广州市越秀区学年八年级上期末数学试题含答案解析Word文件下载.docx
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C.54°
D.72°
10.如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6,点E是线段AD上的一个动点,点P是点A关于直线BE的对称点,在点E的运动过程中,使△PBC为等腰三角形的点E的位置共有()
A.1个B.2个C.3个D.无数个
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分.
11.在△ABC中,AB=3,AC=5,BC=x,则x的取值范围是__________.
12.若分式
的值为0,则x的值是__________.
13.如图,OA=OB,要使△OAC≌△OBD,则需要添加的一个条件是__________.(只需填写一个条件即可)
14.计算(1+
)•
的结果是__________.(结果化为最简形式)
15.某学校有一块长方形活动场地,宽为xm,长是宽的2倍,实施“阳光体育”行动以后,学校为了扩大学生的活动场地,让学生能更好地进行体育活动,将活动场地的长和宽都增加了3m,则活动场地的面积增加了__________m2.
16.如图,在△ABC中,∠C=90°
,∠C=90°
,AB=5,BC=4,AC=3,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,则△BDE的周长为__________.
三、解答题(本题共9小题,满分72分,解答须写出文字说明、推理过程和演算步骤,
17.先化简,再求值:
[(x+3y)2﹣(x+y)(x﹣y)]÷
2y,其中x=
,y=
.
18.分解因式:
(1)xy2﹣2xy+x;
(2)a3﹣4a.
19.解分式方程:
﹣1=
20.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,∠B=50°
,∠C=70°
,求∠EAD的度数.
21.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在△ABC的外部,∠ACD=∠B,∠ADC=90°
(1)作图,作∠BAC的平分线AO,交BC于点O(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)求证:
BC=2CD.
22.如图,在3×
3的正方形格纸中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,如图中的△ABC是一个格点三角形,请你在下面四张图中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形,并用虚线标出它们的对称轴(要求画出的四个格点三角形互不相同).
23.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=CD,点E在AD上,DE=BD,M、N分别是AB、CE的中点.
(1)求证:
△ADB≌△CDE;
(2)求∠MDN的大小.
24.一辆汽车开往距离出发地320km的目的地,出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶,一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶,并比原计划提前30min到达目的地,求前一小时的汽车行驶速度.
25.如图,线段AB与CD相交于点E,AB⊥BD,垂足为B,AC⊥CD,垂足为C.
(1)如图1,若AB=CD,∠BDE=30°
,试探究线段DE与CE的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图2,若AB=BD,∠BDE=22.5°
,试探究线段DE与AC的数量关系,并证明你的结论.
-学年八年级(上)期末数学试卷
【考点】三角形的稳定性.
【分析】根据三角形具有稳定性解答.
【解答】解:
具有稳定性的是三角形.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性,是需要识记的内容.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
A、不是轴对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、是轴对称图形,故本选项错误.
故选D.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
【考点】幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据积的乘方,即可解答.
(2a2)3
=23•(a2)3
=8a6.
D.
【点评】本题考查了幂的乘方,解决本题的关键是熟记幂的乘方法则.
【考点】分式的基本性质.
【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y,利用分式的基本性质化简即可.
由分式
中的x和y都扩大2倍,得
=
,
【点评】本题考查了分式基本性质,分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数,分式的值不变.
【考点】科学记数法—表示较小的数.
【专题】常规题型.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×
10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
0.0000025=2.5×
10﹣6;
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×
10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【考点】全等三角形的性质.
【分析】根据全等三角形的性质和角的和差得到∠AOC=∠BOC,由三角形外角的性质得到∠AOD=∠BOC=∠A+∠C=50°
,根据平角的定义即可得到结论.
∵△AOC≌△BOD,
∴∠AOC=∠BOC,
∴∠AOD=∠BOC=∠A+∠C=50°
∴∠COD=180°
﹣∠AOD﹣∠BOC=80°
故选B.
【点评】本题考查了全等三角形的性质,三角形的内角和,三角形的外角的性质,平角的定义,熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.
【考点】等边三角形的性质;
坐标与图形性质.
【分析】根据等边三角形的轴对称性质得到点C与点B关于y轴对称,由此求得点C的坐标.
∵如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,
∴点C与点B关于y轴对称,
又∵B(﹣2,﹣
),
∴C(2,﹣
).
【点评】本题考查了等边三角形的性质和坐标与图形性质.熟练掌握等边三角形的轴对称性质是解题的关键.
【考点】完全平方公式.
【分析】先把所求式子变形为完全平方式,再把题中已知条件代入即可解答.
因为(x+y)2﹣(x﹣y)2=4xy=13﹣5=8,
所以xy=2,
故选C
【点评】本题考查了完全平方公式,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式,完全平方公式:
(a±
b)2=a2±
2ab+b2.
【考点】多边形内角与外角;
等腰三角形的性质.
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°
,得到△ADE≌△BCD,根据全等三角形的性质得到AD=BD,AE=DE=BC=CD,先求出∠ADE和∠BDC的度数,即可求出∠ADB的度数.
在正五边形ABCDE中,
∵AE=DE=BC=CD,∠E=∠EDC=∠C=108°
在△AED与△BCD中,
∴△ABC≌△AED,
∴∠ADE=∠BDC=
(180°
﹣108°
)=36°
∴∠ADB=108°
﹣36°
=36°
【点评】本题考查了正五边形的性质:
各边相等,各角相等,内角和为540°
.同时考查了多边形的内角和计算公式,及角相互间的和差关系,有一定的难度.
【考点】等腰三角形的判定;
轴对称的性质.
【分析】分为三种情况:
①以BC为底时,有两个,是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点;
②以BP为底,C为顶点时,有两个,是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点;
③以CP为底,B为顶点时,没有,因为是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点.
分为三种情况①以BC为底时,是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点;
此时的情况交点只有一个,且在BC边上,不能组成三角形.
③以CP为底,B为顶点时,没有,∵是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点;
综上满足要求的P有2个,
B.
【点评】本题考查了矩形的性质,等腰三角形的判定,轴对称的性质等知识点,主要考查学生的理解能力和动手操作能力.
11.在△ABC中,AB=3,AC=5,BC=x,则x的取值范围是2<x<8.
【考点】三角形三边关系.
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,进行分析求解.
根据三角形的三边关系,得
5﹣3<x<5+3,即2<x<8.
故答案为:
2<x<8.
【点评】考查了三角形的三边关系:
任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
的值为0,则x的值是﹣1.
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】分式的值为0的条件是:
(1)分子为0;
(2)分母不为0.两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解答本题.
的值为0,得
x+1=0且x﹣1≠0.
解得x=﹣1,
﹣1.
【点评】本题考查了分时值为零的条件,若分式的值为零,需同时具备两个条件:
(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
13.如图,OA=OB,要使△OAC≌△OBD,则需要添加的一个条件是OC=OD答案不唯一.(只需填写一个条件即可)
【考点】全等三角形的判定.
【分析】要使△OAC≌△OBD,已知OA=OB,∠AOC=∠DOB,具备了一组边和一组角对应相等,还缺少边或角对应相等的条件,结合判定方法及图形进行选择即可.
OC=OD(或∠A=∠B或∠OCA=∠ODB)
理由如下:
加OC=OD,利用SAS证明;
加∠A=∠B,利用ASA证明;
加∠OCA=∠ODB,利用ASA或AAS证明.
故答案为OC=OD,答案不唯一.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法;
判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健.
的结果是3.(结果化为最简形式)
【考点】分式的混合运算.
【分析】先算括号里面的,再算乘法即可.
原式=
•
=3.
3.
【点评】本题考查的是分式的混合运算,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
15.某学校有一块长方形活动场地,宽为xm,长是宽的2倍,实施“阳光体育”行动以后,学校为了扩大学生的活动场地,让学生能更好地进行体育活动,将活动场地的长和宽都增加了3m,则活动场地的面积增加了(9x+9)m2.
【考点】列代数式.
【专题】应用题.
【分析】先求出原场地的长以及扩建后长度的长和宽,然后根据矩形的面积公式列出代数式,最后进行化简即可.
扩建前长方形的长为2xm,扩建后长方形的长为(2x+3)m,宽为(x+3)m.
活动场地增加的面积=(2x+3)(x+3)﹣2x•x
=2x2+3x+6x+9﹣2x2.
=9x+9.
故答案为;
9x+9.
【点评】本题主要考查的是列代数式、多项式乘多项式,根据题意列出代数式是解题的关键.
,AB=5,BC=4,AC=3,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,则△BDE的周长为6.
【考点】角平分线的性质;
勾股定理的逆定理.
【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC(SAS),得到ED=CD,从而BC=BD+CD=DE+BD=5,即可求得△BDE的周长.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAD=∠CAD,
在△ADE和△ADC中,
∴△ADE≌△ADC(SAS),
∴ED=CD,
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=(5﹣3)+4=6.
6.
【点评】本题考查了角平分线的定义,全等三角形的性质与判定,解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC.
【考点】整式的混合运算—化简求值.
【分析】先算乘法,再合并同类项,算除法,最后代入求出即可.
2y
=[x2+6xy+9y2﹣x2+y2]÷
=(6xy+10y2)÷
=3x+5y,
当x=
时,原式=3×
+5×
=2.
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用,能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键.
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【专题】计算题;
因式分解.
【分析】
(1)原式提取x,再利用完全平方公式分解即可;
(2)原式提取a,再利用平方差公式分解即可.
(1)原式=x(y2﹣2y+1)=x(y﹣1)2;
(2)原式=a(a2﹣4)=a(a+2)(a﹣2).
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
【考点】解分式方程.
【分析】首先得出最简公分母再去分母,进而解方程得出答案.
去分母得:
(x﹣3)x﹣(x+3)(x﹣3)=18,
整理得:
﹣3x+9=18,
解得:
x=﹣3,
检验:
当x=﹣3时,(x+3)(x﹣3)=0,故此方程无实数根.
【点评】此题主要考查了解分式方程,正确去分母是解题关键.
【考点】三角形内角和定理.
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD,再根据三角形的内角和等于180°
求出∠BAC的度数,然后根据角平分线的定义求出∠BAE,再求解即可.
∵∠B=50°
,AD是BC边上的高,
∴∠BAD=90°
﹣50°
=40°
∴∠BAC=180°
﹣∠B﹣∠C=180°
﹣70°
=60°
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠BAE=
∠BAC=
×
60°
=30°
∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=40°
﹣30°
=10°
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高,主要利用了直角三角形两锐角互余,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,角平分线的定义,熟记各性质并准确识图是解题的关键.
【考点】作图—基本作图;
全等三角形的判定与性质.
【专题】作图题.
(1)利用基本作图(作已知角的平分线)作AO平分∠BAC;
(2)根据等腰三角形的性质可得AO⊥BC,BO=CO,则∠AOB=90°
,于是可根据“AAS”判定△ABO≌△ACD,则BO=CD,所以BC=2CD.
【解答】
(1)解:
如图,AO为所作;
(2)证明:
∵AB=AC,AO平分∠BAC,
∴AO⊥BC,BO=CO,
∴∠AOB=90°
在△ABO和△ACD中,
∴△ABO≌△ACD,
∴BO=CD,
∴BC=2CD.
【点评】本题考查了基本作图:
作一条线段等于已知线段;
作一个角等于已知角;
作已知线段的垂直平分线;
作已知角的角平分线;
过一点作已知直线的垂线.也考查了全等三角形的判定与性质.
【考点】利用轴对称设计图案.
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案.
如图所示:
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确掌握轴对称图形的性质是解题关键.
【考点】全等三角形的判定与性质.
(1)由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°
,根据已知条件即可得到结论;
(2)根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠DCE,根据直角三角形的性质得到AM=DM,DN=CN,由等腰三角形的性质得到∠MAD=∠MDA,∠NCD=∠NDC,等量代换得到∠ADM=∠CDN,即可得到结论.
(1)证明:
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ABD与△CDE中,
∴△ABD≌△CDE;
(2)解:
∵△ABD≌△CDE,
∴∠BAD=∠DCE,
∵M、N分别是AB、CE的中点,
∴AM=DM,DN=CN,
∴∠MAD=∠MDA,∠NCD=∠NDC,
∴∠ADM=∠CDN,
∵∠CDN+∠ADN=90°
∴∠ADM+∠ADN=90°
∴∠MDN=90°
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键.
【考点】分式方程的应用.
【分析】由题意可知:
加速后用的时间+30分钟+1小时=原计划用的时间,首先求得加速后行驶的路程为320千米﹣前一小时按原计划行驶的路程,进一步求得时间,建立方程求得答案即可.
设前一个小时的平均行驶速度为x千米/时.依题意得:
1+
+
x=80.
经检验:
x=80是分式方程的解.
答:
前一个小时的平均行驶速度为80千米/小时.
【点评】此题考查分式方程的实际运用,掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键.
(1)由垂直的定义得到∠B=∠C=90°
,根据直角三角形的性质得到DE=2BE,根据三角形的内角和得到∠A=∠D=30°
,得到AE=2CE,由AB=CD,等量代换即可得到结论;
(2)连接AD,延长AC、BD交于F,根据已知条件得到∠CAE=∠BDE=22.5°
,根据等腰直角三角形的性质得到∠ADB=45°
,求得∠ADC=∠ADB﹣∠BDE=22.5°
,推出△ACD≌△FCD,即可根据全等三角形的性质得到AC=CF,AF=DE,等量代换即可得到结论.
(1)DE=2CE,
理由:
∵AB⊥BD,AC⊥CD,
∴∠B=∠C=90°
∵∠BDE=30°
∴DE=2BE,
∵∠AEC=∠BED,
∴∠A=∠D=30°
∴AE=2CE,
∵AB=CD,
∴AE+BE=CE+DE,
∴2CE+
DE=CE=DE,
即DE=2CE;
(2)DE=2AC,
连接AD,延长AC、BD交于F,
∵∠ACE=∠DBE=90°
,∠AEC=∠BED,
∴∠CAE=∠BDE=22.5°
∵AB=BD,
∴∠ADB=45°
∴∠ADC=∠ADB﹣∠BDE=22.5°
在△ACD与△FCD中,
∴△ACD≌△FCD,
∴AC=CF,
在△ABF与△DBE
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