中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案Word文件下载.docx
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b},则
ρ(A)
的四个元素分别
是:
,,,。
19、代数系统是指由及其上的或
组成的系统。
20、设<
L,*
*
>
是代数系统,其中是*
二元运算符,如果*
都满
121212
足、,并且*
和*
满足,则称
12
<
是格。
21、集合
A={a,b,c,d},B={b
},则
\
B=。
22、设
A={1,
2},
23、在有向图中,结点
v
的出度
deg+(v)表示,入度
deg-(v)表示
以。
24、一个图的欧拉回路是。
25、不含回路的连通图是。
26、不与任何结点相邻接的结点称为。
27、推理理论中的四个推理规则
是、、、。
二、判断题(每题
1、空集是唯一的。
2、对任意的集合
A,A
包含
A。
3、恒等关系不是对称的,也不是反对称的。
4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。
5、图
G
中,与顶点
关联的边数称为点
的度数,记作
deg(v)。
6、在实数集上,普通加法和普通乘法不是可结合运算。
7、对于任何一命题公式,都存在与其等价的析取范式和合取范式。
8、设(A,*)是代数系统,a∈A,如果
a*a=a,则称
为(A,*)的等幂元。
f:
A→B,
g:
B→C。
若
f,g
都是双射,则
gf
不是双射。
10、无向图的邻接矩阵是对称阵。
11、一个集合不可以是另一个集合的元素。
12、映射也可以称为函数,是一种特殊的二元关系。
13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。
14、<
{0,1,2,3,4},MAX,MIN>
15、树一定是连通图。
16、单位元不是可逆的。
17、一个命题可赋予一个值,称为真值。
18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。
19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。
20、设
都是满射,则
g◦f
不是满射。
21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。
22、零元是不可逆的。
23、一般的,把与
n
个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
24、“我正在说谎。
”不是命题。
25、用
表示“是个大学生”,c
表示“张三”,则
A(c):
张三是个大学生。
26、设
F={<
3,3>
<
6,2>
F-1
={<
6,3>
2,6>
}。
27、欧拉图是有欧拉回路的图。
28、设
都是单射,则
也是单射。
三、计算题(每题
10
40
1、设
A={c,d},
B={0,1,2},则计算
A×
B,B×
2、A
{a,b,c},B
{1,2},计算
B。
3、A
{a,b,c},计算
4、符号化命题“如果
大于
3,则
4。
”。
5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。
6、符号化命题“2
是素数且是偶数”。
A={a,b,c,d},R
的二元关系,定义为:
R={<
a,a>
a,b>
b,a>
c,b>
c,a>
d,c>
d,b>
d,a>
},写出
上二元关系
R
的关系矩阵。
8、设
A={1,2,3,4},R
1,1>
1,2>
2,1>
3,2>
3,1>
4,3>
4,2>
4,1>
9、设有向图
如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。
10、设有向图
11、设无向图
如下所示,求它的邻接矩阵。
12、求命题公式┐(p∧┐q)的真值表。
13、设<
2x+y,
5>
=<
10,
x-3y>
,求
x,y。
14、R1、R2
是从{1,
2,
3,
4,
5}到{2,
6}的关系,若
R1={<
1,
2>
4>
5,
6>
},R2={<
},计算
domR1,ranR1,fldR1,domR2,ranR2,fldR2。
15、例:
设
5},B={3,
5},
C={1,
3},A
到
的关系
x,
y>
|x+y=6},B
C
S={<
y,
z>
|y-z=2},求
R◦S。
S
16、集合
b,
c},B={1,
5},R
上的关系,
的关系。
a,
a>
a,
c>
b>
c,
},S={<
1>
},求
R◦S,S–1◦R–1
17、A={1,
6},D
是整除关系,画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极
大元。
18、设集合
A={a,b,c},A
上的关系
b,c>
的自反、对称、传递闭包。
19、求下图中顶点
v0
与
v5
之间的最短路径。
v1
1
v02
7
5
v3
3
2
v5
4
v2
v4
6
20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。
四、证明题(每题
1、若
S
都是非空集
上的等价关系,证明
⋂
上的等价关系。
2、证明苏格拉底论证:
凡人要死。
苏格拉底是人,苏格拉底要死。
3、P→Q,┐Q
∨
R,┐R,┐S
P⇒┐S
4、在群<
G,*>
中,除单位元
e
外,不可能有别的幂等元。
5、设
是二元关系,证明:
(R
S)-1=R-1
S-1
6、证明:
((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))
(S∧(P→Q))→R.
I
是整数集合,k
是正整数,I
R={<
|x,
y
∈
I,且
x-y
可被
k
整除},
证明
是等价关系。
8、证明((p→q)→r)⇔
((┐q∧p)∨r)
9、证明(P∨Q)
∧(P→R)
∧(Q→S)⇒S∨R
10、证明
P→
┐Q,Q∨┐R,R∧┐S⇒
┐P
11、证
(∀x)(P(x)∨Q(x))
⇒┐(∀x)P(x)
→(∃x)Q(x)
12、证明定理:
设<
G,
◦
是群,对于任意
b∈G,则方程
x=b
y◦a=b
,在群内有唯一
解。
《离散数学》复习题参考答案
一、填空题(每空
1
上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。
2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。
A⋃B={a,b,c,d,e}。
A⋂B={1,3}。
有4个元素。
两者的最大值,则
2*3=3。
b,c,d},
则∣A∣=
4
。
8、对实数的普通加法和乘法,
0
是加法的幂等元,
的元素,则-(a+b+c)=(-a)+(
-b)+(
-c)。
10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。
11、不能再分解的命题称为原子命题,至少包含一个联结词的命题称为复合命题。
12、命题是能够表达判断(分辩其真假)的陈述语句。
表示王强不是一名大学生。
14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
全称量词和存在量词。
的子集。
17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。
的四个元素分别是:
空集,{a},{b},{a,
b}。
19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。
都满足交换律、结合律,并
且*
满足吸收律,则称<
1212
B={
c,d
deg+(v)表示以
为起点的边的条数,入度
deg-(v)表示以
v
为终点的边的条数。
24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。
25、不含回路的连通图是树。
26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。
27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则
(US
规则)、全称推广规则
(UG
规则)、存
在指定规则
(ES
规则)
、存在推广规则
(EG
规则)。
1、√。
2、√。
3、×
4、√。
5、√。
6、×
7、√。
8、√。
9、×
10、√。
11、×
12、√。
13、×
14、√。
15、√。
16、×
17、√。
18、√。
19、×
20、×
21、√。
22、√。
23、×
24、√。
25、√。
26、×
27、√。
28、√。
g
f
B={0,1,2},则
B={<
c,0>
c,1>
c,2>
d,0>
d,1>
d,2>
},B×
A=
{<
0,c>
0,d>
1,c>
1,d>
2,c>
2,d>
{1,2},A×
{a,b,c}
×
{1,2}
a,1>
b,1>
a,2>
b,2>
{a,b,c},A×
=
a,c>
b,b>
c,a,>
c,c>
L(x,y):
x
y,
a:
2,
b:
3,
c:
4,则命题符号化为
L(a,b)→L(a,c)。
F(x):
是兔子。
G(x):
是乌龟。
H(x,y):
比
跑得快。
该命题符号化为:
¬
∀x∀y(F(x)
∧G(y)→H(x,y))。
是素数。
是偶数。
2,则命题符号化为
F(a)∧G(a)。
解:
的关系矩阵为:
⎛1
ç
⎝
⎫
⎪
⎪⎭
deg(v1)=3,deg+(v1)=1,deg-(v1)=2;
deg(v2)=deg+(v4)=deg-(v2)=0;
deg(v3)=3,deg+(v3)=2,deg-(v3)=1;
deg(v4)=2,deg+(v4)=1,deg-(v4)=1;
答:
deg(v1)=3,deg+(v1)=2,deg-(v1)=1;
deg(v2)=3,deg+(v2)=2,deg-(v2)=1;
deg(v3)=5,deg+(v3)=2,deg-(v3)=3;
deg(v4)=deg+(v4)=deg-(v4)=0;
deg(v5)=1,deg+(v5)=0,deg-(v5)=1;
⎛
A(G)
p
q
┐q
p∧┐q
┐
(p∧┐q)
⎩
-
3
由定理列出如下方程组:
⎧2x
+
10
⎨
求解得
x=5,y=0。
domR1={1,
5},ranR1={2,
6},fldR1=dom
R1∪ran
R1={1,
6};
domR2={1,
2},ranR2={4,
6},fldR2=dom
R2∪ran
R2={1,
6}。
3>
},从而
R◦S={<
}
或者因<
∈R,<
∈S,所以<
R◦S;
因<
∈
∈R◦S;
从而
(R◦S)-1={<
R–={<
},
S–1={<
S–1◦R–1={<
的最小元,没有最大元,1
是极小元,4、5、6
都是
的极大元。
r(R)={<
s(R)={<
t(R)={<
如下图所示
之间的最短路径为:
v0,
v1,
v2,
v4
v3,
最短路径值为
1+2+1+3+2=9
先根遍历:
ABDEHCFIJGK
中根遍历:
DBHEAIFJCGK后根遍历:
DHEBIJFKGCA
RS
证明:
∀
a∈A,因为
上的等价关系,所以
xRx
且
xSx。
故
x。
是自反的。
a,b∈A,aR
Sb,即
aRb
aSb。
因为
bRa
bSa。
故
a。
是对称的。
a,b,c∈A,a
c,即
aRb,aSb,bRc
bSc。
上的等价
关系,所以
aRc
aSc。
c。
是传递的。
设:
H(x):
是人。
M(x):
是要死的。
s:
苏格拉底。
本题要证明:
(∀x)(H(x)→M(x))∧H(s)⇒M(s)
⑴
(∀x)(H(x)→M(x))
⑵
H(s)→M(s)
⑶
H(s)
⑷
M(s)
P
US⑴
⑵、⑶
(1)┐R前提
(2)┐Q
R前提
(3)┐Q
(1),
(2)
(4)P→Q前提
(5)┐P(3),(4)
(6)
┐S
P前提
(7)┐S(5),(6)
e∗e=e,所以
是幂等元。
a∈G
a∗a=a,则有
a=e∗a=(a
–1
∗a)∗a=a
–1∗(a∗a)=a–1
∗a=e,
即
a=e。
.
所以.
左边:
((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))
=(┐(Q∧S)∨R)∧(┐S∨(P∨R))
=(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
右边:
(S∧(P→Q))→R
┐(S∧(┐P∨Q))∨R
(┐S∨(P∧┐Q))∨R
(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
所以
((Q∧S)
→
R)∧(S→
(P∨R))
证
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- 离散数学 中国 石油大学 大学 期末 复习题 答案