杨辉三角与二项式系数的性质(经典).ppt
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杨辉三角与二项式系数的性质(经典).ppt
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二项展开式中的二项式系数指的是哪些?
共有多少个?
下面我们来研究二项式系数有些什么性质?
我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时,二项式系数有什么特点?
45,每行两端都是1Cn0=Cnn=1从第二行起,每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和,展开式的二项式系数依次是:
从函数角度看,可看成是以r为自变量的函数,其定义域是:
当时,其图象是右图中的7个孤立点,
(1)对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式得到,图象的对称轴:
(2)增减性与最大值,由于:
所以相对于的增减情况由决定,由:
可知,当时,,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。
(2)增减性与最大值,(3)各二项式系数的和,在二项式定理中,令,则:
这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于:
(1),一般地,展开式的二项式系数有如下基本性质:
(2),(4),(对称性),第0行1,第1行11,第2行121,第3行1331,第4行1461,第5行151,第6行161561,第n-1行1,1,第n行1,1,第7行17212171,10,35,+,+,+,+,=,35,5,15,20,10,4,“斜线和”,=,1,2,5,第5行15101051,第6行1615201561,第7行172135352171,第1行11,第0行1,第2行121,第3行1331,第4行14641,1,3,8,13,21,34,如图,写出斜线上各行数字的和,有什么规律?
第8行18285670562881,从第三个数起,任一数都等于前两个数的和,,这就是著名的斐波那契数列,也称为兔子数列。
斐波那契数列,斐波那契(11701250),意大利商人兼数学家,他的著作算盘书中,首先引入阿拉伯数字,将“十进制”介绍给欧洲人认识,对欧洲的数学发展有深远的影响。
例1证明:
在(a+b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
在二项式定理中,令,则:
已知求:
(1);
(2);(3);(4),解,题型:
求展开式中的特定项,例2.试判断在的展开式中有无常数项?
如果有,求出此常数项;如果没有,说明理由.,解:
设展开式中的第r+1项为常数项,则:
由题意可知,,故存在常数项且为第7项,常数项,常数项即x0项,练习:
0k12,kZ,当k=0、6时,x的幂为正整数,含x的正整数次幂的项共有2项,例4:
求(x+2)10(x2-1)展开式中含x10项的系数为.,179,变式:
求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x项的系数.,求两个(多个)二项式乘积的展开式的特定项方法:
(1)先化简,化成一个二项式的展开式;
(2)分析两个(多个)二项式的通项的字母的指数,利用找伙伴的方式解决.,例3:
求展开式中的常数项.,类型:
求展开式中系数最大的项,方法:
利用通项公式建立不等式组,变式练习:
在(3x-2y)20的展开式中,求:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数绝对值最大的项.,解:
(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则,
(1)二项式系数的三个性质,
(2)数学思想:
函数思想,a单调性;,b图象;,c最值.,小结,
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