矩阵的基本概念Word下载.doc
- 文档编号:6869168
- 上传时间:2023-05-07
- 格式:DOC
- 页数:7
- 大小:184KB
矩阵的基本概念Word下载.doc
《矩阵的基本概念Word下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《矩阵的基本概念Word下载.doc(7页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
矩阵,是由个数组成的一个行列的矩形表格,通常用大写字母表示,组成矩阵的每一个数,均称为矩阵的元素,通常用小写字母其元素表示,其中下标都是正整数,他们表示该元素在矩阵中的位置。
比如,或表示一个矩阵,下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。
元素全为零的矩阵称为零矩阵。
特别地,一个矩阵,也称为一个维列向量;
而一个矩阵,也称为一个维行向量。
当一个矩阵的行数与烈数相等时,该矩阵称为一个阶方阵。
对于方阵,从左上角到右下角的连线,称为主对角线;
而从左下角到右上角的连线称为付对角线。
若一个阶方阵的主对角线上的元素都是,而其余元素都是零,则称为单位矩阵,记为,即:
。
如一个阶方阵的主对角线上(下)方的元素都是零,则称为下(上)三角矩阵,例如,是一个阶下三角矩阵,而则是一个阶上三角矩阵。
今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合,而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法:
如果是两个同型矩阵(即它们具有相同的行数和列数,比如说),则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵(即),的元素为和对应元素的和,即:
给定矩阵,我们定义其负矩阵为:
这样我们可以定义同型矩阵的减法为:
由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算,容易验证,矩阵的加法满足下列运算律:
(1)交换律:
;
(2)结合律:
(3)存在零元:
(4)存在负元:
2、数与矩阵的乘法:
设为一个数,,则定义与的乘积仍为中的一个矩阵,中的元素就是用数乘中对应的元素的道德,即。
由定义可知:
容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律:
(1);
(2);
(3);
(4)。
3、矩阵的乘法:
设为距阵,为距阵,则矩阵可以左乘矩阵(注意:
距阵德列数等与矩阵的行数),所得的积为一个距阵,即,其中,并且。
据真的乘法满足下列运算律(假定下面的运算均有意义):
(1)结合律:
(2)左分配律:
(3)右分配律:
(4)数与矩阵乘法的结合律:
(5)单位元的存在性:
若为阶方阵,则对任意正整数,我们定义:
,并规定:
由于矩阵乘法满足结合律,我们有:
,。
注意:
矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别,特别应该注意的是:
(1)矩阵乘法不满足交换律:
一般来讲即便有意义,也未必有意义;
倘使都有意义,二者也未必相等(请读者自己举反例)。
正是由于这个原因,一般来讲,,。
(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,即未必能推出或者(请读者自己举反例)。
(3)消去律部成立:
如果并且,未必有。
4、矩阵的转置:
定义:
设为矩阵,我们定义的转置为一个矩阵,并用表示的转置,即:
矩阵的转置运算满足下列运算律:
5、对称矩阵:
定义1.11阶方阵若满足条件:
,则称为对称矩阵;
若满足条件:
,则称为反对称矩阵。
若设,则为对称矩阵,当且仅当对任意的成立;
为反对称矩阵,当且仅当对任意的成立。
从而反对称局针对角线上的元素必为零。
对称矩阵具有如下性质:
(1)对于任意矩阵,为阶对称矩阵;
而为阶对称矩阵;
(2)两个同阶(反)对称矩阵的和,仍为(反)对称矩阵;
(3)如果两个同阶(反)对称矩阵可交换,即,则它们的乘积必为对称矩阵,即。
思考题:
1、设为第个分量为,而其余分量全为零的维列向量,为第个分量为,而其余分量全为零的维列向量,为矩阵,试计算;
2、设为阶方阵,并且对任意有,你能得出什么结论?
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 矩阵 基本概念