大学数学毕业论文(设计)：抽屉原理及其应用Word格式.doc

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抽屉原理及其应用

摘要：

本文简述了抽屉原理普遍使用的简单形式、各种推广形式，着重阐述其在数论和离散数学、高等代数及抽象代数中的应用,及在生活中的应用，可以巧妙地解决一些复杂问题，并根据抽屉原理的不足之处引入抽屉原理的推广定理Ramsey定理.

关键词：

抽屉原理；

数论；

离散数学；

高等代数；

抽象代数；

Ramsey定理；

应用

Dirichletdrawerprincipleandtheapplicationofit

Abstract

ThispaperintroducesthewidespreaduseofsimpleformsandallkindsofextendedformsofDirichletdrawerprinciple,focusingontheapplicationofDirichletdrawerprincipleinthenumbertheory,discretemathematics,hightalgebraandabstractalgebra,andalsothereallife.Itcansolveablysomecomplicatedproblems,andaccordingtotheprincipleofdrawertheshortcomingsoftheprincipleofintroducingthedrawertheoremRamseytheorem.

Keywords:

Dirichletdrawerprinciple;

Numbertheory;

Discretemathematics;

Higheralgebra;

Abstractalgebra;

Ramseytheorem;

Application.

1.引言

抽屉原理又称鸽巢原理、鞋箱原理或重叠原理，是一个十分简单又十分重要的原理.它是由德国著名数学家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet1805-1855）首先发现的，因此也叫作狄利克雷原理.

抽屉原理简单易懂，主要用于证明某些存在性或必然性的问题，不仅在数论、组合论以及集合论等领域中有着广泛应用，在高等数学的其它几门学科领域中也是解决问题的有效方法.

本文总结了如何运用抽屉原理解决数论、离散数学、高等代数及抽象代数中的问题，对抽屉原理在高等数学中的应用进行了梳理，将抽屉原理的解题思路拓展到高等数学的其他领域，有助于更好地理解抽屉原理，并举例阐述了抽屉原理在现实生活中的应用，以及根据抽屉原理的不足引出的Ramsey定理.

2.抽屉原理的形式

什么是抽屉原理？

先举个简单的例子说明，就是将3个球放入2个篮子里，无论怎么放，必有一个篮子中至少要放入2个球，这就是抽屉原理.或者假定一群鸽子飞回巢中，如果鸽子的数目比鸽巢多，那么一定至少有一个鸽笼里有两只或两只以上的鸽子，这也是鸽巢原理这一名称的得来.

抽屉原理简单直观，很容易理解.而这个看似简单的原理在高等数学中有着很大的用处，对于数论、离散数学、高等代数以及抽象代数中的一些复杂问题，可以利用抽屉原理巧妙的解答出来.

下面首先从抽屉原理的形式入手，然后再研究它在高等数学中的应用.

我们最常用的抽屉原理只是抽屉原理的简单形式，就是将n+1个元素或者更多的元素放入n个抽屉中，则至少有一个抽屉里放有两个或两个以上的元素.

除了这种比较普遍的形式外，抽屉原理还经许多学者推广出其他的形式.

陈景林、阎满富在他们编著的《组合数学与图论》一书中将抽屉原理抽象概括成以下三种形式[1]:

原理1.把多于个的元素按任一确定的方式分成个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素.

原理2.把个元素任意放到个集合里，则至少有一个集合里至少有个元素，其中

原理3.把无穷个元素按任一确定的方式分成有限个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素.

卢开澄在《组合数学》（第三版）中将抽屉原理（书中称为鸽巢原理）又进行了推广[2].

鸽巢原理：

设k和n都是任意正整数，若至少有kn+1只鸽子分配在n个鸽巢中，则至少存在一个鸽巢中有至少k+1只鸽子.

推论1.有m只鸽子和n个鸽巢，则至少有一个鸽巢中有不少于+1只鸽子.

推论2.若将n（m-1）+1个球放入n个盒子里，则至少有一个盒子有m个球.

推论3.若是n个正整数，而且r=，则中至少有一个数不小于r.

另外，抽屉原理还可以用映射的形式来表示，即:

设和是两个有限集，如果>

，那么对从到的任何满射，至少存在,,使.

3.抽屉原理在高等数学中的应用

以上的几种形式就是我们解题时常用到的抽屉原理的表示形式，接下来，在了解了抽屉原理的基本形式以及多位学者所发展的推广形式的基础上，我们通过一些比较典型的实例来说明抽屉原理在高等数学中数论、离散数学、高等代数以及抽象代数这五个方面的应用.

3.1数论问题中的应用

例1.任意5个整数中，有其中3个整数的和为3的倍数.

证明

将整数分为形如3k、3k+1及3k+2这3类形式，

则我们可以将这3类整数看作是3个抽屉，将这5个整数看作元素放入这3个抽屉中.

由抽屉原理可知，至少存在2=[]+1个整数在同一抽屉中，即它们都是形如（3k+m）的整数，m=0,1或2.

如果有3个以上的数在同一个抽屉中，则取其中的任意三个数，它们的和是形如3（3k+m）的整数，即三者的和为3的倍数.

如果有2个整数在同一个抽屉中，则由抽屉原理知，在余下的3个数中有2个数在同一个抽屉中，余下的1个数在另一个抽屉中.在3个抽屉中各取一个数，这3个数的形式分别为3k,3k+1,3k+2,则三者的和为3（k+k+k）+3，即为3的倍数.

例2.设有两组整数，而且每一组的数都是小于n（nZ）的互不相同的数，这两组数的数目个数≧n，则存在一对分别取自两组的数使这两个数的和为n.

设这两组数为{a,a,…,a}、{b,b,…,b}.

已知每一组的数都是小于n（nZ）的互不相同的数.

不妨设a<

a<

…<

a,<

<

.

令c=n-a,i=1,2,…,k.

则有n-1≧c≧c≧…≧c≧1.

n-1≧b≧b≧…≧b≧1.

这些未知数只能在1,2,…,n-1中取值，我们可以将1,2,…,n-1这n个数看作n个抽屉.

考察数集{b,b,…,b，c，c，…，c}.

由于p+q≧n,运用抽屉原理可知,至少有两个数在1,2,…,n-1之中的一个抽屉，也就是至少有两个数取同一个值，且这两个数分别来自{，，…，}、{b，b，…，b}.

（此是因为，根据已知条件，{c，c，…，c}、{b,b,…,b}在各自集合中是互不相同的，假定两个数同时取自{，，…，}，也就是在这p个数当中有两个数被同时放在同一抽屉里，则这两个数相等，而,互不相同，则互不相同，两者矛盾.）

即,

.

3.2离散数学中的应用

例3.设有3个7位的二进制数

试证存在整数和,，使得下列之一必然成立

解

由已知条件，在每一个纵列中，含有三个元素，分别都只由两种选择，

即0或1，则根据鸽巢原理，中至少一个必然成立.

成立的时候取值的不同可以有=6种情况，而每一横行共有七个元素

再根据鸽巢原理，必有两列是相同的.

即之一必然成立.

例4.三维空间中9个坐标为整数的点，试证在两两相连的线段内，至少存在一个坐标为整数的内点.

解

三维空间中，任意两坐标为整数的点，若这两点相连的线段内不存在坐标为

整数的内点，则对于x,y,z这三个坐标轴，这两点至少在一个坐标上的差值正好

是1.

那么，在这9个坐标为整数的点中，任意取出一点，与这个点的三个坐标中，

存在的差值正好是1的共有7类，即与x轴差值正好是1，与y轴差值正好是1，

与z轴差值正好是1，与x,y轴差值都是1，与x,z轴差值都是1，与y,z轴差

值都是1，与x,y,z轴差值都是1.

对于剩下的8个点，若存在一点a不满足这7种情况，那么a点与这个点相连的线段内必有一个坐标为整数的内点.

若剩下的8个点都属于这7种情况之一，那么，运用鸽巢原理，则至少存在两个点属于这7种情况中的同一个情况，那么，这两点中必存在一个坐标为整数的内点.

例5.把从1到326的326个整数任意分为5个部分，试证其中有一部分至少有一个数是某两个数之和，或是另一个数的两倍.

解（用反证法）

假设存在划分，中没有数是两个数之和，即中没有数是两个数之差.

根据鸽巢原理（推论1）

设1到326中至少有个元素属于，并设为，不妨设.

若A中存在一个元素是某两个元素之差，则满足题目要求.否则，令，令.

显然B中的元素仍然是1到326之间的数，即.根据假定B中无一属于，所以B的元素属于，，，.

同理，设B中至少存在属于P2的个元素.设为,不妨设.

则根据假设，在C中不存在一个元素是某两个元素之差.令，令，显然D中的元素仍然是1到326之间的数,即.

易知存在整数,使得.所以，D中的元素不属于，也不属于，只能属于，，.

根据鸽巢原理（推论1），设至少存在个元素属于.设为.令.

则根据假设，在F中不存在一个元素是某两个元素之差，令.令,显然G中的元素不属于.且对于存在使得

.故G中的元素也不属于和，则G中的元素属于，.

对于G中的5个元素，根据鸽巢原理，设至少存在个属于.设为.令.令.

显然，T中的元素不属于，，，，故T的元素属于.但根据假定，令，则且u不属于.同样，u也不属于，，，，即存在一个整数，不属于，，，，.这与将1至326之间的整数任意分为5部分的假定相矛盾.

因此，其中有一部分至少有一个数是某两个数之和.得证.

3.3高等代数中的应用

例6.已知齐次线性方程组

其中,证明存在不全为零的整数适合

令，，

则该齐次线性方程组可写成

设集合S={}

D={:

XS}

映射是一个满射.显然=,因为{-1，0，1}，所以对每个XS，它的2n个分量适合

≤（i=1,2,,n）

因此又

根据抽屉原理.

（映射形式设A和B是两个有限集，如果>

那么对从A到B的任何满映射f，至少存在,,使f（）=f（）.）

S中至少存在两个不同的元

使,即,.

令，则即是我们所要求的，是不全为零的整数，且满足

例7.设为阶方阵，证明存在1，使秩（）=秩（）=秩

因为阶方阵的秩只能是这+1个数之一.

的个数多于秩的个数，由抽屉原理可知，存在,满足1<

使

秩（）=秩（）,

但

秩（）秩（）…秩（）,

所以

秩（）=秩（）,

利用此式与秩的性质得

秩（）秩（）+秩（）-秩（）,

这里的是任意三个可乘矩阵，用数学归纳法可证

秩（）=秩（）.

其中为非负整数，故命题的结论成立.秩（）=秩（）=秩.

3.4抽象代数中的应用

例8.证明:

有限群中的每个元素的阶均有限．

证明

设G为n阶有限群，任取a∈G，则由抽屉原理可知中必有相等的．不妨设于是有，从而a的阶有限．

例9.证明只含有限个理想的非零整环R必是域.

根据魏得邦定理，只需证明R是除环即可.

（设是环且，则R是除环当且仅当对R中任意元素，方程ax=b或ya=b在中有解）

在R中任取元素.

考虑

易知，都是的理想.

但由于整环R只有有限个理想，根据抽屉原理.

必存在正整数s与t满足s<

t..

从而存在c∈R,使或.

即方程ax=b在R中有解.

根据定理,R是除环.

由魏得邦定理，原命题得证.

4.抽屉原理在实际生活中的应用

抽屉原理不仅在高等数学中具有广泛应用，在我们的实际生活中，也能处处发现抽屉原理的影子.如招生录取、赛程安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用.

其实早在中国古代的春秋战国时期就有了运用抽屉原理的例子，那就是《晏子春秋》中的“二桃杀三士”的典故，将两个桃子赏赐给三名勇士，在这里可以将桃子看作抽屉，三个人作为元素放进抽屉，则根据抽屉原理，一定有一个抽屉要放入两个或两个以上的元素，回到问题情境中就是一定要有两个人吃一个桃子，导致这三名勇士最后自相残杀而亡，这就是著名的“二桃杀三士”.

后来宋朝时期费衮在他的《梁谿漫志》中就曾运用抽屉原理来驳斥但是流行的“算命”一说，费衮指出算命是把一个人出生的年、月、日、时作为依据，把这些作为“抽屉”，则不同的抽屉有12×

360×

60＝259200个.把所有的人作为“物品”，则进入同一抽屉的人有成千上万个，因此“生时同者必不为少矣”.既然“八字”相同，“又何贵贱贫富之不同也？

这是大基数的社会现象，常给人感觉世事很奇巧，碰到同生日、同名的人，这也是抽屉原理在生活中的应用.而生活中也有常见的抽屉原理的应用之处，如“抢凳子”游戏，一群人抢凳子，凳子数比人少，必然淘汰一些人,又或者是13个人中总有2人是同一个月份出生，52张扑克牌中取出5张总有2张花色相同，在100米长的小路上种101棵小树，不管怎么种，至少有两棵树苗之间的距离不超过1米等等.

下面我们再来看几个例子.

例10.有11名学生到老师家借书，老师是书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本.试证明必有两个学生所借的书的类型相同.

若学生只借一本书，则不同的类型有A、B、C、D四种；

若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有=6种，即AB、AC、AD、BC、BD、CD.共有10种类型.

把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“物品”.那个学生借了哪种类型的书，就将其放入对应的那个抽屉里.

根据抽屉原理，.所以，至少有两个学生所借的书类型相同.

例11.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

首先来看具体的拿球的配组方式，有以下9种：

｛足｝，｛排｝，｛篮｝，｛足，足｝，｛排，排｝，｛篮，篮｝，｛足，排｝，｛足，篮｝，｛排，篮｝.

把这9种配组方式看作9个抽屉,则根据抽屉原理，有

所以至少有6名同学所拿的球的种类是完全一样的.

例12.你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛,共要进行10场比赛.则各队每两场比赛中间至少隔多少场才最公平呢？

下面是随便安排的一个赛程:

记5支球队为A,B,C,D,E，在下表左半部分的右上三角的10个空格中,随手填上1,2,…，10,就得到一个赛程,即第1场A对B,第2场B对C,…,第10场C对E.表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数,显然这个赛程对A,E有利,对D则不公平.

答案是.

因，所以分两种情况讨论.

1）当n=2m为偶数时，这2m支球队为0，1，2，…，（2m-1）.顺次安排（m+1）场比赛需要2（m+1）支球队参赛，由抽屉原理，必然有重复出现的球队，由单循环赛知，重复出现的球队中一定存在某球队.其两场比赛中间相隔的场次数最多为m-2.

2）当n=2m+1为奇数时，这2m+1支球队为0,1,2,…,2m.顺次安排（m+1）场比赛需要2（m+1）支球队参赛，由抽屉原理，必然有重复出现的球队，其两场比赛中间相隔的场次数最多为m-1.

因此，当n支球队比赛时，若安排的赛程使各队每两场比赛中间至少相隔场，则该赛程称为完美赛程.

5.抽屉原理的推广定理－Ramsey定理

曹汝成编著的《组合数学》教科书中指出，应用抽屉原理虽然可以解决许多涉及存在性的组合问题,但对于一些更加复杂的有关存在性的组合问题，抽屉原理显得无能为力，这时我们就需要运用抽屉原理的推广定理Ramsey定理来解决问题，下面我们就来探讨抽屉原理在应用上的不足.

Ramsey（1903-1930）是英国数理逻辑学家,他把抽屉原理加以推广，得出广义抽屉原理，也称为Ramsey定理.

Ramsey定理设p,q是正整数，p,q>

2,则存在最小正整数R（p,q）,使得当n>

R（p,q）时，用红蓝两色涂的边，则或存在一个蓝色的,或存在一个红色的.

Ramsey定理（狭义）的内容任意六个人中要么至少三个人认识，要么至少三个不认识.

Ramsey定理可以视为抽屉原理的推广，1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：

“证明：

任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人.”在1958年6-7月号美国《数学月刊》同样也登载着这样一个有趣的问题“任何六个人的聚会，总会有3人互相认识或3人互相不认识.”这就是著名的Ramsey问题.

这个问题乍看起来，似乎令人匪夷所思.但如果懂得抽屉原理，要证明这个问题是十分简单的：

我们用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便找一个，例如A吧，把其余五个人放到“与A认识”和“与A不认识”两个“抽屉”里去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有三个人.不妨假定在“与A认识”的抽屉里有三个人，他们是B、C、D.如果B、C、D三人互不认识，那么我们就找到了三个互不认识的人；

如果B、C、D三人中有两个互相认识，例如B与C认识，那么，A、B、C就是三个互相认识的人.不管哪种情况，本题的结论都是成立的.

或者我们可以用染色的方法.以6个顶点分别代表6个人，如果两人相识，则在相应的两点间连一条红边，否则在相应的两点间连一蓝边.

命题1.对6个顶点的完全图任意进行红、蓝两边着色，都存在一个红色三角形或蓝色三角形.

证明如下

首先，把这6个人设为A、B、C、D、E、F六个点.由A点可以引出AB、AC、AD、AE、AF五条线段.

设如果两个人认识，则设这两个人组成的线段为红色；

如果两个人不认识，则设这两个人组成的线段为蓝色.

由抽屉原则可知这五条线段中至少有三条是同色的.不妨设AB、AC、AD为红色.若BC或CD为红色，则结论显然成立.

若BC和CD均为蓝色，则若BD为红色，则一定有三个人相互认识；

若BD为蓝色，则一定有三个人互相不认识.

上述的Ramsey问题等价于下面的命题1.

命题1运用抽屉原理可以很容易很简便地对其进行证明.现将命题1推广成下面的命题2.

命题2.对六个顶点的完全图任意进行红、蓝两边着色，都至少有两个同色三角形.

由于命题2是要证明至少存在两个同色三角形的问题，而抽屉原理一般只局限在证明至少存在一个或必然存在一个的问题，所以对于上述命题抽屉原理就显得无能为力，这时需要运用Ramsey定理来解决问题.

证明设是的六个顶点，由上面的命题1可知，对任意进行红、蓝两边着色都有一个同色三角形，不妨设△是红色三角形.以下分各种情况来讨论

（1）若均为蓝边，如图1所示，则若之间有一蓝边，不妨设为，则三角形△为蓝色三角形；

否则，△为红色三角形.

图1图2

（2）若中有一条红边，不妨设为红边，此时若边中有一条红边，不妨设是红边，则△是一红色三角形，见图2.

以下就均为蓝边的情况对与相关联的边的颜色进行讨论.

（ⅰ）若中有一蓝边，不妨设为蓝边，如图3，此时，若均为红边，则△是红色三角形；

否则，△或△是蓝色三角形.

（ⅱ）若均为红边，见图4，此时，若之间有一条红边，不妨设为红边，则△为红色三角形；

否则，△为蓝色三角形.

图3图4

由以上对各种情况的讨论知，对的任意红、蓝两边着色均有两个同色三角形.

从以上例子可知，抽屉原理在应用上确有不足之处，之上只是个特例，至于在别的领域中的不足之处还需我们进一步的探索.

抽屉原理的应用领域十分广泛，涉及到高等数学的多个学科，并且在生活中也有广泛的应用，可以巧妙的用于解决一些复杂问题，本文主要梳理总结了它在数论、离散、高等代数及抽象代数中的应用，其不足之处也由Ramsey定理进行了补充，使其能够更好的应用与问题解决当中.

6.参考文献

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[2]卢开澄.组合数学（第3版）.北京清华大学出版社，2002.07

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[6]严士健.抽屉原则及其它的一些应用[J].数学通报,1959