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反之,当合上关门开关时,电动机带动绞盘使大门关闭,从而可以实现大门远距离开闭自动控制。
系统方框图如图1-5所示。
1-6控制系统分为两种基本形式开环系统和闭环系统。
1-7负正反馈如何定义?
答:
将反馈环节取得的实际输出信号加以处理,并在输入信号中减去这样的反馈量,再将结果输入到控制器中去控制被控对象,我们称这样的反馈是负反馈;
反之,若由输入量和反馈相加作为控制器的输入,则称为正反馈。
1-8若组成控制系统的元件都具有线性特性,则称为线性控制系统。
1-9控制系统中各部分的信号都是时间的连续函数,则称为连续控制系统。
1-10在控制系统各部分的信号中只要有一个信号是时间的离散信号,则称此系统为离散控制系统。
第二章
2-1试建立图2-1所示各系统的微分方程。
其中外力,位移和电压为输入量;
位移和电压为输出量;
(弹性系数),(阻尼系数),(电阻),(电容)和(质量)均为常数。
(a)以平衡状态为基点,对质块进行受力分析(不再考虑重力影响),如图解2-1(a)所示。
根据牛顿定理可写出
整理得
(b)如图解2-1(b)所示,取A,B两点分别进行受力分析。
对A点有
(1)
对B点有
(2)
联立式
(1)、
(2)可得:
(c)应用复数阻抗概念可写出
(3)
(4)
联立式(3)、(4),可解得:
微分方程为:
(d)由图解2-1(d)可写出
(5)
(6)
(7)
联立式(5)、(6)、(7),消去中间变量和,可得:
微分方程为
2-2试证明图2-2中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统(即有相同形式的数学模型)。
解
(a)取A、B两点分别进行受力分析,如图解2-2(a)所示。
(1)
对B点有
(2)
对式
(1)、
(2)分别取拉氏变换,消去中间变量,整理后得
=
(b)由图可写出
=
整理得
=
比较两系统的传递函数,如果设则两系统的传递函数相同,所以两系统是相似的。
2-3假设某容器的液位高度与液体流入量满足方程,
式中为液位容器的横截面积,为常数。
若与在其工作点附近做微量变化,试导出关于的线性化方程。
解将在处展开为泰勒级数并取一次近似
(1)
代入原方程可得
(2)
在平衡工作点处系统满足
(3)
式
(2),(3)相减可得的线性化方程
2-4试求图2-3所示各信号的象函数。
(a)
=
(b)
=
(c)=
2-5求下列各拉氏变换式的原函数。
(1)
(2)
(3)
解
(1)
(2)原式=
x(t)=
(3)原式=
=
2-6已知在零初始条件下,系统的单位阶跃响应为,试求系统的传递函数和脉冲响应。
解单位阶跃输入时,有,依题意
2-7已知系统传递函数,且初始条件为,,试求系统在输入作用下的输出。
解系统的微分方程为
(1)
考虑初始条件,对式
(1)进行拉氏变换,得
(2)
2-8求图2-4所示各有源网络的传递函数。
(a)根据运算放大器“虚地”概念,可写出
(b)
(c)
2-9某位置随动系统原理框图如图2-5所示,已知电位器最大工作角度=3300,功率放大器放大系数为。
(1)分别求出电位器的传递函数,第一级和第二级放大器的放大系数,;
(2)画出系统的结构图;
(3)求系统的闭环传递函数。
(1)电位器的传递函数
根据运算放大器的特性,可分别写出两级放大器的放大系数为
,
(2)可画出系统结构如图解2-6所示:
(3)
2-10飞机俯仰角控制系统结构图如图2-7所示,试求闭环传递函数。
解经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数
2-11已知系统方程组如下:
试绘制系统结构图,并求闭环传递函数。
解系统结构图如图解2-8所示。
利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为
2-12试用结构图等效化简求图2-9所示各系统的传递函数。
解(a)
所以:
(c)
(d)
(e)
2-13已知控制系统结构图如图2-11所示,求输入时系统的输出。
解由图可得
又有
则
即
2-14试绘制图2-12所示系统的信号流图。
2-15试绘制图2-14所示信号流图对应的系统结构图。
2-16试用梅逊增益公式求2-12题中各结构图对应的闭环传递函数。
解(a)图中有1条前向通路,3个回路,有1对互不接触回路
(b)图中有2条前向通路,1个回路
(c)图中有1条前向通路,3个回路
(d)图中有2条前向通路,5个回路
(e)图中有2条前向通路,3个回路
2-17试用梅逊增益公式求图2-16中各系统的闭环传递函数。
解(a)图中有1条前向通路,4个回路
则有
(b)图中有2条前向通路,3个回路,有1对互不接触回路
则有
(c)图中有4条前向通路,5个回路
(e)图中有2条前向通路,3个回路,有1对互不接触回路
2-18已知系统的结构图如图2-17所示,图中为输入信号,为干扰信号,试求传递函数,。
解(a)令,求。
图中有2条前向通路,3个回路,有1对互不接触回路。
令,求。
有3条前向通路,回路不变。
(b)令,求。
图中有1条前向通路,1个回路。
图中有1条前向通路,回路不变。
(c)令,求。
图中有3条前向通路,2个回路。
有1条前向通路,回路不变。
2-19如图2-18所示,已知单位负反馈系统开环传递函数
且初始条件为,。
试求:
(1)系统在作用下的输出响应;
(2)系统在作用下的静态误差
图2-18
1)初始条件为0时,
现
代入,:
当,
则
2)
2-20系统如图2-19所示
图2-19
求:
(1)系统的微分方程
(2)系统的传递函数(系统初值为0)
应用阻抗法直接求电路的传递函数。
由图2-13所示可知:
第三章
3.1已知二阶系统闭环传递函数为。
试求单位阶跃响应的tr,tm,δ%,ts和振荡次数N的数值?
[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的例题。
解法是把给定的闭环传递函数与二阶系统闭环传递函数标准形式进行对比,求出参数,而后把代入性能指标公式中求出,,,和的数值。
上升时间tr
峰值时间tm
过度过程时间ts
超调量δ%
振荡次数N
(振一次)
3.2设单位反馈系统的开环传递函数为
试求系统的性能指标,峰值时间,超调量和调节时间。
[题意分析]这是一道给定了开环传递函数,求二阶系统性能指标的练习题。
在这里要抓住二阶系统闭环传递函数的标准形式与参数(,)的对应关系,然后确定用哪一组公式去求性能指标。
根据题目给出条件可知闭环传递函数为
与二阶系统传递函数标准形式相比较可得,即=1,=0.5。
由此可知,系统为欠阻尼状态。
故,单位阶跃响应的性能指标为
3.3如图3-1所示系统,假设该系统在单位阶跃响应中的超调量=25%,峰值时间=0.5秒,试确定K和τ的值。
X(s)Y(s)
图3-1
[题意分析]这是一道由性能指标反求参数的题目,关键是找出:
K,τ与,的关系;
与,的关系;
通过,把,与K,τ联系起来。
由系统结构图可得闭环传递函数为
与二阶系统传递函数标准形式相比较,可得
由题目给定:
即
两边取自然对数可得
依据给定的峰值时间:
(秒)
所以(弧度/秒)
故可得
τ≈0.1
3.4已知系统的结构图如图3-2所示,若时,试求:
(1)当τ=0时,系统的tr,tm,ts的值。
(2)当τ≠0时,若使δ%=20%,τ应为多大。
100
X(s)Y(s)
图3-2
[题意分析]这是一道二阶系统综合练习题。
(1)练习输入信号不是单位阶跃信号时,求性能指标。
关键是求出,,。
(2)的求法与例4-3-3相似。
(1)由结构图可知闭环传递函数为
可得
由于输出的拉氏变换为
则拉氏反变换为
(2)当τ≠0时,闭环传递函数
由
两边取自然对数,可得
故
3.5设单位反馈系统的开环传递函数为
若T=0.1秒,试求开环放大系数K=10/s和K=20/s时:
(1)阻尼比及无阻尼自然振荡角频率。
(2)单位阶跃响应的超调量和调节时间。
解:
[题意分析]这是一道典型二阶系统求性能指标的练习题,通过该练习题数值计算,加深理解开环放大系数K值的改变,对系统参数,及性能指标的影响。
(1)系统闭环传递函数为
或
当K=10/s时,=10(弧度/秒),=0.5
K=20/s时,=14.14(弧度/秒),=0.354
(2),
当K=10/s时,=16.3%,=0.362(秒),(秒)
K=20/s时,=30.4%,=0.237(秒),=0.6(秒)
由此可见,开环放大系数增大,使减小,增大,超调量增大,峰值时间减小,调节时间基本不变。
3.6
(1)什么叫时间响应?
答:
系统在外加作用的激励下,其输出随时间变化的函数关系叫时间响应。
(2)时间响应由哪几部份组成?
各部份的定义是什么?
时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。
瞬态响应是系统受到外加作用后,系统从初始状态到最终稳定状态的响应过程称瞬态响应或者动态响应或称过渡过程。
稳态响应是系统受到外加作用后,时间趋于无穷大时,系统的输出状态或称稳态。
(3)系统的单位阶跃响应曲线各部分反映系统哪些方面的性能?
瞬态响应反映系统的稳定性,相对稳定性及响应的快速性;
稳态响应反映系统的准确性或稳态误差。
(4)时域瞬态响应性能指标有哪些?
它们反映系统哪些方面的性能?
延迟时间;
上升时间;
峰值时间;
调节时间;
最大超调量.,,,反映系统的快速性,即灵敏度,反映系统的相对稳定性。
3.7设系统的特征方程式为
试判别系统的稳定性。
特征方程符号相同,又不缺项,故满足稳定的必要条件。
列劳斯表判别。
由于第一列各数均为正数,故系统稳定。
也可将特征方程式因式分解为
根均有负实部,系统稳定。
3.8设系统的特征方程式为
列劳斯表
将特征方程式因式分解为
根为
系统等幅振荡,所以系统临界稳定。
3.9系统特征方程式为
由表的第一列可以看出,各项符号没有改变,说明在[s]右半部没有极点,但是由于s3的各项都为零,这表明有共轭虚根,所以系统是等幅振荡的,虚根的值可由辅助方程求得:
或
解得
所以系统临界稳定。
3.10单位反馈系统的开环传递函数为
试求k的稳定范围。
系统的闭环特征方程:
系统稳定的充分必要条件
K>
0.35-0.025K>
得K<
14
所以保证系统稳定,K的取值范围为0<
K<
14。
3.11已知开环传递函数分别为和的两个系统,试求它们的静态误差系数和动态误差系数以及输入为时的稳态误差(其中R0、R1、R2均为正常数)。
(1)两个系统均为1型系统,其稳态误差系数为
第一系统第二系统
(2)动态误差系数
用长除法求升幂级数
因此得动态误差系数
(3)用静态误差系数法计算稳态误差
第一个系统第二个系统
(4)用动态系数法计算稳态误差
对第一个系统
只要R2≠0,t→∞时ε(∞)→∞
对第二个系统
由上面计算可以看出,静态误差系数相同的两个系统,可能具有不同的动态误差系数。
但是对同一系统,无论采用那种方法计算稳态误差其结果都是相同的。
3.12单位反馈控制系统的开环传递函数为,试求在输入信号为
作用时的稳态误差。
[题意分析]该题是求稳态误差的基本题目,可采用不同的方法求解。
在这里需要运用系统的迭加原理,及系统的类型。
方法1:
依据定义用终值定理求稳态误差。
由题可知系统闭环传递函数为
输入信号的拉氏变换为
根据误差的定义,误差信号的拉氏变换为
由终值定理
方法2:
用静态误差系数法
由于系统是I型系统,因此根据迭加原理
当时
故
方法3:
用动态误差系数法
误差传递函数为
所以
稳态误差
3.13
(1)系统的稳定性定义是什么?
系统受到外界扰动作用后,其输出偏离平衡状态,当扰动消失后,经过足够长的时间,若系统又恢复到原平衡状态,则系统是稳定的,反之系统不稳定。
(2)系统稳定的充分和必要条件是什么?
系统的全部特征根都具有负实部,或系统传递函数的全部极点均位于[S]平面的左半部。
(3)误差及稳态误差的定义是什么?
输出端定义误差e(t):
希望输出与实际输出之差。
输入端定义误差e(t);
输入与主反馈信号之差。
稳态误差,误差函数e(t),当t→∞时的误差值称为稳态误差。
3.14设控制系统如图3-3所示,其中输入信号,扰动信号,试计算该系统的稳态误差。
N(s)
X(s)E(s)Y(s)
图3-3
令
输入信号为单位斜坡信号:
令,得在扰动作用下的误差传递函数:
扰动作用的拉氏变换为
所以
根据线性迭加原理:
特别要指出,在实际系统中,有时作用在系统上的干扰方向是变化的。
因此,常取作为结果。
本例,应取。
3.15已知单位反馈随动系统如图3-4所示。
若,。
(1)典型二阶系统的特征参数和;
(2)暂态特性指标和;
(3)欲使,当不变时,应取何值。
图3-4随动系统结构图
由系统结构图可求出闭环系统的传递函数为
与典型二阶系统的传递函数比较
得
已知、值,由上式可得
于是,可
为使,由公式可求得,即应使由0.25增大到0.5,此时
即值应减小4倍。
3.16设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-5所示。
如果该系统为单位反馈控制系统,试确定其开环传递函数及闭环传递函数。
图3-5单位阶跃响应曲线
由图3-5可知本例题系统为欠阻尼系统,可以从上图直接得出和。
由
可以解得:
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