导数在研究函数中的应用含标准答案doc.docx
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导数在研究函数中的应用含标准答案doc
导数在研究函数中的应用
【自主归纳,自我查验】
一、自主归纳
1.利用导函数判断函数单调性问题
函数犬尤)在某个区间(外力)内的单调性与其导数的正负有如下关系
(1)若,则、/U)在这个区间上是增加的.
(2)若,则犬工)在这个区间上是减少的.
(3)若,则在这个区间内是常数.
2.利用导数判断函数单调性的一般步骤
⑴求/⑴.
(2)在定义域内解不等式J\x)>0或/(x)<0.
(3)根据结果确定的单调区间.
3.函数的极大值
在包含x()的一个区间(白,b)内,函数y=J(x)在任何一点的函数值都x0点的函数值,
称点%为函数),=./□)的极大值点,其函数值人工。
)为函数的极大值.
4.函数的极小值
在包含,句的一个区间(。
,人)内,函数y=Ax)在任何一点的函数值都茶)点的函数值,
称点互心为函数y=JM的极小值点,其函数值./Uo)为函数的极小值.极大值与极小值统称为,极大值点与极小值点统称为极值点.
5.函数的最值与导数
1.函数y=J(x)在,国上的最大值点易指的是:
函数在这个区间上所有点的函数值都
(易).
2,函数),=汽力在口,仞上的最小值点易指的是:
函数在这个区间上所有点的函数值都
(易)•
二,自我查验
1.函数J{x)=x+e\nx的单调递增区间为()
A.(0,+8)b.(・8,°)
C.(・8,0)和(0,+8)D.R
2.若函数人[)=疽+_?
+心+1是R上的单调增函数,则〃Z的取值范围是
3.函数J(x)的定义域为开区间俗,b),导函数ff(x)在(o,A)内的图
象如图所示,则函数J(x)在开区间(〃,8)内有极小值点()
4.若函数J(x)=^+ax+3x-9在尤=・3时取得极值,则。
等于()
5.函数y=—的最大值为(
考点一利用导数研究函数的单调性
【例1】(2015-高考全国卷II)已知函数J(x)=]nx+a(\-x).
(1)讨论妣)的单调性;
(2)当只力有最大值,且最大值大于-2时,求。
的取值范围.
【变式训练1】己知/(x)=x3+ax2-a2x+2.
(1)若。
=1时,求曲线y=f(x)在点(1,/
(1))处的切线方程;
(2)若。
>0,求函数f(x)的单调区间.
考点二利用导汝救研究汤救极值问题
【例2】已知函数/(x)=lnx-or+3,aGR.
(1)当。
二1时,求函数的极值;
(2)求函数的单调区间.
eA4
【变式训练2】(2011-安徽)设心)二二^,其中。
为正实数.当。
我时,求冷)的极值点;
1+ax°
考点三利用导函教求函教景值问题
【例3】己知。
为实数,/(x)=(x2-4)(^-6/).
(1)求导数广(X);
(2)若/'(—1)=0,求f(x)在[一2,2]上的最大值和最小值.
【应用体验】
1.函数y=x-\nx的单调递减区间为()
A.(-1,1]B.(0,+oo)
C・[1,+8)D.(0,1]
2.函数f(x)=xe'x的单调递减区间是()
A.(1,+<>O)B.(-00,-1)C.(—8,1)D.(—1,4-00)
3.函数/(x)=(x-3)ev的单调递增区间是()
A.(0,3)B.(1,4)
C.(2*)D.(—,2)
4.设函数/(x)=-+lnx,则()
X
A.x=L为f(x)的极大值点
B.x=|^/(x)的极小值点
C.工=2为/(、)的极大值点
D.x=2^f(x)的极小值点
5.函数/(x)=2x3-3x2+«的极大值为6,那么。
的值是()
A.0B.1
【复习与巩固】
A组夯实基础
一、选择题
1.己知定义在R上的函数/(x),其导函数/(%)的大致图象如图所示,则下列叙述正确
A・/(")*(<)*(")
C・f(c‘)>f(》)>./*(。
)
2.函数f(x)=x2+a\nx在x=1处取得极值,则4等于()
A.2B.-2
C.4D.-4
3.函数/(x)=ev-x(e为自然对数的底数)在区间[一1,1]上的最大值是()
A.1—B.1
e
C.e+1D.e-1
二,填空题
4.若函数/(x)=x3+x2+m.r+l是R上的单调增函数,则实数〃?
的取值范围是
3x2+ax
6.函数./*(])=ev-x在[一1,1]上的最小值是
三,解答题
7.已知函数/(x)=|x2-lnx,求函数/(x)的单调区间
X
位已知函数f(x)=—一+CZX,X>1.
Inx
(1)若/(X)在(l,+oo)±单调递减,求实数。
的取值范围;
(2)若a=2,求函数f(x)的极小值.
B组能力提升
一、选择]
1.已知函数/(x)=x2--lnx+-在其定义域内的一个子区间(。
―盘+1)内不是单调函
数,则实数。
的取值范围是()
L5)
A.
羊2
B.
C.1,—D.1,—
I2;L2;
2.若函数y=xy-2cix+a在(0,1)内无极值,则实数。
的取值范围是()
■3一
A.0,-B.(-8,0)
C.(-°°,o]u—,4-°°^D.—
1_2)|_2>
3.若函数f(x)=x3--x2+a在[一1,1]上有最大值3,则该函数在[-1,1]±的最小值是()
A.B.0
2
C.-0.1
2
二、填空题
4.已知函数Ax)=|x2+2ru-lnx,若人r)在区间,2〕上是增函数,则实数。
的取值范围为
.
5.设由,&是函数Ax)=X3-2^2+a2x的两个极值点,若X|<2 的取值范围是 6.若函数X.r)=x2-ev-ar在R上存在单调递增区间,则实数。 的取值范围是. 7.已知函数y(x)=x-21nx-~+1,g(x)=ev(21nx・x). (1)若函数ZW在定义域上是增函数,求。 的取值范围; (2)求g(x)的最大值. 8.设函数J(x)=(x-l)ev-奴2(其中虹R). ⑴当&=1时,求函数./(力的单调区间和极值; ⑵当妃[0,+8)时,证明函数仙)在R上有且只有一个零点. 《导数在研究函数中的应用》标准答案 %1.自主归纳 1. (1)尸(y)>0 (2)f(y)<0(3)尸(x)=03.小于 4.大于极值 5.不超过不小于 %1.自我查验 P L解析: 函数定义域为(0,+8),产(才)=1+-〉0,故单调增区间是(0,+8). X 答案: A 2.解析: 广(x)=x+x+mx+1, /.ff(x)=3/+2x+〃. 又f(x)在R上是单调增函数,: (才)30恒成立,二力=4一12虹0,即zzzN: . 17 答案: +8, 3.解析: 导函数广'(X)的图象与X轴的交点中,左侧图象在X轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个,故选A. 答案: A 4.解析: f'(x)=34+2宓+3,由题意知f'(-3)=0,即3X(-3)? + 2X(—3)6? +3=0,解得9=5. 答案: D 5..A[解析】y=虫匹ny'=~,令》'=~=0=>x=e,当xc(O,e)H寸 XXX 函数单调递增,当XG(e,+oo)时函数单调递减,ymax=-=e-1,故选ae %1.典型例题 【例题1】 (1)广(才)的定义域为(0,+8),尸(x)=L一女.若女W0,则尸(x)>0, X (1、 所以广(才)在(0,+8)单调递增.若我0,则当X60,-时,f(x)>0; ka) 当xeJ,+8)时,f'(x)<0.所以广(X)在[o,L)单调递增, a) 在—J+°°单调递减. W7 ⑵由 (1)知,当aWO时,f(x)在(0,+8)无最大值;当a>0时,f(x)在刀=上处a 1 (1)取得最大值,最大值为f'~=]n~+a1——=—Ina+a~\.\a)a\a) [1} 因此f->2a-2等价于Ina+a-l<0. \aJ 令g(a)=lna+a—1,则g(a)在(0,+8)单调递增,g⑴=o. 于是,当(K永1时,g(a)〈0;当a>l时,g(a)>0・ 因此,a的取值范围是(0,1). 【变式训练1】 (1)当&=1时,/(x)=x3+x2-x+2,/.广(x)=3a: 2+2乂-1, ..•切线斜率为#=广 (1)=4,又/ (1)=3,・.•切点坐标为(1,3),..•所求切线方程 为y-3=4(工一1),即4x-y-l=0. (2)/z(x)=3x2+2ax-a2=(x+tz)(3x-tz),由广(尤)=0,得工=一白或x二; V6Z>0,/.—>-a.由f'(x)>o,得XV-Q或工>色,由尸'(尤)<0,得一Q ・.・函数f(x)的单调递减区间为单调递增区间为(-8,—口)和件 I3J\3) 11—x 【例题2] (1)当。 =1时,/(x)=lnx-x+3,/*'(x)=——1=(x>0), XX 令广(x)>0,解得O 令r(x)<0,解得x>l,所以函数f(x)在(l,+oo)±单调递减; 所以当x=l时取极大值,极大值为f (1)=2,无极小值. (2)函数f(x)的定义域为(O,+8),f,(x)=』—r. X 当&<0时,f(x)=--a>0在(0,+oo)上恒成立,所以函数/⑴在(0,+8)上单调X 递增; 11 当。 〉0时・,令广(x)>0,解得OvxvA,所以函数f3)在09-上单调递增; a\a) 综上所述,当。 "时,函数/⑴的单调增区间为(0,+8);当。 >0时,函数/(X) 【变式训练2】解对产(x)求导得 /、vl+宓一2ax,4,小,/、…少 f⑴=e・1+诚当时'右f危)=。 ,则4x—8x+3=0, 3i 解得X1=5,x2=-结合①,可知 X (-8,|) 1 2 i1) 3 2 (§,+°°)乙 f3 + 0 — 0 + f3 极大值 极小值 31 所以Xi=77是极小值点,为=77是极大值点. 【例题3】1)广(x)=2x(工—a)+(X2—4)=3x2—2ax—4. (2)由尸(-1)=0得。 =上, 2 故/(x)=(x2-4)(%--"-4x+2, 则/! (x)=3x2-x-4=>x=-l=-, 故/max(X)=—,/min(尤)= •/rndA、/2•/»||in、/27 【变式训练3]1)当。 20时,函数广⑴=矿+2。 >0,六尤)在R上单调递增,当q<0时,/'(x)=ev+2〃,令ev+2。 =0,得尤=In(-2口),所以当xe(f,ln(-2。 ))时,f\x)<0,函数f(x)单调递减;当n(ln(-2。 ),+8)时,f\x)>0,函数/⑴单调递增. (2)由 (1)可知,当。 20时,函数/(尤)=节+2心>0,不符合题意. 当。 <0时,f(x)在(-oo,ln(-2Q))上单调递减,在(ln(-2o),+oo)上单调递增. %1当In(-2。 )<1,即一一时,/⑴最小值为六1)=2cz+e. 解2o+c=0,得1=一¥,符合题意. 2 %1当ln(-2a)>1,艮flqv-g时,f(x)最小值为f(ln(—2Q))=—2Q+2〃ln(—2Q), 解-2。 +2。 In(-2。 )=0,得。 =_: 不符合题意. 综上,67=--. 2 应用体验: 1.D 【解析】函数的定义域为(0,+8),令寸=1—]=解得xe(0;l],Xx>0, 所以xe(0,1],故选D. 考点: 求函数的单调区间. 2.A 【解析】导数为广(、)=。 7+引-广)=(1-力。 7,令广3)<0,得x>l,所以减区间为(1,+8). 考点: 利用导数求函数的单调区间. 3.C [解析】/z(x)=ev+(x-3)e'=e'(x-2),令/z(x)=ev(x-2)>0,解得x>2,所以函数f(x)的单调增区间为(2,+8).故选C. 4.【解析]/(x)=-4+-=£^,由广3)=。 得工=2,乂函数定义域为(0,+8),JC 当0 考点: 函数的极值点. 5.D 【解析】*//(x)=2x3-3x2.广(工)=6必一6工=6x(x-1),令广(工)=0, 可得x=0,l,容易判断极大值为f(0)=a=6. 考点: 函数的导数与极值. 复习与巩固 A组 1.C 【解析】由广(乂)图象可知函数/(、)在(-8,c)上单调递增,在(c,a上单调递减,在(e,+8)上单调递增,又a,b,cc(-8,c),Ka了(b)>f(ci).考点: 利用导数求函数单调性并比较大小. 2.B 【命军析】广(x)=2x+£,由题意可得厂(l)=2xl+g=2+o=0,—2.故选 X1 B. 考点: 极值点问题. 3.D 【解析】/'(x)=ev-1,令/'(x)=0,得尤=0. 1,1\1 又/(0)=e(,-0=l,/(l)=e-l>l? /(-l)=-+l>l,He-1-1+土=e---2=eve7e =°-2ei>o,所以/(x)max=/ (1)=£一1,故选。 ・e 考点: 利用导数求函数在闭区间上的最值. 4._,+8 3 【解析】由题意得f\x)>0在R上恒成立,贝IJ.广⑴=3必+2工+,心0,即 m>-3x-2x恒成立.令g(x)=-3x2-2x,则m>[g(x)]^x 5.0 【解析ir(x) (6x+o)e-^3a~+cixe—3x~+(6-+ ex 由题意得广(0)=a=0. 考点: 导数与极值. 6.1 【解析】因为广⑴二e'-1,/V)>0=>x>0,/(x)<0=>x<0,所以/⑴在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,从而函数f(x)=ex-x在[-1,1]上的最小值是 /(0)=c°-0=l. 考点: 函数的最值与导数. 7.【解析】f(x)=-x2-\nx的定义域为(0,+8), 1r2-1、 /z(x)=X——=,令/''(工)=0,贝ljx=l或一1(舍去). .••当Ovxvl时,r(x)vO,f⑴递减,当X>1时,广⑴>0,f3)递增, A/(X)的递减区间是(0,1),递增区间是(1,+8)・ 考点: 利用导数求函数的单调区间. 8. (1)a<-- (2)4扁 4 【解析】 (1)函数/(x)=—^+ar,A->l,则广(工)='仁'+□,由题意可得 InxInx 1111ri /z(x) (1,+8)上恒成立,: .a<—二—— xe(l,+8),/.\nxe(0,+8),二 ')ln2xInxUnx2)4 /c、业c"、x-Y.,z、lnx-l+21rrx (2)当o=2时,f(x)=——+2x,J(x)=, InxIm 令/'‘(尤)=0,W21n2x+lnx-l=0,构卒得lnx=L或lnx=-l(舍去),即x二幅. 当l /(x)的极小值为/*(扁)=牝& B组 1.D 【解析】因为函数/(x)=x2-|lnx+;在区间(。 -1,。 +1)上不单调,所以 值,需满足毋21,解得.综合①②得,。 的取值范围为(-8,0]U| 故选c. 考点: 导函数,分类讨论思想. 3.C 【解析】/'(x)=3x'-3x=3x(x-l),当f\x]>0时,工>1或xvO,当f\x)<0时,0<尤<1,所以/'(X)在区间[-1,0]上函数递增,在区间[0,1]上函数递减,所以当x=0时,函数取得最大值/(0)=。 =3,则⑴=P_2j+3,所以")=! ,7* (1)=;,所以最小值是/(-1)=|. 考点: 利用导数求函数在闭区间上的最值. 4.解析: 由题意知尸(%)=x+2ci—-^0在;,2上恒成立,即—x+上在 x」x ]-C1、884 2上恒成立,才+;*=孑.•.2〃3亍即 ~4) 答案: [孑+8/ 5.解析: 本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法.由卢(x)=3k— a>2, 4宓+#=0得Xi=w,x2=a.X"/xi<2<^, o a.・.2〈次6. 砂, 答案: (2,6) 6.解析: : 广(才)=/—e'—ax,ff(x)=2x—e'一母函数广(x)=x—^x—ax在R上存在单调递增区间, .••尸(x)=2x—e'—aNO,即aW2x—e'有解,设g{x)=2x~e\则g'(x)=2—e\令g'(x)=0,解得x=ln2,则当Kin2时,g'(x)〉0,g(x)单调递增,当x>ln2时,g(%)<0,g(x)单调递减,.•.当x=ln2时,g(x)取得最大值,且g(x)*=g(ln2)=21n2-2,."W21n2-2. 答案: (一8,21n2-2) 2o 7.解: (1)由题意得x〉0,f'(才)=1—一+=. xx 由函数_f(x)在定义域上是增函数,得r(x)N0,即j=—(x—l)2+1(x>0)・ 因为一(X—1T+1W1(当X=1时,取等号),所以a的取值范围是U,+8). 2、2 (2)g'(x)=e'-一l+21nx—x,由⑴得a=2时,广(x)=x—21nx—-+1,顷Jx 且广(才)在定义域上是增函数,又广 (1)=0, 所以,当xW(0,1)时,f(x)<0,当xW(l,+8)时,f{x)>o. 所以,当xC(0,1)时,g'(x)〉0,当x£(l,+8)时,gi(x)<0・ 故当x=l时,g(x)取得最大值一e. 8.解: (1)当k=l时,广(x)=(x—1)e'—孑,f(x)=e'+(x—1)e、一2x=xe'— 2x=x(e”—2), 令尸(x)=0,得x】=0,x2=]n2. 当x变化时,f‘3,产(才)的变化如下表: X (一8,0) 0 (0,In2) In2 (In2,+°°) f(x) + 0 0 + f3 极大值 极小值 由表可知,函数广(x)的单调递减区间为[0,In2],单调递增区间为(一8, 0],[In2,+8). f(x)的极大值为A0)=-l,极小值为广(In2)= —(In2)2+21n2—2. (2)f'(x)=e、+(x—1)e'—2kx=xe、一2kx=, 当次1时,产0)<0,所以广(x)在(一8,1)上无零点. 故只需证明函数广(才)在U,+8)上有且只有一个零点. P %1若0,-,则当时,f(x)30,f(x)在[1,+8)上单调递增. 乙 VAD=-^0,A2)=e2-4^e2-2e>0, : .f3在[1,+8)上有且只有一个零点. fe\ %1若kw亍+8,则广(x)在[1,In2旧上单调递减,在[In2k,+°°)±单调递增. AD=-K0,/U+l)=7feE—&O+l)2=MeE—0+1)2],令g(f)=e'—已t=k+1>2,则/(r)=e—2r, g”($)=。 '一2, Vf>2,: .g"(f)>0,£(t)在(2,+8)上单调递增. .・.#(: )>#⑵=/—4〉0,.・・g。 )在(2,+8)上单调递增. : ⑵=e2—4>0. ・../U+l)>0. : ・f3在[1,+8)上有且只有一个零点. 综上,当[0,+8)时,广(x)在R上有且只有一个零点.
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