《近世代数》模拟试题1及答案Word文档格式.doc
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C.G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群;
D.G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群.
3.如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是().
A.反身性B.对称性C.传递性D.封闭性
4.对整数加群Z来说,下列不正确的是().
A.Z没有生成元.
B.1是其生成元.
C.-1是其生成元.
D.Z是无限循环群.
5.下列叙述正确的是()。
A.群G是指一个集合.
B.环R是指一个集合.
C.群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在.
D.环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在.
二.计算题(每题10分,共30分)
1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群,试求中G中下列各个元素,的阶.
2.试求出三次对称群
的所有子群.
3.若是环的惟一左单位元,那么是的单位元吗?
若是,请给予证明.
三.证明题(第1小题10分,第2小题15分,第3小题20分,共45分).
1.证明:
在群中只有单位元满足方程
2.设是正有理数乘群,是整数加群.证明:
是群到的一个满同态,其中是整数,而.
3.设是环的一个子环.证明:
如果与都有单位元,但不相等,则的单位元必为的一个零因子.
近世代数模拟试题答案
2008年11月
一、单项选择题(每题5分,共25分)
1.A2.D3.D4.A5.C
二.计算题(每题10分,共30分)
1.解:
易知c的阶无限,(3分)
d的阶为2.(3分)
但是
(2分)
的阶有限,是2.(2分)
2.解:
的以下六个子集
(7分)
对置换乘法都是封闭的,因此都是的子集.(3分)
3.解:
是的单位元。
事实上,任取则因是的左单位元,故
即也是的左单位元。
故有题设得
即是的单位元.
三、证明题(每小题15分共45分)
1.证明:
设是的单位元,则显然满足所说的方程(3分)
另外,设且,则有
即(5分)
即只有满足方程(2分)
2.证明:
显然是到的一个满射(3分)
又由于当时有
(4分)
且(6分)
故是群到的一个同态满射。
(2分)
3证明:
分别用和表示与的单位元,且,
于是不是的单位元。
(3分)
因此,存在,使
或(5分)
如果,则,且
(4分)
即是的(右)零因子。
(3分)
同理,如果则是的(左)零因子.(5分)
近世代数试题第7页共7页
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