完整版平面向量知识点及习题分章节Word格式文档下载.docx
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UUU
9.O是正六边形ABCDE的中心,且OA
以A,B,C,D,E,O为端点的向量中:
(1)与a相等的向量有
UUUUUUT
OBb,AB
(2)与b相等的向量有
(3)与C相等的向量有
10.在如图所示的向量
a,b,c,d,e中(小正方形的边长为
是否存在:
(1)
(2)
(3)
是共线向量的有是相反向量的为相等向量的的模相等的向量
△ABC
中,D,E,F分别是边BC,AB,CA的中点,
11.如图,
E、F为端点的有向线段中所表示的向量中,
(1)与向量FE共线的有
C
D
写出与
AO共线的向有
AO的模相等的有
与AO相等的向量有
(2)与向量DF的模相等的有.
(3)与向量ED相等的有.
12.如图,中国象棋的半个棋盘上有一只马”,开始下棋时,它位于A点,这只马'
第一步有几种可能的走法?
试在图中画出来.若它位于图中的P点,这只马”第一步
有几种可能的走法?
它能否从点A走到与它相邻的B?
它能否从一交叉点出发,走到棋盘上的其它任何一个交叉点?
2.2向量的线性运算
灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题,利用交换律和结合律进行向量运算;
灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差,以及求两个向量的差的问题;
理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件.
①掌握向量加法,减法的运算,并理解其几何意义.
2掌握向量数乘的运算及其意义。
理解两个向量共线的含义.
3了解向量线性运算的性质及其几何意义.
如图,已知点D,E,F分别是ABC三边AB,BC,CA的中点,
当堂练习:
a.a与b方向相同b.ab
uuiruuuruuur
2.设(ABCD)(BC
a//b;
c.abD.a与b方向相反
DA)a,而b是一非零向量,则下列各结论:
①
②aba:
③abb二④
b,其中正确的是
A.①②
3.则
B.③④
3.在△ABC中,D、E、F分别
c.②④
BC、CA、AB
D.①③
的中点,点M是厶ABC的重心,
4.
MAMBMC等于
Ob.4MDC.4MF
D.4ME
已知向量&
与b反向,下列等式中成立的是
|a|
5.若a
|a||b||ab|B.|ab||ab|
|b||ab|d.|a||b||ab|
bc化简3(a2b)
2(3bc)2(a
b)
C.c
D.以上都不对
6.已知四边形ABCD是菱形,
占
八、、
P在对角线AC上
uuir
(不包括端点A、C),则AP=
(AB
AD).
(0,1)
BC).
(o,¥
uuiruuirC(ABAD).
uur
D.
7.已知|OA|
3|OB||b|
3
/AOB=60,
当非零向量
a和b满足条件
时,
使得a
9.如图,D、
E、F分别是
ABC边AB
、BC、
CA上的
中点,则等式:
uuuruuur
①FDDA
AF
②FD
DE
EF
③DEDA
BE
④AD
(0,
b平分a和b间的夹角。
则
|ab|
io•若向量x、y满足2x3ya,3x2yb,a、b为已知向量,则
x=;
y=
?
•
11.
AB=a,AF=b,试用a、b表示向量BC
一汽车向北行驶3km,然后向北偏东60方向行驶3km,求汽车的位移
12.如图在正六边形ABCDEF中,已知
CDAD,BE
5'
■
必修4第2章平面向量
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
对平面向量基本定理的理解与应用;
掌握平面向量的坐标表示及其运算.考纲要求:
①了解平面向量的基本定理及其意义.
2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3会用坐标表示平面向量的加法,减法于数乘运算.
4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
已知点A(x,0),B—l)。
2,x),D(6,2x).
uuuuuu
求实数x的值,使向量AB与CD共线;
当向量AB与CD共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上?
当堂练习:
1•若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()
13133131
A•2a2bB•2a2bC•2a2bD•2a+2b
2.若向量a=(x-2,3)与向量b=(1,y+2)相等,则()
5•已知两点P1(—1,—
6)、P2(3,
成的比为入,则入、
y的值为
1
A・—4,8
B•
4,—8
0),点P(—
3,y
)分有向线段
PP2所
C•—4,—
8
D•4,8
②e(3,5)
③©
(2,3)e
(5,7)
6•下列各组向量中:
①e,(1,2)
e2(6,10)
e2(2,
有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底,正
确的判断是()
A.①B.①③C.②③D.①②③
7.若向量a=(2,m)与b=(m,8)的方向相反,贝Um的值是
已知a=(2,3),b=(-5,6),则|a+b|=,|a-b|=
9.设a=(2,9),b=(入,6),c=(-1,卩),若a+b=c,则入=,卩=.
10.△ABC的顶点A(2,3),B(—4,—2)和重心G(2,-1),贝UC点坐标
为.
11.已知向量el、e2不共线,
⑴若AB=e1—e2,BC=2e1—8e2,CD=3e1+3e2,求证:
A、B、D三点共线.
⑵若向量入e1—e2与e1—入e2共线,求实数入的值.
12.如果向量AB=i—2j,BC=i+mj,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,试确定实数m的值使A、B、C三点共线.
2.4平面向量的数量积
理解平面向量的数量积的概念,对平面向量的数量积的重要性质的理解.考纲要求:
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2了解平面向量数量积于向量投影的关系.
3掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
在ABC中,设AB2,3,AC1,k,且ABC是直角三角形,求k的
值.
1•已知a=(3,0),b=(-5,5)则a与b的夹角为()
A•450B、600C、1350D、1200
2.
已知a:
=(1,-2),
b=(5,8),c:
=(2,3),则a•
(b•c)的值为
A
.34
B、(
34,-68)
C、-68D、(-34,68)
3.
已知a=
(2,3),b:
=(-4,7)则向量
a在b方向上的投影为
•13
65
J13
B、
5
C、
5D、
65
已知a
=(3,-1),
b=(1,
2),
向量c满足a•
c=7,
-=■
且bc,
则c的坐标是
.(2,-
■1)B、
(-2,1)
c、(2,1)
D、
(-2,-1)
有下面四个关系式
(1)0-0
=0;
=,
(2)(a•b)c:
=a(b
•c);
(3)
a•b=b
-a;
(4)0a=0,其中正确的个数是()
A、4B、3C、2D、1
6.已知a=(m-2,m+3),b=(2m+1,m-2)且a与b的夹角大于90°
,则实数m
()
A、m>
2或mv-4/3B、-4/3<
mv2C、m^2D、m^2且m^-4/3
7.已知点A(1,0),B(3,1),C(2,0)则向量BC与CA的夹角是。
已知a=(1,-1),b=(-2,1),如果(ab)(ab),则实数=。
9.若|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°
要使kb_a与a垂直,则k=
10.已知a+b=2i-8j,a—b=-8i+16j,那么a•b=
11.已知2a+b=(-4,3),a-2b=(3,4),求a•b的值。
12.已知点A(1,2)和B(4,-1),试推断能否在y轴上找到一点C,使ACB=900?
若能,求点C的坐标;
若不能,说明理由。
2.5平面向量的应用
通过向量在几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的能力.
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
②会用向量方法解决简单的力学问题于其他一些实际问题.
如下图,无弹性的细绳°
A,°
B的一端分别固定在A,B处,同质量的细绳
OC下端系着一个称盘,且使得°
B°
C,试分析°
A,°
B,°
C三根绳子受力的大
小,判断哪根绳受力最大?
1.已知A、B、C为三个不共线的点,PABC所在平面内一点,若PAPBPCAB,则点P与厶ABC的位置关系是()
A、点P在厶ABC内部B、点P在厶ABC外部
C、点P在直线AB上D、点P在AC边上2.已知三点A(1,2),B(4,1),C(0,-1)则厶ABC的形状为
3•当两人提起重量为|G|的旅行包时,夹角为,两人用力都为|F|,若|F|=|G|,贝V的
值为()
5•—艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,船的实际航行方向与水流方向成300角,则水流速度为km/h。
6•两个粒子a,b从同一粒子源发射出来,在某一时刻,以粒子源为原点,它们的位
移分别为Sa=(3,-4),Sb=(4,3),
(1)此时粒子b相对于粒子a的位移
(2)求S在Sa方向上的投影。
7.如图,点P是线段AB上的一点,且AP:
PB=m:
n,点O是直线AB外一点,
uuuuuuuuu
设OAa,OBb,试用m,n,a,b的运算式表示向量OP.
如图,△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,设AD与BE相交于G,求证:
AG:
GD=BG:
GE=2:
1.
9.如图,
OG
O是厶ABC外任一点,若
1uuuuuuuuur
(OAOBOC)
3,求证:
G是厶ABC
重心(即三条边上中线的交点)
10.—只渔船在航行中遇险,发出求救警报,在遇险地西南方向10mile处有一只货船
收到警报立即侦察,发现遇险渔船沿南偏东750,以9mile/h的速度向前航行,货船以
2.6平面向量单元测试
■1-h
1.在矩形ABCD中,O是对角线的交点,若BC5ei,DC
3e2)品
B.2
3e)
C.2
50)
2(5e2
3e2则OC
2•对于菱形ABCD,给出下列各式:
F列等式中成立的是
①ABBC②IAB||BC|
③|ABCD||AD
BC|
2
④|AC|
|BD|
4|AB|2
其中正确的个数为
A.1个B.2个
C.
3个D.
4个
3.在」ABCD中,设
AB
a,AD
b,AC
c,BDd
,则下列等式中不正确的是
—►—»
■—1-
—
—f-——H-
A.abc
B.
ab
dC.
bad
D.cab
4.已知向量a与b反向,
A.|a||b||ab|B.|ab||ab|
C.|a||b||ab|D.|a||b||ab|
5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(一1,0),(3,0),(1,—5),则第四个
点的坐标为()
A.(1,5)或(5,—5)B.(1,5)或(—3,—5)
C.(5,—5)或(—3,—5)D.(1,5)或(—3,—5)或(5,—5)
―B-
6.与向量d(12,5)平行的单位向量为()
(125)(12色、(12©
、(12(12色、
A.(13,)B.(13,13)C.(13,13)或(13,13)D.(13,13)
7.若|ab|41203,|a|4,|b|5,则a与b的数量积为()
10.已知1a1
rb)
36
,则a与b的夹角为
A.60°
B.120°
C.135°
D.150
A.103B.—103C.102D.10
A.
232
(T,丁)
2(—
B.2
32、
3丘
.(2,
f)
2D.
322
(2,2)
9.设k
€R,
下列向量中,
与向量
Q
(1,1)
一疋不平行的向量是
—►
b
(k,k)
B
c
(k,
k)
C.
—p
d
22
(k1,k
1)D
-F
e
(k2
1,k1)
若将向量a(Z1)围绕原点按逆时针旋转
4得到向量b,则b的坐标为
11.非零向量玄^满足lal|b||ab|,贝ya,b的夹角为
12.在四边形ABCD中,若ABa,ADb,且1ab||ab|,则四边形abcd的
形状是
13•已知a(3,2),b(2,1),若ab与ab平行,则入=.
14•已知e为单位向量,|a|=4,a与e的夹角为3,则a在e方向上的投影
—te—■—fc-—■—*■—*十
15•已知非零向量a,b满足|ab||ab|,求证:
16.已知在△ABC中,AB(2,3),AC(1,k),且厶abc中/c为直角,求k的值.
17、设e,,e2是两个不共线的向量,AB2e1ke2,CBei3e2,CD2e1e2,
若A、B、D三点共线,求k的值.
ffff_a._i._fe._i.
18•已知|a|2|b|3,a与b的夹角为60o,c5a3b,d3akb,当当实数k为
何值时,⑴c//d⑵cd
19.如图,ABCD为正方形,P是对角线DB上一点,PECF为矩形,求证:
①PA=EF;
②PA丄EF.
20.如图,矩形ABCD内接于半径为r的圆O,点P是圆周上任意一点,求证:
PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.
参考答案第2章平面向量
解:
由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;
由于数学中研究的向量是自由向
量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确;
向量的平行只要方向相同或相反即
可,与起点是否相同无关,所以D不正确;
对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选C.
1.C;
2.C;
3.D;
4.C;
5.B;
6.
(1)AD⑵OA,°
C,°
D,B°
A°
,C°
DO
⑶AD,BC,CB.;
了.①②③⑤;
8.
(1)BF
(2)DE,CO,BF(3)AE,DE,DO,BO,CO,BF,CF(4)不相等;
9.
(1)DO,CB
(2)EO,DC(3OC,ED.
10.
(1)a,d
(2)a,d(3)不存在(4)a,d,c;
12.3种,8种,可以(转化为相邻两个中的互跳)
证明:
连结DE,EF,FD.因为D,E,F分别是
ABC三边的中点,所以四边形ADEF
为平行四边形•由向量加法的平行四边形法则,得
EDEFEA
(1),同理在平行
2.2向量的线性运算经典例题:
四边形BEFD中,
uuuFD
uuuFE
UJUFB
⑵,
在平行四边形CFDE在中,
uuiruiurujlt
DFDEDC⑶
将
(1)⑵⑶相加,得
uuruuuuuruurEAFBDCED
FD
uuurDE
uurDF
(EFFE)(ED
DE)
(FD
DF)
(2)a,d
uuumur又QAB//CD
(3)不存在
a,dc.
?
J
11.北偏东30°
方向,
大小为3'
3km
.
12BCAO
BOABAF
—*
a
b•
CDAF
b-
AD2BC
2a
—■b.
BE2AF
2b
解
(1)AB
(X,1)
CD(4,x)
uuruur
QAB//CD
x24,x2
(2)由已知得
BC
(22x,x1)
当X2时,
UJU
(2,1),AB(2,1),
uurAB和
BC不平行,此时A,B,C
在一条直线上;
(6,3)AB(
2,1)
AB〃BC,此时A,B,C
三点共线
2.D;
3.A;
5.D;
6.A;
7.3;
8.
A,B,C,D
四点在一条直线上.
D不
④;
10.
(1)a,d
|b|;
9.
1.B;
2.B;
4.B;
7.-4;
8.310…58;
9.-3,15;
10.(8,-4);
11.解析:
(1)BD=BC+CD=2e1-8e2+3(e1+e2)=5e1-5e2=5AB
•••BD与AB共线
又直线BD与AB有公共点B,•A、B、D三点共线
(2)vxe1-e2与e1-入e2共线
•••存在实数k,使入el—e2=k(e1—Xe2),化简得(入—k)e1+(kX—l)e2=
ve1、e2不共线,•由平面向量的基本定理可知:
入一k=0且kX—l=0
解得入=±
l,故入=±
l.
12.解法一
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