新浙教版八年级上数学期末复习宝典含至学年嘉兴市期末检测知识点汇总分析Word文件下载.docx
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在直角三角形或直角较多的图形中,往往要用同角或等角的余角相等来证明某两个角相等
如图,写出图中相等的锐角____________________________________________________.
像这种△ABC≌△DEF,两个三角形已经用全等符号(≌)表示,
说明对应点已经写在了对应位置上,我们在找对应边和对应角时
可以根据它们的字母顺序来找,如边AC是△ABC的第1和3个
字母,那么它的对应边应该是△DEF的第1和3个字母,即DF.
这种方法有利于在一些复杂图形中找对应边和角.
7.★★★垂直平分线(中垂线)的性质和角平分线的性质.
①垂直平分线(中垂线)的性质:
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
几何语言:
∵AD⊥BC,BD=CD(注意:
两个条件才能表示AD是BC的中垂线)
∴AB=AC(注意:
结论不要跳步和张冠李戴,关键是理解哪两条线段是点到点的距离)
②角平分线的性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC(注意:
三个条件,不要漏掉后面两个垂直,
那是表示点到两边的距离)
∴DE=DF(注意:
结论不要跳步和张冠李戴,关键是理解哪两条线段是点到两边的距离)
③记忆方法:
垂直平分线是点到点的距离相等.角平分线是点到线的距离相等.
④应用:
如图1,找一个点使得它到A、B、C三点距离相等,作线段AB、BC、AC中任意两条的中垂线,它们的交点即为所要作的点.(只有一个点满足条件)
如图2,找一个点使得它到l1、l2、l3三条线的距离相等,作∠BAC、∠BCA、∠ABC中任意两个角的角平分线,它们的交点(一个)即为所要作的点.还可以作三个外角的角平分线,交点有三个.所以满足条件的点总共有4个.
如图3,△ABC中,∠C=90°
,AB的中垂线DE交AB于E,交BC于D,若AB=10,AC=6,则△ACD的周长为_________.
如图4,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,若OD=8,OP=10,则PE的长为__________.
8.在同一个三角形中,等边对等角.在同一个三角形中,等角对等边.(注意条件)
9.等腰三角形三线合一的三线是指:
底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线.(注意不能笼统的说中线、高线、角平分线三线合一,一定要加上它们的条件)
10.在描述某个轴对称图形的对称轴对称轴时,注意对称轴是直线,如:
等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线或底边上的高线所在直线或顶角的平分线所在直线.
11.★★★注意需要分类讨论的几种情况.
①已知等腰三角形一个角的度数,求另外两个角时,要注意讨论已知角是顶角还是底角,底角的度数一定小于90度.
练习:
等腰三角形的一个角为40°
,则它的另外两个角的度数为_______________________________.
②已知等腰三角形两条边的长度,求周长时,要注意讨论哪一条边作为腰,哪一条边作为底,同时注意所讨论的情况能否组成三角形.
等腰三角形的两条边的长度为3和5.则周长等于____________________.
等腰三角形的两条边的长度为4和8.则周长等于____________________.
③已知直角三角形的两条边的长度,求斜边、斜边上中线、第三边、第三边上的中线时,要注意讨论已知的两边都是直角边和其中一条边是斜边这两种情况,同时一定要弄清楚求的是什么.
直角三角形的两条边的长度为6和8,则第三边的长为________,斜边上的中线长为________.
④已知等腰三角形一腰上的高和底边夹角的度数,求顶角或底角度数时,画图要注意分锐角和钝角两种情况讨论.
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°
,则其顶角的度数为_______________.
⑤如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行或垂直,则这两个角的关系是相等或互补.
满足上述条件的其中一个角是110°
,则另一个角的度数为_____________.
⑥已知两个定点和一个动点构成等腰三角形时,要讨论三条边两两相等,共3种情况.(注意并不是指3个答案,有时一种情况可能会有两个答案)
⑦已知两个定点和一个动点构成直角三角形时,要讨论三个角分别是直角3种情况.
12.★★★直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
★★在直角三角形中,30°
的角所对的直角边等于斜边的一半.
★★直角三角形斜边上的高线=
.(可用等面积法证明)
已知直角三角形的两条直角边的长为5和12,则斜边上的高等于________.
13.★★★勾股定理:
两条直角边的平方和等于斜边的平方.
★勾股定理的逆定理:
如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.(注意使用该定理证明一个三角形是直角三角形时的书写格式)
已知△ABC是直角三角形,∠C=90°
,a=3,c=4,则b=______.
已知一个三角形的三边长分别是5,12,13,判断该三角形是否是直角三角形(写出过程).
14.★★记住一些规律性的结论(注意结论成立的条件,绝不能乱套用结论).
如图①,BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BOC=90°
+
∠A
BP和CP分别是∠ABC和∠ACB的外角的平分线,则∠BPC=90°
-
如图②,BE是∠ABC的平分线,CE是∠ACB的外角的平分线,则∠E=
如图③,AB=AC,AD=AE,则∠CDE=
∠BAD
如图④,BA=BE,CA=CD,则∠DAE=
(180°
-∠BAC)
15.常用辅助线的添法.
①已知角平分线,可尝试作角平分线上点到角两边的垂线段.
②已知垂直平分线,可尝试连结垂直平分线上的点与线段两个端点.
③已知中线,可尝试倍长中线来构造全等三角形.
例如:
如图,AD是△ABC的中线,可延长AD至E使得ED=AD,
连结BE,则△ACD≌△EBD.
已知三角形的两边长为4和6,则第三边上的中线长的取值范围是____________.
④当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时:
a+b=c,如直接证不出来,可采用截长法:
在较长的线段上截取一条线段等于较短线段;
补短法:
延长较短线段和较长线段相等,这两种方法放在一起叫截长补短法.通过线段的截长补短,构造全等把分散的条件集中起来.
⑤★★围绕等腰直角三角形,作如图的基本图形,
记住该图形的一些结论:
如△ABD≌△CAE,BD+CE=DE
在证明∠ABD=∠CAE或∠BAD=∠ACE时,
注意利用同角的余角相等来证.
16.★★★作图,请翻阅课本36页至38页.
17.★★★把一个命题改写成“如果……那么……”的形式或写出它的逆命题.
命题:
等腰三角形的两个底角相等.
逆命题:
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(逆命题中千万不能写“两个底角”)
命题:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.
(逆命题中千万不能写“斜边上”)
内错角相等,两直线平行.
改写成“如果……那么……”的形式:
如果两条直线被第三条直线所截构成的内错角相等,那么这两条直线平行.(一般情况下,“如果”后面的主语和“那么”后面的主语一致,“那么”后面往往紧跟着“这”这个字!
)
18.求两条线段和或差的最值.
①如图,点P为直线l上一动点,作出AP+BP的值最小时点P的位置.
作点A关于直线l的对称点A1,再连结A1B,A1B与直线l的交点就是使AP+BP的值最小时的点P,此时AP+BP的最小值就是A1B的长度.要求A1B的长度可构造如图的直角三角形求解.
②如图,点P为直线l上一动点,作出|AP-BP|的值最大时点P的位置.
连结BA并延长,与直线l所交的点就是使|AP-BP|的值最大时的点P,此时该最大值就是AB的长度.
③如图1,已知直角△ABC中,∠BAC=90°
,AC=2,BC=1,当AC在滑动时,求点B到点O的最大值.
如图2,取AC的中点P,连结BP、OP、BO,BP=
=
,OP=
AC=1,由三角形三边关系可知,BP+OP>BO,即BO<
+1.
如图3,当BP和OP与BO重合时,BO=BP+OP=
+1,此时BO的长度最大,故最大值为
④如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=45°
,∠BAC的平分线交BC于
点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是_________.
19.方程思想的运用.
基本思路:
构造直角三角形,设未知数,用未知数表示该直角三角形的边,根据勾股定理列方程.
①如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠BAC,AC=6,AB=10,求CD的长.
②如图,在△ABC中,AC=17,BC=10,D为AB上一点,CD=CB,AD=9,求AB的长.
第三章一元一次不等式
1.★★★不等式的基本性质:
①不等式两边都加上(或减去)同一个数或式,不等号的方向不变.
②不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
③不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.(注意什么时候要改变不等号的方向)
若a>b,则下列各式中一定成立的是( )
A.ma>mbB.c2a>c2bC.1-a>1-bD.(1+c2)a>(1+c2)b
2.★★★会把用文字描述的不等关系用不等式表示.(注意看清题目,正确使用不等号!
3.在数轴上表示不等式的解时,取到等号的用实心圆,取不到等号的用空心圆.学会在数轴上找不等式组的解.
4.★★★解不等式时的注意点:
如:
<1
①去分母得:
2(x-1)-(3x-5)<4
②去括号得:
2x-2-3x+5<4
③移项得:
2x-3x<4+2-5
④合并同类项得:
-x<1
⑤两边同除以-1得:
x>1
5.★解不等式组时记得写出最终的解,防止解完两个不等式后就结束了.
6.★★对于含参数(如不等式中含有字母a)的不等式(组),求参数的取值范围时,注意利用数轴分析,同时学会用特殊值法解题.
①关于x的不等式2x-k≤0的正整数解是1、2、3,那么k的取值范围是________________.
第一步,解这个不等式,结果用k表示;
第二步,把这个解表示在数轴上,分析结果在哪两个整数之间;
第三步,分析上述中的两个整数可以取到哪个;
第四步,求出k的取值范围.
②若不等式组
无解,则实数a的取值范围是_____________.
第一步,解这两个不等式;
第二步,利用数轴分析不等式组无解时上述两个不等式结果的大小关系;
第三步,分析上述两个不等式的结果是否可以相等;
第四步,求出a的取值范围.
第四章图形与坐标
1.确定平面内物体位置的两种方法.
①用有序数对来确定.需要两个数据.
②用方向和距离(方位)来确定.需要两个数据.
点A的位置如图所示,则点A在点O的_________________________.
2.★★★掌握各象限内及x轴,y轴上点的坐标的特点:
第一象限(+,+);
第二象限(-,+);
第三象限(-,-);
第四象限(+,-)
x轴上的点纵坐标为0,表示为(x,0);
y轴上的点横坐标为0,表示为(0,y)
若点P的坐标为(-2,4),则点P在第______象限.
3.一个点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值;
一个点到y轴的距离是该点横坐标的绝对值.
已知点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,则点P的坐标可能是__________________.
4.★★★关于x轴对称的两点:
横坐标相同,纵坐标互为相反数.
关于y轴对称的两点:
纵坐标相同,横坐标互为相反数.
方法:
关于什么轴对称,什么坐标就不变.
已知点A(-1,a)与点B(b,3)关于x轴对称,则a+b=__________.
5.★★线段上任意一点坐标的表示方法.
(1)写出线段两端点的坐标(x1,y1)、(x2,y2);
(2)若横坐标相同,即x1=x2,则该线段上任意一点坐标可表示为(x1,y)(y1≤y≤y2);
若纵坐标相同,即y1=y2,则该线段上任意一点坐标可表示为(x,y1)(x1≤x≤x2).
已知点A(-1,3),B(4,3),则线段AB上任意一点坐标可表示为___________________.
6.点的平移:
向右平移,是向x轴正方向,x坐标会增大,所以x坐标加上平移的距离.
向左平移,是向x轴负方向,x坐标会减少,所以x坐标减去平移的距离.
向上平移,是向y轴正方向,y坐标会增大,所以y坐标加上平移的距离.
向下平移,是向y轴负方向,y坐标会减少,所以y坐标减去平移的距离.
点P(-3,2)先向上平移2个单位,再向右平移4个单位后所得点的坐标为____________.
第五章一次函数
1.一次函数:
形如y=kx+b(k≠0,k,b为常数)的函数.注意自变量x上的指数为1.
当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数.
正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.
一次函数y=-3x-4的图象过点(a,2),则a=________.
2.★★★求函数与x轴和y轴的交点坐标.
当x=0时,y=b,则函数于y轴的交点坐标为(0,b);
当y=0时,x=-
,则函数于x轴的交点坐标为(-
,0).
一次函数y=-
x-4的图象与x轴的交点坐标为_________,与y轴的交点坐标为__________.
3.若直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2平行,则k1=k2;
若直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2垂直,则k1•k2=-1;
(1)若某一次函数的图象与y=-2x+3的图象平行,且过点(-2,1),则该一次函数的解析式为____________________.
(2)若一次函数y=kx+b的图象与y=-2x+3的图象垂直,则k=________.
4.★★★要求直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2交点坐标,只需解方程
或k1x+b1=k2x+b2.
直线y=-2x+3和直线y=
x+1的交点坐标为___________.
5.★★★一次函数y=kx+b的图象与k,b的关系.
①当k>0时,从左到右,图象上升,y随x的增大而增大.
当k<0时,从左到右,图象下降,y随x的增大而减小.
②b是图象与y轴的交点所表示的数字,所以b>0时,图象与y轴的交点在y轴正半轴上,b<0时,图象与y轴的交点在y轴负半轴上.
关于一次函数y=-2x+4,下列结论正确的是____________________.
①图象经过点(-1,2);
②y随x的增大而减小;
③图象经过第一、二、四象限;
④当x<2时,图象在x轴下方;
⑤当y>0时,x>2;
⑥若点(x1,y1)和点(x2,y2)在该函数图象上,当x1<x2时,y1>y2.
6.★★★会用待定系数法求一次函数的表达式.
求一次函数的表达式时,只需知道图象上的两个点的坐标,把坐标代入一次函数表达式,列出二元一次方程组,求出k,b的值即可.
若直线y=kx+b经过点(1,-4)和(-2,3),则该直线方程为___________________.
7.★一次函数图象的平移.
确定k:
因为平移前后两条直线平行,所以它们的k相等;
确定b:
首先在平移前的函数图象上任取一点,写出它的坐标,然后求出该点平移后的点的坐标,再把该坐标代入平移后的函数解析式,求出b.
将直线y=-2x+4直线向下平移3个单位长度后所得直线的表达式为_________________;
将直线y=-2x+4直线向左平移3个单位长度后所得直线的表达式为_________________;
8.★★★已知一次函数图象求方程或不等式的解.
(1)如图,已知函数y=kx+b和y=mx+n的图象的交点坐标为(1,2).
①关于x的一元一次方程kx+b=mx+n的解为_____________;
②关于x、y的二元一次方程组
的解为_______________;
③关于x的一元一次不等式kx+b<mx+n的解为_____________;
④关于x的一元一次不等式kx+b<2的解为_____________;
⑤关于x的一元一次不等式mx+n>2的解为_____________;
9.直角坐标系中已知两定点和一动点构成等腰三角形时求动点坐标.
找动点所在位置的方法:
在给出的图形大致准确的情况下,可作两个圆和一条中垂线来找点.
(1)若动点在x轴、y轴或平行于x轴、y轴的直线上时.
(2)若动点不在x轴、y轴或平行于x轴、y轴的直线上时,在求其中一个点时会用到等面积法.
如图,直线y=-
x+3与x轴交于点A,点P为该直线上一动点,当△AOP为等腰三角形时求点P的坐标.
10.模型建立:
如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°
,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E.
求证:
△BEC≌△CDA.
模型应用:
(1)已知直线l1:
y=
x+4与y轴交与A点,将直线l1绕着A点顺时针旋转45°
至l2,如图2,求l2的函数解析式.
(2)如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A、C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,设PC=m,已知点D在第一象限,且是直线y=2x-6上的一点,若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△,请直接写出点D的坐标.(每种情况各画一个图)
11.如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线l:
y=-
x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B,过点C(-4,-4)画平行于y轴的直线交直线AB于点D,CD=10.
(1)求点D的坐标和直线l的解析式;
(2)求证:
△ABC是等腰直角三角形;
(3)如图2,将直线l沿y轴负方向平移,当平移适当的距离时,直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′,在直线CD上存在点P,使得△A′B′P是等腰直角三角形.请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
(每种各画一个图)
角平分线的补充性质:
如图,AD为△ABC的角平分线,则
.
八上数学期末检测考点
题号
2013学年
2014学年
2015学年
2016学年
1
判断轴对称图形
象限中点的符号特征
组成三角形的条件
2
3
等腰△已知顶角求底角(文字)
运用不等式性质对不等式变形
组成直角三角形的条件
已知函数和横坐标求纵坐标
4
判断方位
一次函数已知x的大小比较y的大小
等腰△已知顶角求底角(画图)
5
命题真假
中垂线的性质
全等三角形的判定
6
一次函数的性质(增减、象限)
根据图形判断方位
已知x的范围求y的范围
7
三角板拼图求角度
8
不等式组中求参数a的范围
角平分线+平行线求角度
垂线段最短和等面积法求△高
点的轴对称和判断点所在象限
9
读图(路程时间图象)
二元一次方程组+不等式求k的范围
直角三角形和中垂线
10
辅助线、全等、勾股定理
直角△斜边上的中线
点的坐标找规律
11
写逆命题
直角三角形已知一锐角求另一锐角
用不等式表示
根据坐标系写坐标
12
用不等式表示不等关系
13
根据三角形三边关系求第三边
根据直角三角形中线性质求角度
解不等式
14
点的轴对称
等腰△已知两边求周长
15
根据函数解析式判断图象所在象限
角平分线的性质和勾股定理
16
一次函数已知自变量求函数值
根据函数解析式判断图象象限
17
勾股定理求第三边
根据一次函数图象解不等式
三线合一求角度
18
线段上任意点坐标的表示方法
一次函数图象平移
19
等腰△已知两边求底边中线
K型图求点坐标
几何新定义
20
直角坐标系求点的坐标
翻折问题求长度
21
解不等式组并在数轴上表示解
解不等式并在数轴上表示解
求一次函数解析式
22
尺规作三角形
全等三角形的判定和性质
解不等式组
23
等腰△性质和全等△的判定
尺规作角平分线和中垂线
一次函数应
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