中考数学试题汇编一元二次方程解析版Word格式.docx
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【点评】考查了一元二次方程的应用,本题要注意的是,患流行性感冒的人把病毒传染给别人,自己仍然是患者,人数应该累加,这个问题和细胞分裂是不同的.
4.(2021年河南省)若方程x2﹣2x+m=0没有实数根,则m的值可以是( )
A.﹣1B.0C.1D.
【分析】根据根的判别式和已知条件得出△=(﹣2)2﹣4×
1×
m=4﹣4m<0,求出不等式的解集,再得出答案即可.
∵关于x的方程x2﹣2x+m=0没有实数根,
∴△=(﹣2)2﹣4×
m=4﹣4m<0,
解得:
m>1,
∴m只能为
,
D.
【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式,注意:
已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0),①当△=b2﹣4ac>0时,方程有两个不相等的实数根,②当△=b2﹣4ac=0时,方程有两个相等的实数根,③当△=b2﹣4ac<0时,方程没有实数根.
5.(2021年广西玉林市)已知关于x的一元二次方程:
x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则( )
A.x1+x2<0B.x1x2<0C.x1x2>﹣1D.x1x2<1
【分析】根据判别式的意义得到△=(﹣2)2﹣4m>0,解得m<1,再利用根与系数的关系得到x1+x2=2,x1x2=m,然后对各选项进行判断.
根据题意得△=(﹣2)2﹣4m>0,解得m<1,
所以x1+x2=2,x1x2=m<1.
【点评】本题考查了根与系数的关系:
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣
,x1x2=
.利用判别式的意义求出m的范围是解决问题的关键.
6.(2021年福建省)某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力开展植树造林活动,2020年底森林覆盖率达到68%,如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,那么,符合题意的方程是( )
A.0.63(1+x)=0.68B.0.63(1+x)2=0.68
C.0.63(1+2x)=0.68D.0.63(1+2x)2=0.68
【分析】设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为x,根据2018年及2020年的全市森林覆盖率,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为x,
根据题意得:
0.63(1+x)2=0.68.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
7.(2021年山东省聊城市)关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个解是﹣2,则k值为( )
A.2或4B.0或4C.﹣2或0D.﹣2或2
【分析】直接把x=﹣2代入方程x2+4kx+2k2=4得4﹣8k+2k2=4,然后解关于k的一元二次方程即可.
把x=﹣2代入方程x2+4kx+2k2=4得4﹣8k+2k2=4,
整理得k2﹣4k=0,解得k1=0,k2=4,
即k的值为0或4.
【点评】本题考查了一元二次方程的解:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
8.(2021年山东省济宁市)已知m,n是一元二次方程x2+x﹣2021=0的两个实数根,则代数式m2+2m+n的值等于( )
A.2019B.2020C.2021D.2022
【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2+m=2021,则m2+2m+n=2021+m+n,再利用根与系数的关系得到m+n=﹣1,然后利用整体代入的方法计算.
∵m是一元二次方程x2+x﹣2021=0的实数根,
∴m2+m﹣2021=0,
∴m2+m=2021,
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n,
∵m,n是一元二次方程x2+x﹣2021=0的两个实数根,
∴m+n=﹣1,
∴m2+2m+n=2021﹣1=2020.
.也考查了一元二次方程的解.
9.(2021年湖北省荆州市)定义新运算“※”:
对于实数m,n,p,q.有[m,p]※[q,n]=mn+pq,其中等式右边是通常的加法和乘法运算,例如:
[2,3]※[4,5]=2×
5+3×
4=22.若关于x的方程[x2+1,x]※[5﹣2k,k]=0有两个实数根,则k的取值范围是( )
A.k<
且k≠0B.k
C.k
且k≠0D.k≥
【分析】先根据新定义得到k(x2+1)+(5﹣2k)x=0,再整理为一般式,接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=(5﹣2k)2﹣4k2≥0,然后解不等式即可.
根据题意得k(x2+1)+(5﹣2k)x=0,
整理得kx2+(5﹣2k)x+k=0,
因为方程有两个实数解,
所以k≠0且△=(5﹣2k)2﹣4k2≥0,解得k≤
且k≠0.
当△<0时,方程无实数根.把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键.
10.(2021年山东省菏泽市)关于x的方程(k﹣1)2x2+(2k+1)x+1=0有实数根,则k的取值范围是( )
A.k
且k≠1B.k≥
且k≠1C.k
D.k≥
【分析】分k﹣1=0和k﹣1≠0两种情况,利用根的判别式求解可得.
当k﹣1≠0,即k≠1时,此方程为一元二次方程.
∵关于x的方程(k﹣1)2x2+(2k+1)x+1=0有实数根,
∴△=(2k+1)2﹣4×
(k﹣1)2×
1=12k﹣3≥0,
解得k≥
;
当k﹣1=0,即k=1时,方程为3x+1=0,显然有解;
综上,k的取值范围是k≥
【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:
①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
③当△<0时,方程无实数根.
11.(2021年浙江省台州市)关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
A.m>2B.m<2C.m>4D.m<4
【分析】利用判别式的意义得到△=(﹣4)2﹣4m>0,然后解不等式即可.
根据题意得△=(﹣4)2﹣4m>0,
解得m<4.
12.(2021年新疆生产建设兵团)一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为( )
A.x1=﹣1,x2=3B.x1=1,x2=3
C.x1=1,x2=﹣3D.x1=﹣1,x2=﹣3
【分析】利用因式分解法求解即可.
∵x2﹣4x+3=0,
∴(x﹣1)(x﹣3)=0,
则x﹣1=0或x﹣3=0,
解得x1=1,x2=3,
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
13.(2021年四川省广安市)关于x的一元二次方程(a+2)x2﹣3x+1=0有实数根,则a的取值范围是( )
A.a≤
且a≠﹣2B.a≤
C.a<
且a≠﹣2D.a<
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0,然后求出两不等式的公共部分即可.
∵关于x的一元二次方程(a+2)x2﹣3x+1=0有实数根,
∴△≥0且a+2≠0,
∴(﹣3)2﹣4(a+2)×
1≥0且a+2≠0,
a≤
且a≠﹣2,
当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;
当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;
14.(2021年湖南省怀化市)对于一元二次方程2x2﹣3x+4=0,则它根的情况为( )
A.没有实数根B.两根之和是3
C.两根之积是﹣2D.有两个不相等的实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=b2﹣4ac,即可求出△=﹣23<0,进而可得出该方程没有实数根(若方程有实数根,再利用根与系数的关系去验证B,C两个选项).
∵a=2,b=﹣3,c=4,
∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×
2×
4=﹣23<0,
∴一元二次方程2x2﹣3x+4=0没有实数根.
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,牢记“当△<0时,方程没有实数根”是解题的关键.
15.(2021年湖北省武汉市)已知a,b是方程x2﹣3x﹣5=0的两根,则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是( )
A.﹣25B.﹣24C.35D.36
【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2﹣3a﹣5=0,b2﹣3b﹣5=0,即a2=3a+5,b2=3b+5,根据根与系数的关系得到a+b=3,然后整体代入变形后的代数式即可求得.
∵a,b是方程x2﹣3x﹣5=0的两根,
∴a2﹣3a﹣5=0,b2﹣3b﹣5=0,a+b=3,
∴a2﹣3a=5,b2=3b+5,
∴2a3﹣6a2+b2+7b+1
=2a(a2﹣3a)+3b+5+7b+1
=10a+10b+6
=10(a+b)+6
=10×
3+6
=36.
【点评】本题考查了根与系数的关系的知识,解答本题要掌握若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣
,x1•x2=
.也考查了一元二次方程解的定义.
16.(2021年四川省眉山市)已知一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1,x2,则x12﹣5x1﹣2x2的值为( )
A.﹣7B.﹣3C.2D.5
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解,可得出x12﹣3x1=﹣1,x1+x2=3,将其代入变形后的代数式中即可求出结论.
∵一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1,x2,
∴x12﹣3x1=﹣1,x1+x2=3,
∴x12﹣5x1﹣2x2=x12﹣3x1﹣2(x1+x2)=﹣1﹣2×
3=﹣7.
【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系,利用根与系数的关系及一元二次方程的解,找出x12﹣3x1=﹣1,x1+x2=3是解题的关键.
17.(2021年四川省南充市)已知方程x2﹣2021x+1=0的两根分别为x1,x2,则x12﹣
的值为( )
A.1B.﹣1C.2021D.﹣2021
【分析】由题意得出x1+x2=2021,x12﹣2021x1+1=0,x22﹣2021x2+1=0,将代数式变形后再代入求解即可.
【解答】解:
∵方程x2﹣2021x+1=0的两根分别为x1,x2,
∴x1+x2=2021,x12﹣2021x1+1=0,x22﹣2021x2+1=0,
∵x2≠0,
∴x2﹣2021+
=0,
∴﹣
=x2﹣2021,
∴x12﹣
=2021x1﹣1+2021x2﹣20212
=2021(x1+x2)﹣1+20212
=20212﹣1﹣20212
=﹣1.
【点评】本题考查了根的定义及根与系数的关系:
熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键.
18.(2021年山东省临沂市)方程x2﹣x=56的根是( )
A.x1=7,x2=8B.x1=7,x2=﹣8
C.x1=﹣7,x2=8D.x1=﹣7,x2=﹣8
【分析】利用因式分解法求解即可。
∵x2﹣x=56,
∴x2﹣x﹣56=0,
则(x﹣8)(x+7)=0,
∴x﹣8=0或x+7=0,
解得x1=﹣7,x2=8,
19.(2021年云南省)若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.a<1B.a≤1C.a≤1且a≠0D.a<1且a≠0
【分析】由一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,即可得判别式△>0,a≠0,继而可求得a的范围.
∵一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,
∴a≠0,△=b2﹣4ac=22﹣4×
a×
1=4﹣4a>0,
a<1,
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识.此题比较简单,注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根,即可得△>0.
20.(2021年四川省凉山州)函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1=0的根的情况是( )
A.没有实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.无法确定
【分析】先利用一次函数的性质得k<0,b<0,再计算判别式的值得到△=b2﹣4(k﹣1),于是可判断△>0,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.
根据图象可得k<0,b<0,
所以b2>0,﹣4k>0,
因为△=b2﹣4(k﹣1)=b2﹣4k+4>0,
所以△>0,
所以方程有两个不相等的实数根.
当△<0时,方程无实数根.也考查了一次函数图象.
21.(2021年山东省泰安市)已知关于x的一元二次方程kx2﹣(2k﹣1)x+k﹣2=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是( )
A.k>﹣
B.k<
C.k>﹣
且k≠0D.k<
且k≠0
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=(2k﹣1)2﹣4k•(k﹣2)>0,然后其出两个不等式的公共部分即可.
根据题意得k≠0且△=(2k﹣1)2﹣4k•(k﹣2)>0,
解得k>﹣
22.(2021年浙江省丽水市)用配方法解方程x2+4x+1=0时,配方结果正确的是( )
A.(x﹣2)2=5B.(x﹣2)2=3C.(x+2)2=5D.(x+2)2=3
【分析】方程整理后,利用完全平方公式配方得到结果,即可作出判断.
方程x2+4x+1=0,
整理得:
x2+4x=﹣1,
配方得:
(x+2)2=3.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
23.(2021年四川省泸州市)关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m=0的两实数根x1,x2,满足x1x2=2,则(x12+2)(x22+2)的值是( )
A.8B.32C.8或32D.16或40
【分析】先根据根的判别式求得m的取值范围,然后根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=﹣2m,x1•x2=m2﹣m=2,进而求得m=2或m=﹣1,从而求得x1+x2=﹣4,把原式变形,代入计算即可.
由题意得△=(2m)2﹣4(m2﹣m)≥0,
∴m≥0,
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m=0的两实数根x1,x2,满足x1x2=2,
则x1+x2=﹣2m,x1•x2=m2﹣m=2,
∴m2﹣m﹣2=0,解得m=2或m=﹣1(舍去),
∴x1+x2=﹣4,
(x12+2)(x22+2)
=(x1x2)2+2(x1+x2)2﹣4x1x2+4,
原式=22+2×
(﹣4)2﹣4×
2+4=32;
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=
.
二、填空题
1.(2021年江苏省盐城市)劳动教育已纳入人才培养全过程,某学校加大投入,建设校园农场,该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克.设平均每年增产的百分率为x,则可列方程为 300(1+x)2=363 .
【分析】可先表示出第一年的产量,那么第二年的产量×
(1+增长率)=363,把相应数值代入即可求解.
第一年的产量为300×
(1+x),
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x,为300×
(1+x)×
则列出的方程是300(1+x)2=363.
故答案是:
300(1+x)2=363.
【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±
x)2=b.
2,。
(2021年江苏省宿迁市)若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6=0的一个根是3,则a= ﹣1 .
【分析】直接把x=3代入方程x2+ax﹣6=0得到关于a的一次方程,然后解一次方程即可.
把x=3代入方程x2+ax﹣6=0得9+3a﹣6=0,解得a=﹣1.
故答案为﹣1.
3.(2021年江苏省宿迁市)方程
=1的解是
.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
去分母得:
2﹣x(x+2)=x2﹣4,
去括号得:
2﹣x2﹣2x=x2﹣4,
移项合并同类项得:
x2+x﹣3=0,
x=
经检验x=
是分式方程的解.
故答案为:
【点评】此题考查了解分式方程和一元二次方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.
4.(2021年江苏省南京市)设x1,x2是关于x的方程x2﹣3x+k=0的两个根,且x1=2x2,则k= 2 .
【分析】根据根与系数的关系求得x2=1,将其代入已知方程,列出关于k的方程,解方程即可.
根据题意,知x1+x2=3x2=3,则x2=1,
将其代入关于x的方程x2﹣3x+k=0,得12﹣3×
1+k=0.
解得k=2.
2.
5.(2021年广东省韶关市)若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,x2满足﹣3<x1<﹣1,1<x2<3,则符合条件的一个方程为 x2﹣2=0(答案不唯一) .
【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可,注意答案不唯一.
∵若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,x2满足﹣3<x1<﹣1,1<x2<3,
∴满足条件分方程可以为:
x2﹣2=0(答案不唯一),
x2﹣2=0(答案不唯一).
【点评】本题考查一元二次方程的应用,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
6(2021年湖南省岳阳市)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:
“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何?
”其意思为:
今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少?
(1丈=10尺,1尺=10寸)如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 (x﹣6.8)2+x2=102 .
【分析】设门高AB为x尺,则门的宽为(x﹣6.8)尺,利用勾股定理,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.
设门高AB为x尺,则门的宽为(x﹣6.8)尺,AC=1丈=10尺,
依题意得:
AB2+BC2=AC2,
即(x﹣6.8)2+x2=102.
(x﹣6.8)2+x2=102.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
7.(2021年湖南省岳阳市)已知关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根,则实数k的值为 9 .
【分析】利用判别式的意义得到△=62﹣4k=0,然后解关于k的方程即可.
根据题意,△=62﹣4k=0,
解得k=9,
故答案为9.
当△=0时,方程有两个相等的实数根.
8.
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