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4.空间几何体的三视图
(1)反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
(2)
正
侧
俯
三视图图形的位置:
(3)三视图长、宽、高的关系:
“正侧长对齐、正俯高对齐、侧俯宽相等”。
三、空间几何体的直观图
1.斜二测画法:
对于平面多边形,我们常用斜二测画法画它们的直观图。
斜二测画法是一种特殊的平行投影。
2.斜二测画法原则:
横不变,纵减半。
3.斜二测画法步骤:
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O。
画直观图时,把它们画成对应的x'
轴与y'
轴,两轴交于点O'
,且使∠x'
O'
y'
=45°
(或135°
),它们确定的平面表示水平面。
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'
轴或y'
轴的线段。
③已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半。
四、空间几何体的表面积与体积
1.几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
所以,棱柱、棱锥的表面积:
各个面的面积之和。
2.
柱体
S圆柱侧面积=2πrl
S圆柱表面积=2πr·
(r+l)
S柱体=Sh
锥体
S圆锥侧面积=πrl
S圆柱表面积=πr·
V椎体=
Sh
台体
S侧面积=πrl+πr'
l
S表面积=π·
(r'
2+r2+r'
l+rl)
球体
S表面积=4πR2
第二章直线与平面的位置关系
一、线面角、面面角
Q_
P_
O_
_M
_N
L_
A_
β_
α_
1.直线和平面所成角:
如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;
一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°
的角。
2.二面角:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
如右图二面角可记作二面角α-AB-β或二面角P-AB-Q或二面角α-l–β
注意:
二面角是一个面面角,范围是【0,180°
】
※二、线、面平行垂直的八大定理
1.直线与平面平行的判定
【文字语言】平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
(线线平行→线面平行)
【符号语言】
2.平面与平面平行的判定
【文字语言】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
(线面平行→面面平行)
引申:
如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行,那么这两个平面平行
3.直线与平面平行的性质:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
(线面平行→线线平行)
作用:
直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行
4.平面与平面平行的性质:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(面面平行→线线平行)
5.直线与平面垂直的判定:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
6.平面与平面垂直的判定:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
7.直线与平面垂直的性质:
垂直于同一个平面的两条直线平行
8.平面与平面垂直的性质:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
注:
(等角定理)空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
三、补充
1.证线线平行的方法:
Ⅰ.定义法;
Ⅱ.线面平行的性质定理;
Ⅲ.面面平行的性质定理;
Ⅳ.平行公理
2.证线面平行的方法:
Ⅰ.线面平行的判定定理;
Ⅱ.定义法;
Ⅲ.面面平行证线面平行
3.证面面平行的方法:
Ⅱ.面面平行的判定定理;
Ⅲ.平面平行的传递性
4.三垂线定理:
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条垂线垂直。
5.三垂线定理逆定理:
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。
6.射影长定理:
Ⅰ.从平面外一点向平面所引的斜线段、垂线段中,垂线段最短。
Ⅱ.如图(射影长定理图):
若PA=PB,则OA=OB;
若OA=OB,则PA=PB。
Ⅲ.如图(射影长定理图):
若PA>PB,则OA>OB;
若PA>PB,则PA>PB。
⑦最小角定理:
斜线和平面所成的角是这个斜线与平面内过斜足的所有直线所成角中的最小角。
(最小角定理图)
⑧余弦定理:
第三章直线与方程
一、直线的倾斜角与斜率
1.倾斜角:
当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的夹角α叫做直线l的倾斜角。
当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°
。
则直线的倾斜角α的取值范围为0°
≤α<180°
2.确定一条直线的条件:
直线上的一点和这个直线的倾斜角可以唯一确定一条直线。
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:
直线上的一个定点以及它的倾斜角。
4.坡度(倾斜程度):
日常生活中,我们用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”(倾斜程度),即
5.斜率:
一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,我们用斜率表示直线的倾斜程度。
斜率常用小写字母k表示,即k=tanα。
倾斜角是90°
的直线没有斜率。
6.
经过两点
的直线的斜率公式为
7.对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,有l1∥l2⇔k1=k2
若直线l1和l2可能重合时,我们得到k1=k2⇔l1∥l2或l1与l2重合
l1⊥l2⇔k1k2=-1或k1,k2中一个为0,另一个不存在
8.如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;
反之,如果它们的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直,即
9.两条直线垂直的条件:
二、直线的方程
1.直线的点斜式方程(简称点斜式):
【当直线l的倾斜角为0°
时,tan0°
=0,即k=0,这是直线l与x轴平行或重合,l的方程就是y-y0=0,或y=y0】
直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形,所以在求直线的方程时,应先讨论直线有无斜率。
截距:
我们把直线l与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距。
我们把直线l与y轴交点0,b的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。
截距不是距离,截距是数。
2.直线的斜截式方程(简称斜截式):
y=kx+b
3.直线的两点式方程(简称两点式):
①直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为0的直线。
②若P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2时,直线P1P2没有两点式方程。
当x1=x2时,直线P1P2平行于x轴,直线方程为x-x1=0,或x=x1;
当y1=y2时,直线P1P2平行于x轴,直线方程为y-y1=0,或y=y1。
4.直线的截距式方程(简称截距式):
直线的截距式方程不适用于平行于x轴(或y轴)或过原点的直线。
线段P1P2的中点坐标公式:
若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点的坐标为(x,y),则
5.直线的一般式方程(简称一般式):
Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0),
6.在方程Ax+By+C=0中,
①当A=0,C≠0时,方程表示的直线平行于x轴;
②当B=0,C≠0时,方程表示的直线平行于y轴;
③当A=0,B≠0,C=0时,方程表示的直线与x轴重合;
④当A≠0,B=0,C=0时,方程表示的直线与y轴重合。
l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0)
7.已知直线,则
l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0
①l1∥l2的充要条件是:
2l1⊥l2的充要条件是:
三、直线的交点坐标与距离公式
1.①若方程组有唯一解l1与l2相交,且有唯一交点;
②若方程组无解l1∥l2;
③若方程⑴与方程⑵可化成同一个方程l1与l2重合。
【引申】
2.当λ变化时,方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示直线束。
3.方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0交点的任意一条直线,但它不能表示A2x+B2y+C2=0这条直线。
【常用结论】
4.过l1:
A1x+B1y+C1=0与l2:
A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不表示l2)或A2x+B2y+C2+λ(A1x+B1y+C1)(不表示l1)
5.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0,(m≠C)
与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0
7.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为:
8.原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离公式为:
9.点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为:
10.两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为:
第四章圆与方程
一、圆的标准方程
1.圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法:
(1)(x0-a)2+(y0-b)>
r2,点在圆外
(2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上
(3)(x0-a)2+(y0-b)2<
r2,点在圆内
二、圆的一般方程
1.圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心为(
),为半径长的圆
2.圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0;
②没有xy这样的二次项
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了
(3)与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显
三、圆与圆的位置关系
1.用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系:
设直线l:
ax+by+c=0,圆C:
x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆的半径为r,圆心(
)到直线距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当d>r时,直线l与圆C相离;
(2)当d=r时,直线l与圆C相切;
(3)当d<r时,直线l与圆C相交;
1.直线与圆的位置关系
直线与圆相交,有两个公共点d<R方程组有两组不同实数解(△>0)
直线与圆相切,只有一个公共点d=R方程组有唯一实数解(△=0)
直线与圆相离,没有公共点d>R方程组无实数解(△<0)
2.求两圆公共弦所在直线方程的方法:
将两圆方程相减。
3.
求经过两圆交点的圆系方程:
四、圆与圆的位置关系两圆的位置关系
设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
1.当l>r1+r2时,圆C1与圆C2相离;
2.当l=r1+r2时,圆C1与圆C2外切;
3.当|r1-r2|<l<r1+r2时,圆C1与圆C2相交;
4.当l=|r1-r2|时,圆C1与圆C2内切;
5.当l<|r1-r2|时,圆C1与圆C2内含;
五、直线与圆的方程的应用
1.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系
2.过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:
建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:
通过代数运算,解决代数问题;
第三步:
将代数运算结果“翻译”呈几何结论。
第二部分选修2-3
第一章计数原理
一、分类加法计数与分步乘法计数
1.分类加法计数原理:
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,
在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”
2.分步乘法计数原理:
完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×
n种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n元集合A={a1,a2,⋯,an}的不同子集有2n个。
二、排列与组合
1.排列
一般地,n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
n
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Am表示。
排列数公式:
n!
(n−m)!
=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)
Am=
n个元素的全排列数
An=n!
规定:
0!
=1
2.组合
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号
表示。
组合数公式:
n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)
m!
(n−m)!
=m!
m
n=
Am
Cm=A
∴
=𝟏
𝐧
𝐂
𝟎
组合数的性质:
n−k
*Ck×
Cm−k=Cm×
Ck
n−1
kCk=nCk−1
(杨辉三角)
=Cm+Cm−1
n+1
Cm
(“构建组合意义”——“殊途同归”)
Cm=Cn−m
三、二项式定理
1.二项式定理
Tk+1=Ckan−kbk
k+1表示通项展开式的第k+1项:
kn−kk
Cab叫做二项展开式的通项,用T
式中的
其中各项的系数Ck(k∈{0,1,2,⋯,n})叫做二项式系数(binomialcoefficient);
(n∈N*)
(a+b)n=C0an+C1an−1b+⋯+Ckan−kbk+⋯+Cnbn
*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
2.“杨辉三角”与二项式系数的性质
*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律!
(1)对称性
(2)①当n是偶数时,共有奇数项,中间的一项取得最大值;
②当n是奇数时,共有偶数项,中间的两项同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为:
(4)二项式展开式中,奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和:
(5)一般地:
第二章随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布
1.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(randomvariable)。
随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数。
试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域。
所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量(discreterandomvariable)。
概率分布列(probabilitydistributionseries),简称为分布列(distributionseries)。
X
x1
x2
⋯
xi
xn
P
p1
p2
pi
pn
也可用等式表示:
P(X=xi)=pi,i=1,2,⋯,n
根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质:
(1)pi≥0,i=1,2,⋯,n;
i=1
(2)
随机变量X的均值或数学期望:
E(X)=x1p1+x2p2+⋯+xipi+⋯xnpn
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
随机变量X的方差(variance)刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度
其算术平方根
为随机变量X的标准差。
E(aX+b)=aE(X)+bD(aX+b)=a2D(X)
若随机变量X的分布具有下表的形式,则称X服从,并称p=P(X=1)为成功概率。
(两点分布又称0-1分布。
由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验,所以两点分布又叫伯努利分布)
1
1-p
p
若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1−p)
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则
其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*
如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布
二、二项分布及其应用
1.条件概率
一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>
0,称
P(B|A)=P(AB)
P(A)
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。
如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
2.事件的相互独立性
设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B)
则称事件A与事件B相互。
可以证明,如果事件A与B相互独立,那么A与𝐁
̅,𝐀
̅与B,𝐀
̅与𝐁
̅也都相互独立。
3.独立重复试验与二项分布
一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。
P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2)⋯P(An)
其中Ai(i=1,2,⋯,n)是第i次试验的结果。
一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则
P(X=k)=Ckpk(1−p)n−k,k=0,1,2,⋯,n
此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率。
若X~B(n,p),则
D(X)=np(1−p)
*随机变量的均值是常数,而样本的平均值是随着样本的不同而变化的,因此样本的平均值是随机变量。
随机变量的方差是常数,而样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此样本的方差是随机变量。
三、正态分布
1.一般地,如果对于任何实数a,b(a<
b),随机变量X满足
则称随机变量X服从正态分布。
正态分布完全由参数μ和σ2确定,记作N(μ,σ2)。
如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).φμ,σ(x)的图像称为正态分布密度曲线,简称正态曲线。
(参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可用样本的均值去估计;
σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可用样本的标准差去估计。
)
标准正态分布:
X~N(0,1)
经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布。
2.正态曲线的特点:
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(3)曲线在x=μ处达到峰值
(4)曲线与x轴之间的面积为1。
*σ越小,曲线越“高瘦”,表示总体分布越集中;
σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布越分散;
若X~N(μ,σ2),则对于任何实数a>
0,
该面积随着σ的减少而变大。
这说明σ越小,X落在区间(μ−a,μ+a]的概率越大,即X集中在μ周围概率越大。
特别有:
P(μ−σ<
𝑋
≤𝜇
+σ)=0.6826P(μ−2σ<
+2σ)=0.9544P(μ−3σ<
+3σ)=0.9974
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ−3σ<
+3σ)之间的值,并简称之为𝟑
𝛔
原则
第三章统计案例
一、回归分析的基本思想
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