二次函数之距离最小思维.docx
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二次函数之距离最小思维.docx
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二次函数之距离最小思维
二次函数之最短路径问题
例1.(广东)已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.
(1
)当二次函数的图象经过坐标原点
O(0,0)时,求二次函数的解析式;
(2
)如图,当m=2时,该抛物线与
y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标;
(3
)在
(2)的条件下,x轴上是否存在一点P,使得PC+PD最短?
若P点存在,求出
P点的坐标;若
P点不存在,请说明理由.
例2.(甘肃兰州)如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐
25
标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=3x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=2上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱
形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
1
例3.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N,
其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2
)设点M(3,m),求使
MN+MD的值最小时m的值;
(3
)若抛物线的对称轴与直线
AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点
E作EF∥BD交抛物线
于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?
若能,求点
E的坐标;若不能,请说明理由;
(4
)若P是抛物线上位于直线
AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
2
例4.(湖南郴州)已知抛物线y=ax2+bx+c
经过A(﹣1,0)、B(2,0)、C(0,2)三点.
(1
)求这条抛物线的解析式;
(2
)如图一,点P是第一象限内此抛物线上的一个动点,当点
P运动到什么位置时,四边形
ABPC的面
积最大?
求出此时点
P的坐标;
(3
)如图二,设线段
AC的垂直平分线交
x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,那么在直线
DE上
是否存在一点G,使△CMG的周长最小?
若存在,请求出点
G的坐标;若不存在,请说明理由.
例5.(辽宁)如图
16,在平面直角坐标系中,直线y
3x3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛
物线yax223x
c(a0)经过A,B,C三点.
3
(1
)求过A,B,C三点抛物线的解析式并求出顶点
F的坐标;
(2
)在抛物线上是否存在点P,使△ABP为直角三角形,若存在,直接写出
P点坐标;若不存在,请
说明理由;
(3
)试探究在直线
AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小,若存在,求出
M点的坐标;
若不存在,请说明理由.
y
y
AO
B
x
AO
B
x
C
F
C
F
图16
图16
3
例6.(山西)综合与实践:
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y
轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;
(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线l∥AC交抛物线于点Q,试探究:
随着P点的运动,在抛物线
上是否存在点Q,使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出符合条件的点
Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.
4
例7.如图,在矩形OABC中,已知A、C两点的坐标分别为A(4,0)、C(0,2),D为OA的中点.设
点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点
O重合).
(1
)试证明:
无论点P运动到何处,PC总与PD相等;
(2
)当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过
O、P、D三点的抛物线的解析式;
(3
)设点E是
(2)中所确定抛物线的顶点,当点
P运动到何处时,△PDE的周长最小?
求出此时点
P的
坐标和△PDE的周长;
(4
)设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P,使∠CPN=90°?
若存在,请直接写出点
P的坐标.
例8.(德州)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?
若存在,求出所有符合条件的点P的坐
标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,
当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.
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练习:
(烟台)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点,其中A、
B两点的坐标分别为(﹣1,0),(0,﹣2),点D在x轴上且AD为⊙M的直径.点E是⊙M与y轴的另
一个交点,过劣弧
上的点F作FH⊥AD于点H,且FH=1.5
(1
)求点D的坐标及该抛物线的表达式;
(2
)若点P是x轴上的一个动点,试求出△
的周PEF长最小时点
P的坐标;
(3
)在抛物线的对称轴上是否存在点
Q,使△
QCM是等腰三角形?
如果存在,请直接写出点
Q的坐标;
如果不存在,请说明理由.
例10.已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A(1,3)和点B(2,1)。
(1)求此抛物线解析式;
(2)点C、D分别是x轴和y轴上的动点,求四边形ABCD周长的最小值,并写出C.D两点的坐标;(3)①在抛物线AB段上存在一点E,使ABE的面积最大,求E点的坐标;
②请直接写出以A.B和E为顶点的平行四边形的第四个顶点P的坐标。
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例11.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(l,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛
物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G,H、F四点所围成的
四边形周长最小?
若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,在抛物线上是否存在一点T,过点T作x轴的垂线,垂足为点M,过点M作MN∥BD,交
线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD?
若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
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例12.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+1,0)(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为P,对称轴为l:
x=1.
(1)求抛物线解析式.
(2)直线y=kx+2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1,y1),N(x2,y2)(x1<x2),当|x1-x2|最小时,求抛物线与直线的交点M和N的坐标.
(3)首尾顺次连接点O,B,P,C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动,求L最小值时点O,
B移动后的坐标及L的最小值.
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例9.(衢州)如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线y=ax2上.
(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的
坐标;
(2)平移抛物线y=ax2,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.
①当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数解析式;
②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?
若存在,求出此时抛
物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
9
例13.(重庆)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y
3
x2
3x33交x轴于A,B两点(点A在点B
4
的左侧),交y轴于点W,顶点为C,抛物线的对称轴与
x轴的交点为D。
(1)求直线BC的解析式。
(2)点E(m,0),F(m+2,0)为x轴上两点,其中
2
m4,EE,EE分别垂直于x轴,交抛物
线与点E,F,交BC于点M,N,当MENF的值最大时,在
y轴上找一点R,使得RFRE值最大,
请求出R点的坐标及RFRE的最大值。
例14.(自贡)如图,抛物线l交x轴于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y轴于点C(0,﹣3).将抛物线
l沿y轴翻折得抛物线l1.
(1)求l1的解析式;
(2)在l1的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大,并说出理由;
例15.如图,已知直线y=1/2x+1
与y轴交于点A,与x轴交于点
D,抛物线y=1/2x2+bx+c
与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(
1,0).
(1
)求该抛物线的解析式;
(2
)动点P在x轴上移动,当△
PAE是直角三角形时,求点
P的坐标P;
(3
)在抛物线的对称轴上找一点
M,使|AM-MC|的值最大,求出点
M的坐标
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例16.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC与y轴相交于
点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(1,0),B(1,2),D(3,0).连
接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线yax2bxc经过点D、M、N.
(1)求抛物线的解析式.
(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有
|QE-QC|最大?
并求出最大值.
11
检测
xOy中,抛物线y=x2+bx+c
1
1.在平面直角坐标系
经过A(2,0)、B(4,0)两点,直线
y=2x+2
交y
轴于点C,且过点
D(8,m).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上找一点P,使CP+DP的值最小,求出点P的坐标;
(3)将抛物线y=x2+bx+c左右平移,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′当,四边形A′B′DC
的周长最小时,求抛物线的解析式及此时四边形A′B′周DC长的最小值.
(4)设抛物线的顶点为Q,过点C作x轴的平行线L,点M在直线L上,且MN⊥x轴,垂足为N,若
DM+MN+NQ最小,直接写出此时点M,N的坐标。
2.如图,在平面直角坐标系
xOy中,二次函数y=
3
x2+bx+c
的图象与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)
2
两点,顶点为C.
(1)求此二次函数解析式;
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(2)点D为点C关于x轴的对称点,过点A作直线l:
y=3x+3交BD于点E,过点B作直线BK∥AD
交直线l于K点.问:
在四边形ABKD的内部是否存在点P,使得它到四边形ABKD四边的距离都相等?
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若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在
(2)的条件下,若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点,连结DN、NM、MK,求DN+NM+MK
和的最小值.
(4)设抛物线交y轴于点R,若点K在抛物线对称轴上,当∣KB-KR∣的值最大时,直接写出此时K的坐
标。
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- 二次 函数 距离 最小 思维