非线性动力学胡海岩.docx
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非线性动力学胡海岩
第二章SDOF自治系统的定性分析
一、基本概念
(1)
令
将之化为状态方程的形式
(2)
这里f(u)为向量场。
初初始条件为
(3)
1.相空间、广义相空间、相轨线、积分曲线、相图
相空间特性应从物理意义出发,在相空间尚未选定之前,微分方程本身不能确定系统的可能运动,例如
(4)
若
和
是相平面上的笛卡儿坐标(DescartesCoordinates),表示“逃逸”的直线,如图1所示。
若
和
表示正交曲线坐标,其相轨线在环面上缠绕,如图2所示。
再如单摆系统。
图1
图2.炸面包圈
说明:
同一积分曲线方程决定的系统的性状的一般规律,在平面与环面中情况是不同的。
因此在讨论系统的行为之前需要定义好相空间的坐标性质。
图2.顺时针方向
相图特点:
(1)上半平面,
,相轨线从左到右;
(2)下半平面,
,相轨线从左到右;(3)横坐标,
,轨线与横轴正交。
2.定理:
若
是方程
(2)的解,对任意常数
,
仍是其解。
证明:
对任何时刻
,有
(5)
表明:
上式在任意瞬时恒成立,故
是解。
说明:
自治系统在相空间的轨线只与初始值有关,与初始时刻的选取无关。
因此,今后令
,初始条件(3)成为
(6)
例1:
对自治系统
,
是其解,
还是其解。
若取
,此时
。
推论:
经过相空间中的每一点(奇点除外),自治系统有一条且仅有一条相轨线(只有唯一轨线通过)。
证明:
设方程
(2)有两条轨线
,
有公共点,即在时刻
和
有
(7)
因
还是方程
(2)的解,因此下式成立
(8)
根据Cauchy定理:
若在
的邻域f对u的偏导数存在并连续,对t的单边偏导数存在并连续,则
在相当小的区间
内存在唯一解(过同一初始值的解是唯一的)。
有
(9)
表示
和
在相空间描绘出同一条轨线,只是在时间参数上相差一个平移:
。
结论:
a.沿t轴在相空间上的投影是重合的;b.相轨线不能相交;如图4所示。
图4.自治系统相轨线示意图
例2:
若非自治系统
的相空间每一点有且仅有一条相轨线,能否推出方程是自治的?
答:
不能。
例如
。
其解为
,
,相轨线方程为:
。
对每一个F值只得到一个椭圆轨线,而原方程却是一个非自治系统。
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