完整word版八年级全等三角形证明经典50题含答案docWord文档下载推荐.docx
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在三角形BEF中,BF=EF
∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴三角形ABF和三角形AEF全等。
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
4.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
12F
C
E
B
过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC(对顶角)∴△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又,EF∥AB
∴,∠EFD=∠1
∠1=∠2
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
∴EF=AC
5.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠CA
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD(SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
6.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°
AE=AD+BE
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°
,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
7.已知:
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∵在△ABE中
即4-2<2AD<4+2
1
8.已知:
CDAB
9.已知:
连接BF和EF。
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
∴∠EBF=∠BEF。
又∵∠ABC=∠AED。
在三角形ABF和三角形AEF中,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
10.已知:
又EF∥AB
∴∠EFD=∠1
11.已知:
BD
12.已知:
又∵AC=AC
12.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180o
∵∠BFE+∠CFE=180o
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD
CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
13.已知:
AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:
∠F=∠C
ED
F
AB
AB‖ED,得:
∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,
∵∠EAB=∠BDE,
∴∠AED=∠ABD,
∴四边形ABDE是平行四边形。
∴得:
AE=BD,
∵AF=CD,EF=BC,
∴三角形AEF全等于三角形DBC,
∴∠F=∠C。
14.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
AD
设线段AB,CD所在的直线交于E,当(AD<
BC时,E点是射线BA,CD的交点,当AD>
BC
时,E点是射线AB,DC的交点)。
则:
△AED是等腰三角形。
∴AE=DE
而AB=CD
∴BE=CE(等量加等量,或等量减等量)∴△BEC是等腰三角形
∴∠B=∠C.
15.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>
AB,求证:
PC-PB<
AC-ABC
PD
在AC上取点E,
使AE=AB。
∵AE=AB
AP=AP
∠EAP=∠BAE,∴△EAP≌△BAP
∴PE=PB。
PC<EC+PE
∴PC<(AC-AE)+PB
∴PC-PB<AC-AB。
16.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
在AC上取一点D,使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C;
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
∴AB=AD
∴AC–AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线,
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴点E一定在直线BD上,
在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD
∴点E也是BD的中点
∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
17.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC
EB
∵作AG∥BD交DE延长线于G
∴AGE全等BDE
∴AG=BD=5
∴AGF∽CDF
AF=AG=5
∴DC=CF=2
18.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
延长AD至BC于点E,
∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
{AB=AC∠1=∠2BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
19.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
∠OAB=∠OBA
∵OM平分∠POQ
∴∠POM=∠QOM
∵MA⊥OP,MB⊥OQ
∴∠MAO=∠MBO=90
∵OM=OM
∴△AOM≌△BOM(AAS)
∴OA=OB
∵ON=ON
∴△AON≌△BON(SAS)
∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB=180
∴∠ONA=∠ONB=90
∴OM⊥AB
20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线
交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
P
做
角平分线
BE的延长线,与AP相交于F点,
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°
,又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的
∴∠EAB+∠EBA=90°
∴∠AEB=90°
,EAB为直角三角形
在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
DB
延长AC到E使AE=AC连接ED
∵AB=AC+CD
∴CD=CE
可得∠B=∠E
△CDE为等腰
∠ACB=2∠B
22.(6分)如图①,
、
分别为线段
AC
上的两个动点,且⊥
于E,⊥
于
,
EF
DEAC
BFAC
若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;
若不成立请说明理由.
(1)连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,∴∠DEC=∠BFA=90°
,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL),∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.∴MB=MD,ME=MF;
(2)连接BE,DF.
∴四边形BEDF是平行四边形.∴MB=MD,ME=MF.
23.已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:
△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积
相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
OD
∵DC∥AB
∴∠CDE=∠AED
∵DE=DE,DC=AE
∴△AED≌△EDC
∵E为AB中点
∴AE=BE
∴BE=DC
∴∠DCE=∠BEC
∵CE=CE
∴△EBC≌△EDC
∴△AED≌△EBC
24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延
长线垂直于过
C点的直线于
E,直线CE交BA的延长线于F.
BD=2CE.
∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠ABE=∠CBE
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G,连接AG,则:
AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而:
∠ECA=∠GBA(同弧上的圆周角相等)
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
25、如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
△AED≌△BFC。
DEFC
∵DF=CE,
∴DF-EF=CE-EF,
即DE=CF,
在△AED和△BFC中,
∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF
∴△AED≌△BFC(SAS)
26、(10分)如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
AM是△ABC的中线。
MC
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
27、(10分)如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
BD⊥AC。
∵△ABD和△BCD的三条边都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
BF=CF
在△ABD与△ACD中
AB=AC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
∠BDF=∠FDCDF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
29、(12分)如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
AF=DE。
CD
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路
旁各有一只小石凳
,,
M
,且
=
在
的中点,试说明三只石凳
恰好
BE
CF
在一条直线上.
连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
∴△BEM≌△CFM(SAS)
∴CF=BE
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF//BE,
∴∠AEB=∠CFD(两直线平行,内错角相等)
∵BE=DF
∴:
△ABE≌△CDF(SAS)
32.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
AE=AF。
AC
连接BD;
∵AB=ADBC=D
∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;
两角相加,∠ADC=∠ABC;
∵BC=DCE\F是中点
∴DE=BF;
∵AB=ADDE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.
5
3
E6
4
在△ADC,△ABC中
∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC(两角加一边)
∵AB=AD,BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD
∴△DEC≌△BEC(两边夹一角)
∴∠DEC=∠BEC
34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC≌△DEF.
∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF(ASA)
35.已知:
如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求
证:
BE=CD.
EA
∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC
∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC(AAS)
∴BE=CD
36、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
DE=DF.
BDC
∵AD是∠BAC的
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