高三高三理科数学考前适应性试题扬州市含答案Word格式.docx
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(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)在中,分别是A、B、C的对边,若,,的面积为,求的值.
16.(本小题满分14分)
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上.
(1)求证:
平面A1BC⊥平面ABB1A1;
(2)若,AB=BC=2,P为AC中点,求三棱锥的体积。
17.(本小题满分15分)
某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为亿元,其中用于风景区改造为亿元。
该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:
①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;
②每年改造生态环境总费用至少亿元,至多亿元;
③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%,但不得每年改造生态环境总费用的22%。
(1)若,,请你分析能否采用函数模型y=作为生态环境改造投资方案;
(2)若、取正整数,并用函数模型y=作为生态环境改造投资方案,请你求出、的取值.
18.(本小题满分15分)
椭圆的右焦点为,右准线为,离心率为,点在椭圆上,以为圆心,为半径的圆与的两个公共点是.
(1)若是边长为的等边三角形,求圆的方程;
(2)若三点在同一条直线上,且原点到直线的距离为,求椭圆方程.
19.(本小题满分16分)
已知函数,,().
(1)求函数的极值;
(2)已知,函数,,判断并证明的单调性;
(3)设,试比较与,并加以证明.
20.(本小题满分16分)
设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”:
①;
②.
(1)若等比数列为()阶“期待数列”,求公比;
(2)若一个等差数列既是()阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;
(3)记阶“期待数列”的前项和为:
(?
)求证:
;
)若存在使,试问数列能否为阶“期待数列”?
若能,求出所有这样的数列;
若不能,请说明理由.
第二部分(加试部分)
(总分40分,加试时间30分钟)
答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位置.解答过程应写在答题卷的相应位置,在其它地方答题无效.
21.B选修4-2:
矩阵与变换(本题满分10分)
已知矩阵,向量.求向量,使得.
21.C选修4-4:
坐标系与参数方程(本题满分10分)
在直角坐标系内,直线的参数方程为为参数.以为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.判断直线和圆的位置关系.
22.(本题满分10分)
某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:
考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作。
规定:
至少正确完成其中2题的便可提交通过。
已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成。
(1)求出甲考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;
(2)若考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响。
试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.
23.(本题满分10分)
(1)设,试比较与的大小;
(2)是否存在常数,使得对任意大于的自然数都成立?
若存在,试求出的值并证明你的结论;
若不存在,请说明理由。
参考答案
1.2.3.24.
5.6256.7.8.
9.10.11.
12.3
13.
提示:
设,由,得,
===,
研究点P横坐标的最大值,仅考虑,
(当且仅当时取“=”).
14.8
,设两切点分别为,,(,),
:
,即,令,得;
令,得.
令,得.
依题意,,得,
+===,
=,可得当时,有最小值8.
15.解:
(1)
4分
6分
(2)由,,
又的内角,,
,8分
,,,11分
,14分
16.证:
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,
∴AA1⊥BC,
∵AD⊥平面A1BC,
∴AD⊥BC,
∵AA1,AD为平面ABB1A1内两相交直线,
∴BC⊥平面ABB1A1,
又∵平面A1BC,
∴平面A1BC⊥平面ABB1A1
7分
(2)由等积变换得,
在直角三角形中,由射影定理()知,
∵,
∴三棱锥的高为10分
又∵底面积12分
∴=14分
法二:
连接,取中点,连接,∵P为AC中点,
, 9分
由
(1)AD⊥平面A1BC,∴⊥平面A1BC,
∴为三棱锥P-A1BC的高,11分
由
(1)BC⊥平面ABB1A1 ,12分
,14分
17.解:
(1)∵,
∴函数y=是增函数,满足条件①。
3分
设,
则,
令,得。
当时,,在上是减函数;
当时,,在上是增函数,
又,,即,在上是增函数,
∴当时,有最小值0.16=16%>
15%,
当时,有最大值0.1665=16.65%<
22%,
∴能采用函数模型y=作为生态环境改造投资方案。
9分
(2)由
(1)知,
依题意,当,、时,恒成立;
下面求的正整数解。
令,12分
由
(1)知,在上是减函数,在上是增函数,
又由
(1)知,在时,,且=16%∈[15%,22%],
合条件,经枚举,∈[15%,22%],
而[15%,22%],可得或或,
由单调性知或或均合题意。
15分
18.解:
设椭圆的半长轴是,半短轴是,半焦距离是,
由椭圆的离心率为,可得椭圆方程是,2分
(只要是一个字母,其它形式同样得分,)
焦点,准线,设点,
(1)是边长为的等边三角形,
则圆半径为,且到直线的距离是,
又到直线的距离是,
所以,,,
所以
所以,圆的方程是。
6分
(2)因为三点共线,且是圆心,所以是线段中点,
由点横坐标是得,,8分
再由得:
,,
所以直线斜率10分
直线:
,12分
原点到直线的距离,
依题意,,所以,
所以椭圆的方程是.15分
19.解:
(1),令,得.
当时,,是减函数;
当时,,是增函数.
∴当时,有极小值,无极大值.4分
(2)
==,
由
(1)知在上是增函数,
当时,,
即,
∴,即在上是增函数.10分
(3),由
(2)知,在上是增函数,
令得,.16分
20.解:
(1)若,则由①=0,得,
由②得或.
若,由①得,,得,不可能.
综上所述,.
(2)设等差数列的公差为,>
0.
∵,∴,
∴,
∵>
0,由得,,
由题中的①、②得,
,
两式相减得,,∴,
又,得,
∴.
(3)记,,…,中非负项和为,负项和为,
则,,得,,
),即.
)若存在使,由前面的证明过程知:
,,…,,,,…,,
且….
记数列的前项和为,
则由(?
)知,,
∴=,而,
∴,从而,,
又…,
与不能同时成立,
所以,对于有穷数列,若存在使,则数列和数列不能为阶“期待数列”.
21.B解:
,4分
设,由得,
即,8分
解得,所以10分
21.C解:
将消去参数,得直线的直角坐标方程为;
3分
由,即,
两边同乘以得,
所以⊙的直角坐标方程为:
又圆心到直线的距离,
所以直线和⊙相交.10分
22.解:
(Ⅰ)设考生甲正确完成实验操作的题数分别为,
则,所以,2分
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为:
123
4分
(Ⅱ)设考生乙正确完成实验操作的题数为,则
,所以,6分
又且,8分
从至少正确完成2题的概率考察,甲通过的可能性大,
因此可以判断甲的实验操作能力较强。
10分
23.解:
(Ⅰ)设,则,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
故函数有最小值,则恒成立4分
(Ⅱ)取进行验算:
猜测:
①,
②存在,使得恒成立。
证明一:
对,且,
有
又因,
故8分
从而有成立,即
所以存在,使得恒成立10分
证明二:
由
(1)知:
当时,,
设,,
则,所以,,,
当时,再由二项式定理得:
即对任意大于的自然数恒成立,8分
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