立的x的取值范围.
解:
∵x=使原不等式成立.∴loga[]>loga
即loga>loga.而<.所以y=logax为减函数,故0<a<1.
∴原不等式可化为,解得.
故使不等式成立的x的取值范围是
例3.若函数在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,
求a的值。
()
例4.求证:
函数f(x)=在(0,1)上是增函数.
解:
设0<x1<x2<1,
则f(x2)–f(x1)==
∵0<x1<x2<1,∴>1,>1.则>0,
∴f(x2)>f(x1).故函数f(x)在(0,1)上是增函数
例5.已知f(x)=loga(a–ax)(a>1).
(1)求f(x)的定义域和值域;
(2)判证并证明f(x)的单调性.
解:
(1)由a>1,a–ax>0,而a>ax,则x<1.故f(x)的定义域为(1,+∞),
而ax<a,可知0<a–ax<a,又a>1.则loga(a–ax)<lgaa=1.
取f(x)<1,故函数f(x)的值域为(–∞,1).
(2)设x1>x2>1,又a>1,∴>,∴<a<,
∴loga(a–)<loga(a–),即f(x1)<f(x2),故f(x)在(1,+∞)上为减函数.
例6.书P72面例9。
指导学生看书。
例7.(备选题)求下列函数的定义域、值域:
⑴;⑵;
解:
⑴∵对一切实数都恒成立,∴函数定义域为R.
从而即函数值域为.
⑵要使函数有意义,则须:
,
由∴在此区间内,∴.
从而即:
值域为,
∴定义域为[-1,5],值域为.
例8.(备选题)已知f(x)=logax(a>0,a≠1),当0<x1<x2时,
试比较与的大小,并利用函数图象给予几何解释.
【解析】因为
=又0<x1<x2,
∴x1+x2–2>0,即x1+x2>2,∴>1.
于是当a>1时,>0.此时>
同理0<a<1时<
或:
当a>1时,此时函数y=logax的图象向上凸.
显然,P点坐标为,又A、B两点的中点Q的纵坐标为[f(x1)+f(x2)],
由几何性质可知>.
当0<a<1时,函数图象向下凹.从几何角度可知<0,
B
x1x2
x
y
·
·
·
·
Q
A
(x1,f(x1))
(x2,f(x2))
此时<
四、课堂小结:
2.比较对数大小的方法;
2.对数复合函数单调性的判断;
3.对数复合函数定义域、值域的求法.
五、课后作业
1.《习案》P193与P195面。
备选题
2.讨论函数在上的单调性.(减函数)
3.已知函数y=(2-)在[0,1]上是减函数,求a的取值范围.
解:
∵a>0且a≠1,
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- 对数 函数 及其 性质 教案