圆的轨迹问题有迹可循突破难点有绝招Word文档下载推荐.docx
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(1)符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。
(2)凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性)。
(3)另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。
初中阶段会接触到的曲轨迹一般是圆或者圆弧,比如旋转问题中;
当然动点也可能在双曲线或者抛物线上运动,这都属于曲轨迹;
类型1圆的问题中隐含圆的轨迹问题
1.如图,扇形AOD中,∠AOD=90°
,OA=6,点P为弧AD上任意一点(不与点A和D重合),PQ⊥OD于Q,点I为△OPQ的内心,过O,I和D三点的圆的半径为r.则当点P
在弧AD上运动时,r的值满足( )
A.0<r<3B.r=3C.3<r<3√3D.r=3√2
【解析】连OI,PI,DI,由△OPH的内心为I,可得到∠PIO=180°
﹣∠IPO﹣∠IOP=180°
﹣1/2(∠HOP+∠OPH)=135°
,并且易证△OPI≌△ODI,得到∠DIO=∠PIO=135°
,所以点I在以OD为弦,并且所对的圆周角为135°
的一段劣弧上;
过D、I、O三点作⊙O′,如图,连O′D,O′O,在优弧AO取点P′,连P′D,P′O,可得∠DP′O=180°
﹣135°
=45°
,得∠DO′O=90°
,O′O=3√2.故选:
D.
2.如图,在⊙O中,弦AD等于半径,B为优弧AD上的一动点,等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D.若⊙O的半径等于1,则OC的长不可能为( )
A.2﹣√3B.√3﹣1C.2D.√3+1
【解析】利用圆周角定理确定点C的运动轨迹,进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围.如图,连接OA、OD,则△OAD为等边三角形,边长为半径1.作点O关于AD的对称点O′,连接O′A、O′D,则△O′AD也是等边三角形,边长为半径1,
3.如图,在△ABC中,AC=4√3,BC=9,∠ACB=60°
,AM∥BC,点P在射线AM上运动,连BP交△APC的外接圆于点E,则AE的最小值为 .
【解析】:
如图,连接CE.
∵AM∥BC,∴∠MAC=∠ACB=60°
,
∴∠CEP=∠CAP=60°
,∴∠BEC=120°
4.(2020•武汉模拟)如图,⊙O的半径为1,点D为优弧AB上一动点,AC⊥AB交直线BD于C,且∠B=30°
,当△ACD的面积最大时,∠BAD的度数为 .
【解析】连接OA、OD,如图,根据圆周角定理得到∠AOD=2∠B=60°
,则△OAD为等边三角形,所以AD=OA=1,而∠C=60°
,利用圆周角定理可判断点C在AD为弦,圆周角为60°
的弧上运动,根据三角形面积公式,当C在弧AD的中点时△ADC的面积最大,此时∠CAD=60°
,从而得到∠BAD=30°
.
类型2非圆问题中隐含圆的轨迹问题
5.(2019秋•罗湖区期末)如图,矩形ABCD中,AB=20,AD=30,点E,F分别是AB,BC边上的两个动点,且EF=10,点G为EF的中点,点H为AD边上一动点,连接CH、GH,则GH+CH的最小值为 .
由已知,点G在以B圆心,5为半径的圆在与长方形重合的弧上运动.作C关于AD的对称点C′,连接C′B,交AD于H,交以D为圆心,以5为半径的圆于G。
由两点之间线段最短,此时C′B的值最小
则GH+CH的最小值=50﹣5=45,
故答案为:
45.
6.如图,点C是线段AB上的动点,分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE,BD、AE交于点P.若AB=6,则PC的最大值为 .
【解析】首先证明△ACE≌△DCB,再证明PC平分∠APB,且∠APB=120°
,作△APB的外接圆,延长PC交△APB的外接圆于点Q,
∵∠APB=120°
是定值,∠APQ=∠BPQ=60°
∴QA=QB,点Q是定点,∴当PQ⊥AB时,PC的长最大,
此时PA=PB,AC=BC,PC=AC•tan30°
=3×
√3/3=√3.
故答案为√3.
7.如图,在三角形ABC中,AC=3,BC=4√2,∠ACB=45°
,AM∥BC,点P在射线AM上运动,连接BP,D为线段BP上一点,且∠CDP=∠CAP,F为AC上一点,则FD+BF的最小值为 .
如图,作线段BC的垂直平分线,垂足为Q,在线段BC的垂直平分线上取一点O,使得OQ=BQ=CQ,以O为圆心,OB为半径作⊙O,交直线OQ于E,连接EB,EC,OC,OB.
∵∠BEC=1/2∠BOC=45°
∴∠BDC=180°
﹣45°
=135°
,∴∠PDC=45°
∵AM∥BC,∴∠PAC=∠ACB=45°
,∴∠PDC=∠PAC,
∴点D在弧BC上运动,作点B关于AC的对称点B′,连接CB′,OB′,FB,作B′H⊥OQ于H.
∵FB+DF=FB′+DF.
∴当D,F,B′共线时,BF+DF的最小值为线段DB′的长,
8.(2019秋•清江浦区期末)
(1)
【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易.
例如:
如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,D是△ABC外一点,且AD=AC,求∠BDC的度数.若以点A为圆心,AB为半径作辅助⊙A,则点C、D必在⊙A上,∠BAC是⊙A的圆心角,而∠BDC是圆周角,从而可容易得到∠BDC= °
(2)
【问题解决】
如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°
,∠BDC=25°
,求∠BAC的数.
(3)
【问题拓展】
如图3,如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 .
(1)如图1,∵AB=AC,AD=AC,
∴以点A为圆心,点B、C、D必在⊙A上,
∵∠BAC是⊙A的圆心角,而∠BDC是圆周角,
∴∠BDC=1/2∠BAC=45°
故答案是:
45;
(2)如图2,取BD的中点O,连接AO、CO.
∵∠BAD=∠BCD=90°
∴点A、B、C、D共圆,∴∠BDC=∠BAC,
∵∠BDC=25°
,∴∠BAC=25°
(3)如图3,在正方形ABCD中,AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,
易证△ABE≌△DCF(SAS),∴∠1=∠2,
易证△ADG≌△CDG(SAS),∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°
,∴∠1+∠BAH=90°
∴∠AHB=180°
﹣90°
=90°
取AB的中点O,连接OH、OD,
题目中没用明确给出(隐形圆):
即动点所在的路径题目中并没有明确交代,需要同学们有先自我判断的意识,既然点在运动,那么其必然在某条确定的轨迹上运动,不管题目有没有交代。
这类题目比较难,常见的有(定边定角类型、定高定角类型、折叠最值问题,双定边手拉手问题等与辅助圆有关的模型)。
圆的轨迹问题常涉及到三个知识点
1、动点到定点的距离为定值
2、对角互补的四边形四点共圆
3、定线段所对动角为定值(常考:
直径所对圆周角为90°
)
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