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,初等代数研究的对象:
代数式的运算和方程的求解。
整式、分式和根式是初等代数的三大类代数式。
四则运算,乘方和开方运算,通常称为初等代数的代数运算.,初等代数的十条规则:
(1)五条基本运算律:
加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律;
(2)两条等式基本性质:
等式两边同时加上一个数,等式不变;
等式两边同时乘以一个非零的数,等式不变;
(3)三条指数律:
同底数幂相乘,底数不变指数相加;
指数的乘方等于底数不变指数相乘;
积的乘方等于乘方的积。
人们在解方程的研究过程中发现了无理数、负数和复数,从而使数的概念得到了扩充。
2、代数的基本定理,1799年高斯(Gauss)证明:
复数域上任意一个一元n次(n0)方程,任何一个一元n次方程在复数域上有且仅有n个根(重根按重数计算),至少有个根,这就是说,至少有个复数x满足这个等式;
3.多项式方程的代数解问题,方程的代数解是指:
方程经过有限次代数运算得到的解。
,,,,阿贝尔(Abel)(18021829)证明了五次方程不可能有代数解,4、方程根与系数的关系,韦达定理:
设一元二次方程,在复数域上的两个根为,则有,一般地:
设,在复数域上的n个根为,则有,2.高等代数,1832年法国数学家伽罗瓦运用“群”的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性,由此代数转变成为研究代数运算结构的科学.,二.线性代数,“线性”的含义是指未知量的一次式。
例如:
y=ax表示变量y是变量x的一个线性函数,,y=ax1+bx2表示变量y是x1,x2的线性关系。
一个线性表示不能包含诸如x2和x1x2的二次项,这些二次项是非线性的。
线性代数的研究对象:
线性方程组、线性空间和线性变换。
行列式和矩阵的是线性代数的两个重要工具.,1、求解线性方程组,例1:
明代程大为著的算法统宗中记载:
100个和尚分100个馒头。
大和尚一人3个,小和尚3人一个,刚好分完。
问大、小和尚各多少人?
解:
设有大和尚x人,小和尚y人,于是有,用代入法求得:
,代入,,解出:
例2:
中国古代算书张丘建算经记载百鸡问题:
公鸡每只值五文钱,母鸡每只值三文钱,小鸡三只值一文钱,现在用一百文钱买一百只鸡,问:
在这一百鸡中,公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?
设有公鸡x只,母鸡y只,小鸡z只,则有,有
(2)3
(1)得,因为y是整数,可设,代入得:
又y0,可知k=1,2,3,由此得,或,或,例3求解下列线性方程组,解:
由
(2)-
(1)得(3),方程组与下列方程组同解,由(5)2(4):
k是任意常数,令:
解:
利用高斯(Gauss)消元法求解.,将1,2两个方程互换位置得,由第1个方程分别乘-2,-2,-3,后与2,3,4方程相加,得,同理:
将2,3方程互换位置,得,把第3,4两个方程分别加上第2个方程的-4,-1倍,得,同理;
得,从第3个方程回代,利用高斯消元法求解线性方程组,解:
原方程组,无解.,若我们进一步变换可得:
从以上例题可以看出,线性方程组的解有3种情况:
唯一解、无穷解和无解。
当未知量或方程组的个数增多时,常用高斯消元法求解方程组.,一般地,方程组可表示为:
它是线性代数的主要研究对象。
例:
总收入问题,某地区有1个工厂,生产甲,乙,丙3种产品,xi(i=1,2,3),表示工厂生产这3种产品的数量,ai(i=1,2,3)表示第i种产品的单价,y表示这3种产品的总收入,则有:
若某地区有1,2,3,4个工厂,生产甲,乙,丙3种,产品,xki(k=1,2,3,4;
i=1,2,3)是k工厂生产i种产品的数量,ai(i=1,2,3)表示i种产品的单价,yk表示k工厂的总收入,则有:
2、线性代数的数学模型,在一个经济系统中,一个企业既是生产者又是消费者,作为生产者,它有产出,作为消费者它有投入,企业之间的这种平衡关系可以用一系列的线性方程组来表示,这就是列昂节夫(诺贝尔经济学奖获得者)的投入产出数学模型.,例全球定位系统GPS,要想知道卡车在公路上行驶时的位置可利用GPS系统.这个系统是由24颗高轨道卫星组成,卡车从其中3颗卫星接受信号,接受器里的软件利用线性代数方法来确定卡车的位置.,当卡车和一颗卫星联系时,接受器从信号往返的时间能确定卡车到卫星的距离,例如14000公里,从卫星来看,知道卡车位于以卫星为球心,半径为14000公里的球面上的某地.设卡车位置(x,y,z),第一颗卫星位置(a1,b1,c1)即,同理假设第2,3颗卫星的位置分别是(a2,b2,c2)和(a3,b3,c3)距卡车的距离分别是17000和16000公里,则有,这些关系式不是线性关系式,要求(x,y,z),由
(1)减
(2),(3)得:
动画问题,动画设计中常常用到坐标变换如:
平移旋转等,设平面上的点为(x,y),平移变换后为,则:
设平面上的点为(x,y),旋转变换后为,则:
1n阶行列式的定义的主要内容是:
一.2阶行列式和3阶行列式的定义,
(一)2阶行列式的定义,
(二)3阶行列式的定义,二.n阶行列式的定义,行列式简介,行列式出现于线性方程组的求解。
它是数学语言上的改革,它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。
P.S.Laplace,是一种速记表达式.,行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的(1683年),Vandermonde首次对行列式理论进行系统的阐述,成为行列式理论的奠基人.,用消元法解二元线性方程组,一.2阶行列式和3阶行列式的定义,
(一)2阶行列式的定义,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列(横排称行、竖排称列)的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,
(二)三阶行列式的定义,解三元一次方程组,由
(1)
(2)消x3,同理
(1)(3)消x3得,由二元一次方程组可知:
若系数行列式:
即:
那么:
三元线性方程组:
若系数行列式不等于零,有解:
(二)三阶行列式的定义,定义,记,
(1)式称为数表所确定的三阶行列式.,
(1)沙路法,三阶行列式的计算,
(2)对角线法则,注意红线上三元素的乘积冠以正号,蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例,解,按对角线法则,有,二.四阶行列式与n阶行列式的定义,不适用对角线定义.,1,+1,三阶行列式的沙路法和对角线法不适用四阶行列式,二.四阶行列式与n阶行列式的定义,例:
求x4=?
由
(2)+(3)得:
得:
10,3,观察2阶和3阶行列式:
=?
三阶行列式:
+,123,231,312,132,213,321,0个,2个,2个,偶排列,1个,1个,3个,奇排列,记:
为排列的逆序数总数.,规定,=,行列式的一般项定义.,补充说明:
行列式的一般项定义中列标可按自然顺序排列.,例如:
n阶行列式的一般项定义,行列式的一般项,简记,其中aij是行列式的元数.,例1计算对角行列式,分析,展开式中一般项中的元素积:
所以只能等于,同理可得,解,即行列式中不为零的项为,例如,3或2阶行列式的按第1行展开式归纳如下:
四阶行列式与n阶行列式按行展开式定义.,按照这一规律观察2阶:
=,规定:
叫做元素的代数余子式,例如,的余子式和代数余子式,1.余子式与代数余子式,的余子式和代数余子式,定义:
由n2个数aij(ij=1,2,n)组成的n阶行列式,n阶行列式按第1行展开的定义,是一个算式.,当n=1时,定义D=,当n2时,定义为,其中:
例1,=40,按第1行的元素展开,例:
利用行列式的按第1行展开定义证明:
证明:
对n作数学归纳法证明.,当n=2时,结论成立,假设结论对n-1阶下三角形行列式成立,则,D=,D=,同理可得对角行列式,上三角行列式:
例3计算n阶行列式,(副对角线以上的元素为0),解:
=.,作业:
1.预习1.2n阶行列式的计算.,2.练习:
P32.1-10.,3.小组讨论题:
P36补充题3周内完成,
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