二项分布概念及图表和查表方法文档格式.docx
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/(k!
(n-k)!
),注意:
第二个等号后面得括号里得就是上标,表示得就是方幂。
那么就说这个属于二项分布。
其中P称为成功概率。
记作ξ~B(n,p)
期望:
Eξ=np;
方差:
Dξ=npq;
其中q=1-p
证明:
由二项式分布得定义知,随机变量X就是n重伯努利实验中事件A发生得次数,且在每次试验中A发生得概率为p。
因此,可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数得(0-1)分布随机变量之与。
设随机变量X(k)(k=1,2,3、、、n)服从(0-1)分布,则X=X
(1)+X
(2)+X(3)、、、、X(n)、
因X(k)相互独立,所以期望:
证毕。
如果
1.在每次试验中只有两种可能得结果,而且就是互相对立得;
2.每次实验就是独立得,与其它各次试验结果无关;
3.结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努利实验。
在这试验中,事件发生得次数为一随机事件,它服从二次分布。
二项分布可
以用于可靠性试验。
可靠性试验常常就是投入n个相同得式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验得概率。
若某事件概率为p,现重复试验n次,该事件发生k次得概率为:
P=C(n,k)×
p^k×
(1-p)^(n-k)。
C(n,k)表示组合数,即从n个事物中拿出k个得方法数。
(一)二项分布就是离散型分布,概率直方图就是跃阶式得。
因为x为不连续变量,用概率条图表示更合适,用直方图表示只就是为了更形象些。
1.当p=q时图形就是对称得
例如,
,p=q=1/2,各项得概率可写作:
2.当p≠q时,直方图呈偏态,p<
q与p>
q得偏斜方向相反。
如果n很大,即使p≠q,偏态逐渐降低,最终成正态分布,二项分布得极限分布为正态分布。
故当n很大时,二项分布得概率可用正态分布得概率作为近似值。
何谓n很大呢?
一般规定:
当p<
q且np≥5,或p>
q且nq≥5,这时得n就被认为很大,可以用正态分布得概率作为近似值了。
(二)二项分布得平均数与标准差
如果二项分布满足p<
q,np≥5,(或p>
q,np≥5)时,二项分布接近正态分布。
这时,也仅仅在这时,二项分布得x变量(即成功得次数)具有如下性质:
即x变量具有μ=
np,得正态分布。
式中n为独立试验得次数,p为成功事件得概率,q=1-p。
由于n很大时二项分布逼近正态分布,其平均数,标准差就是根据理论推导而来得,故用μ与σ而不用X与S表示。
它们得含意就是指在二项试验中,成功得次数得平均数μ=
np
,成功次数得分散程。
例如一个掷10枚硬币得试验,出现正面向上得平均次数为5次(μ=np=),正面向上得散布程度为√10×
(1/2)×
(1/2)=1、58(次),这就是根据理论得计算,而在实际试验中,有得人可得10个正面向上,有人得9个、8个……,人数越多,正面向上得平均数越接近5,分散程度越接近1、58
。
(1)当(n+1)p不为整数时,二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值;
(2)当(n+1)p为整数时,二项概率P{X=k}在k=(n+1)p与k=(n+1)p-1时达到最大值。
注:
[x]为不超过x得最大整数。
1.各观察单位只能具有相互对立得一种结果,如阳性或阴性,生存或死亡等,属于两分类资料。
2.已知发生某一结果(阳性)得概率为π,其对立结果得概率为1-π,实际工作中要求π就是从大量观察中获得比较稳定得数值。
3.n次试验在相同条件下进行,且各个观察单位得观察结果相互独立,即每个观察单位得观察结果不会影响到其她观察单位得结果。
如要求疾病无传染性、无家族性等。
二项分布在心理与教育研究中,主要用于解决含有机遇性质得问题。
所谓机遇问题,即指在实验或调查中,实验结果可能就是由猜测而造成得。
比如,选择题目得回答,划对划错,可能完全由猜测造成。
凡此类问题,欲区分由猜测而造成得结果与真实得结果之间得界限,就要应用二项分布来解决。
下面给出一个例子。
已知有正误题10题,问答题者答对几题才能认为她就是真会,或者说答对几题,才能认为不就是出于猜测因素?
分析:
此题
,即猜对猜错得概率各为0、5。
,故此二项分布接近正态分布:
根据正态分布概率,当Z=1、645时,该点以下包含了全体得95%。
如果用原分数表示,则为
它得意义就是,完全凭猜测,10题中猜对8题以下得可能性为95%,猜对8、9、10题得概率只5%。
因此可以推论说,答对8题以上者不就是凭猜测,而就是会答。
但应该明确:
作此结论,也仍然有犯错误得可能,即那些完全靠猜测得人也有5%得可能性答对8、9、10道题。
此题得概率值,还可用二项分布函数直接计算,亦得与正态分布近似得结果:
b(8100、5)=10*9/2*0、58*0、52=45/1024
b(9100、5)=10*0、59*0、51=10/1024
b(10100、5)=1/1024
根据概率加法,答对8题及其以上得总概率为:
45/1024+10/1024+1/1024=56/1024=0、0547同理,可计算8题以下得概率为95%。
(近似)
附表1二项分布表
P{X≤x}=∑
⎛n⎞pk(1-p)n-k
x
⎜⎟
k
k=0⎝k⎠
n
p
0、001
0、002
0、003
0、005
0、01
0、02
0、03
0、05
0、10
0、15
0、20
0、25
0、30
2
0、9980
0、9960
0、9940
0、9900
0、9801
0、9604
0、9409
0、9025
0、8100
0、7225
0、6400
0、5625
0、4900
1
1、0000
0、9999
0、9996
0、9991
0、9975
0、9775
0、9600
0、9375
0、9100
3
0、9970
0、9910
0、9851
0、9703
0、9412
0、9127
0、8574
0、7290
0、6141
0、5120
0、4219
0、3430
0、9997
0、9988
0、9974
0、9928
0、9720
0、9393
0、8960
0、8438
0、7840
0、9990
0、9966
0、9920
0、9844
0、9730
4
0、9881
0、9606
0、9224
0、8853
0、8145
0、6561
0、5220
0、4096
0、3164
0、2401
0、9994
0、9977
0、9948
0、9860
0、9477
0、8905
0、8192
0、7383
0、6517
0、9995
0、9963
0、9880
0、9728
0、9492
0、9163
0、9984
0、9961
0、9919
5
0、9950
0、9752
0、9510
0、9039
0、8587
0、7738
0、5905
0、4437
0、3277
0、2373
0、1681
0、9998
0、9962
0、9915
0、9774
0、9185
0、8352
0、7373
0、6328
0、5282
0、9914
0、9734
0、9421
0、8965
0、8369
0、9978
0、9933
0、9692
0、9976
6
0、9821
0、9704
0、9415
0、8858
0、8330
0、7351
0、5314
0、3771
0、2621
0、1780
0、1176
0、9985
0、9943
0、9875
0、9672
0、8857
0、7765
0、6554
0、5339
0、4202
0、9842
0、9527
0、9011
0、8306
0、7443
0、9987
0、9941
0、9830
0、9624
0、9295
0、9954
0、9891
0、9993
7
0、9930
0、9861
0、9792
0、9655
0、9321
0、8681
0、8080
0、6983
0、4783
0、3206
0、2097
0、1335
0、0824
0、9921
0、9829
0、9556
0、8503
0、7166
0、5767
0、4449
0、3294
0、9743
0、9262
0、8520
0、7564
0、6471
0、9973
0、9879
0、9667
0、9294
0、8740
0、9953
0、9871
0、9712
8
0、9841
0、9763
0、9607
0、9227
0、8508
0、7837
0、6634
0、4305
0、2725
0、1678
0、1001
0、0576
0、9897
0、9777
0、9428
0、8131
0、6572
0、5033
0、3671
0、2553
0、9942
0、9619
0、8948
0、7969
0、6785
0、5518
0、9786
0、9437
0、8862
0、8059
0、9971
0、9896
0、9727
0、9420
0、9958
0、9887
9
0、9733
0、9559
0、9135
0、8337
0、7602
0、6302
0、3874
0、2316
0、1342
0、0751
0、0404
0、9869
0、9718
0、9288
0、7748
0、5995
0、4362
0、3003
0、1960
0、9916
0、9470
0、8591
0、7382
0、6007
0、4628
0、9917
0、9661
0、9144
0、8343
0、7297
0、9944
0、9804
0、9511
0、9012
0、9969
0、9747
0、9957
10
0、9802
0、9044
0、8171
0、7374
0、5987
0、3487
0、1969
0、1074
0、0563
0、0282
0、9989
0、9838
0、9139
0、7361
0、5443
0、3758
0、2440
0、1493
0、9972
0、9885
0、9298
0、8202
0、6778
0、5256
0、3828
0、9872
0、9500
0、8791
0、7759
0、6496
0、9901
0、9219
0、8497
0、9986
0、9936
0、9803
0、9965
0、9894
11
0、9782
0、9675
0、9464
0、8953
0、8007
0、7153
0、5688
0、3138
0、1673
0、0859
0、0422
0、0198
0、9805
0、9587
0、8981
0、6974
0、4922
0、3221
0、1971
0、1130
0、9848
0、9104
0、7788
0、6174
0、4552
0、3127
0、9815
0、9306
0、8389
0、7133
0、5696
0、9496
0、8854
0、7897
0、9883
0、9657
0、9218
0、9924
0、9784
12
0、9646
0、9416
0、8864
0、7847
0、6938
0、5404
0、2824
0、1422
0、0687
0、0317
0、0138
0、9938
0、9769
0、9514
0、8816
0、6590
0、4435
0、2749
0、1584
0、0850
0、9952
0、8891
0、7358
0、5583
0、3907
0、2528
0、9744
0、9078
0、7946
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0、9761
0、9274
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0、7237
0、9806
0、9456
0、8822
0、9857
0、9614
0、9905
0、9983
13
0、9617
0、9369
0、8775
0、7690
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