北师大数学七年级下册第二章平行线的性质及尺规作图提高.docx
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北师大数学七年级下册第二章平行线的性质及尺规作图提高.docx
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北师大数学七年级下册第二章平行线的性质及尺规作图提高
平行线的性质及尺规作图(提高)知识讲解
【学习目标】
1.掌握平行线的性质,并能依据平行线的性质进行简单的推理;
2.了解平行线的判定与性质的区别和联系,理解两条平行线的距离的概念;
3.了解尺规作图的基本知识及步骤;
4.通过用尺规作图活动,进一步丰富对“平行线及角”的认识.
【要点梳理】
要点一、平行线的性质
性质1:
两直线平行,同位角相等.
性质2:
两直线平行,内错角相等.
性质3:
两直线平行,同旁内角互补.
要点诠释:
(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”.
(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.
要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线
的距离.
要点诠释:
(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离.
(2)两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等.
要点三、尺规作图
1.定义:
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.
要点诠释:
(1)只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题.
(2)直尺必须没有刻度,无限长,且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上面画刻度.
(3)圆规可以开至无限宽,但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度.
2.八种基本作图(有些今后学到):
(1)作一条线段等于已知线段.
(2)作一个角等于已知角.
(3)作已知线段的垂直平分线.
(4)作已知角的角平分线.
(5)过一点作已知直线的垂线.
(6)已知一角、一边做等腰三角形.
(7)已知两角、一边做三角形.
(8)已知一角、两边做三角形.
【典型例题】
类型一、平行线的性质
1.(2015春•荣昌县期末)如图,已知射线AB与直线CD交于点O,OF平分∠BOC,OG⊥OF于O,AE∥OF,且∠A=30°.
(1)求∠DOF的度数;
(2)试说明OD平分∠AOG.
【思路点拨】
(1)根据两直线平行,同位角相等可得∠FOB=∠A=30°,再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°,然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解;
(2)先求出∠DOG=60°,再根据对顶角相等求出∠AOD=60°,然后根据角平分线的定义即可得解.
【答案与解析】
解:
(1)∵AE∥OF,
∴∠FOB=∠A=30°,
∵OF平分∠BOC,
∴∠COF=∠FOB=30°,
∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°;
(2)∵OF⊥OG,
∴∠FOG=90°,
∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°,
∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°,
∴∠AOD=∠DOG,
∴OD平分∠AOG.
【总结升华】本题考查了平行线的性质,对顶角相等的性质,垂线的定义,
(2)根据度数相等得到相等的角是关键.
举一反三:
【变式】(2015•青海)如图,直线a∥b,直线l与a相交于点P,与直线b相交于点Q,且PM垂直于l,若∠1=58°,则∠2= .
【答案】32°
类型二、两平行线间的距离
2.下面两条平行线之间的三个图形,图③的面积最大,图②的面积最小.
【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半;两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形,每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同,所以可以通过比较平行四边形的底的长短,得出平行四边形面积的大小.
【答案】图3,图2
【解析】
解:
因为它们的高相等,三角形的底是8,8÷2=4,梯形的上、下底之和除以2,(2+7)÷2=4.5;5>4.5>4;
所以,图3平行四边形的面积最大,图2三角形的面积最小.
【总结升华】根据平行线的性质,得出梯形、三角形、平行四边形的高相等,求出三角形底的一半,梯形上、下底之和的一半,与平行四边形的底进行比较,由此得出正确答案.
举一反三:
【变式】下图是一个方形螺线.已知相邻均为1厘米,则螺线总长度是厘米.
【答案】35
类型三、尺规作图
3.如图所示,已知∠
和∠
,利用尺规作∠AOB,使∠AOB=2(∠
-∠
).
【答案与解析】
作法:
如图所示.
(1)作∠COD=∠
;
(2)以射线OD为一边,在∠COD的外部作∠DOA,使∠DOA=∠
;
(3)以射线OC为一边,在∠COA的内部作∠COE,使∠COE=∠
;
(4)以射线OE为一边,在∠EOA内部作∠EOB,使∠EOB=∠
,则∠AOB就是所求作的角.
【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角,本题的做法有两种:
一种可以先做倍数角再做差角,如本题提供的答案;另一种也可以先做差角再做倍数角.
4.(苏州中考模拟)如图所示,在长为50m,宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2m的道路,余下的部分种植花草,求种植花草部分的面积.
【思路点拨】因种植花草部分比较分散,且有的是不规则的图形,所以直接求其面积较困难.因小路都是宽度相同的长方形,所以可想到把小路平移到一起,这样种植花草部分将汇集成一个长方形,问题便迎刃而解.
【答案与解析】
解:
如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘,则种植花草部分汇集成一个长方形,
显然,这个长方形的长是50-2=48(m),宽是22-2=20(m),于是种植花草部分的面积为48×20=960(m2).
【总结升华】若分步计算则较繁琐.但采用“平移”的手段从整体上把握,问题便迅速求解.
举一反三:
【变式】如图①,在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路,余下部分作为耕地.根据图中数据,可得耕地的面积为()
A.600m2B.551m2C.550m2D.500m2
【答案】B
类型四、平行的性质与判定综合应用
5.(黄冈调考)如图所示,AB∥CD,分别写出下面四个图形中∠A与∠P,∠C的数量关系,请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明.
【思路点拨】过P点作AB的平行线,问题便会迅速得到求解.
【答案与解析】
解:
(1)∠A+∠C=∠P;
(2)∠A+∠P+∠C=360°;
(3)∠A=∠P+∠C;(4)∠C=∠P+∠A.
现以(3)的结论加以证明如下:
如上图,过点P作PH∥AB,因为AB∥CD,所以PH∥AB∥CD.
所以∠HPA+∠A=180°,即∠HPA=180°-∠A;
∠HPA+∠P+∠C=180°,即180°-∠A+∠P+∠C=180°,也即∠A=∠P+∠C.
【总结升华】随着折点的不同,结论也会不同,但解法却如出一辙.都是过折点作平行线求解.
举一反三:
【变式1】如图,AB∥CD,∠ABG=42°,∠CDE=68°,∠DEF=26°.
求证:
BG∥EF.
【答案】如图,分别过点G、F、E作GP∥AB,FQ∥AB,ER∥CD,又因为AB∥CD,
所以AB∥GP∥FQ∥CD∥FQ.
∴∠1=42°,∠2=∠3,∠4=∠5,∠5+26°=68°,
∴∠5=68°-26°=42°,且∠4=∠5=42°.
∴∠1+∠2=42°+∠2;∠4+∠3=42°+∠3.
∴∠1+∠2=42°+∠3,即∠BGF=∠GFE.
∴BG∥EF.
【变式2】如图所示,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C是().
A.120°B.130°C.140°D.150°
【答案】D
平行线的性质及尺规作图(提高)巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1.若∠1和∠2是同旁内角,若∠1=45°,则∠2的度数是()
A.45°B.135°C.45°或135°D.不能确定
2.(2016•安徽模拟)如图AB∥CD,∠E=40°,∠A=110°,则∠C的度数为( )
A.60°B.80°C.75°D.70°
3.(湖北襄樊)如图所示,已知直线AB∥CD,BE平分∠ABC,交CD于D,∠CDE=
150°,则∠C的度数为()
A.150°B.130°C.120°D.100°
4.如图,OP∥QR∥ST,则下列等式中正确的是()
A.∠1+∠2-∠3=90°
B.∠2+∠3-∠1=180°
C.∠1-∠2+∠3=180°
D.∠1+∠2+∠3=180°
5.如图,AB∥CD∥EF,BC∥AD,AC平分∠BAD,且交EF于点O,则与∠AOE相等的角有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
6.(湖北潜江)如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°,则∠BCE等于( )
A.23°B.16°C.20°D.26°
7.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,把线段EF向右平移3个单位,向下平移1个单位得到线段GH,则阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是()
A.3:
4B.5:
8C.9:
16D.1:
2
二、填空题
8.(2016春•江苏月考)如图,BC∥DE,AD⊥DF,∠l=30°,∠2=50°,则∠A= .
9.如图所示,AB∥CD,若∠ABE=120°,∠DCE=35°,则有∠BEC=________.
10.(四川攀枝花)如图,直线l1∥l2,∠1=55°,∠2=65°,则∠3= .
11.一个人从点A出发向北偏东60°方向走了4m到点B,再向南偏西80°方向走了3m到点C,那么∠ABC的度数是________.
12.如图所示,过点P画直线a的平行线b的作法的依据是_.
13.如图,已知ED∥AC,DF∥AB,有以下命题:
①∠A=∠EDF;②∠1+∠2=180°;③∠A+∠B+∠C=180°;④∠1=∠3.其中,正确的是________.(填序号)
三、解答题
14.如图所示,AD⊥BC,EF⊥BC,∠3=∠C,则∠1和∠2什么关系?
并说明理由.
15.已知如图
(1),CE∥AB,所以∠1=∠A,∠2=∠B,∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.这是一个有用的事实,请用这个结论,在图
(2)的四边形ABCD内引一条和边平行的直线,求∠A+∠B+∠C+∠D的度数.
16.(2015春•澧县期末)已知如图,AB∥CD,试解决下列问题:
(1)∠1+∠2= ;
(2)∠1+∠2+∠3= ;
(3)∠1+∠2+∠3+∠4= ;
(4)试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= .
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D;
【解析】本题没有给出两条直线平行的条件,因此同旁内角的数量关系是不确定的.
2.【答案】D;
【解析】∵AB∥CD,
∴∠A+∠AFD=180°,
∵∠A=110°,
∴∠AFD=70°,
∴∠CFE=∠AFD=70°,
∵∠E=40°,
∴∠C=180°﹣∠E﹣∠CFE=180°﹣40°﹣70°=70°,故选D.
3.【答案】C;
【解析】解:
如图,
∠3=30°,∠1=∠2=30°,∠C=180°-30°-30°=120°.
4.【答案】B;
【解析】反向延长射线ST交PR于点M,则在△MSR中,
180°-∠2+180°-∠3+∠1=180°,即有∠2+∠3-∠1=180°.
5.【答案】A
【解析】与∠AOE相等的角有:
∠DCA,∠ACB,∠COF,∠CAB,∠DAC.
6.【答案】C;
【解析】解:
∵AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°,
∴∠BCD=∠ABC=46°,∠FEC+∠ECD=180°,
∴∠ECD=180°—∠FEC=26°,
∴∠BCE=∠BCD—∠ECD=46°—26°=20°.
7.【答案】B;
【解析】
,
,所以
.
二.填空题
8.【答案】70°;
【解析】∵AD⊥DF,∴∠ADF=90°.
∵∠1=30°,∴∠ADE=90°﹣30°=60°.
∵BC∥DE,∴∠ABC=∠ADE=60°,
∵△ABC中,∠ABC=60°,∠2=50°,
∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°.故答案为:
70°.
9.【答案】95°;
【解析】如图,过点E作EF∥AB.所以∠ABE+∠FEB=180°(两直线平行,同旁内角互补),所以∠FEB=180°-120°=60°.又因为AB∥CD,EF∥AB,所以EF∥CD,所以∠FEC=∠DCE=35°(两直线平行,内错角相等),所以∠BEC=∠FEB+∠FEC=60°+35°=95°.
10.【答案】60°;
【解析】解:
如图所示:
∵l1∥l2,∠2=65°,∴∠6=65°,∵∠1=55°,∴∠1=∠4=55°,在△ABC中,∠6=65°,∠4=55°,∴∠3=180°﹣65°﹣55°=60°.
11.【答案】20°;
【解析】根据题意画出示意图,可得:
∠ABC=80°-60°=20°.
12.【答案】内错角相等,两直线平行;
13.【答案】①②③④;
【解析】由已知可证出:
∠A=∠1=∠3=∠EDF,又∠EDF与∠1和∠3互补.
三.解答题
14.【解析】
解:
∠1=∠2.理由如下:
∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知),∴∠ADB=∠EFB=90°.
∴AD∥EF(同位角相等,两直线平行),
∴∠1=∠4(两直线平行,同位角相等).
又∵∠3=∠C(已知),
∴AC∥DG(同位角相等,两直线平行).
∴∠2=∠4(两直线平行,内错角相等),
∴∠1=∠2.
15.【解析】
解:
如图,过点D作DE∥AB交BC于点E.
∴∠A+∠2=180°,∠B+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵∠3=∠1+∠C,
∴∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=360°,
即∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°.
16.【解析】
解:
(1)∵AB∥CD,∴∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补);
(2)过点E作一条直线EF平行于AB,
∵AB∥CD,
∵AB∥EF,CD∥EF,
∴∠1+∠AEF=180°,∠FEC+∠3=180°,
∴∠1+∠2+∠3=360°;
(3)过点E、F作EG、FH平行于AB,
∵AB∥CD,
∵AB∥EG∥FH∥CD,
∴∠1+∠AEG=180°,∠GEF+∠EFH=180°,∠HFC+∠4=180°;
∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°;
(4)中,根据上述规律,显然作(n﹣2)条辅助线,运用(n﹣1)次两条直线平行,同旁内角互补.即可得到n个角的和是180°(n﹣1).
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