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四点共圆一复习课程
第二十四讲四点共圆
(一)
【知识要点】
四点共圆的判定方法:
1、若四个点到一定点的距离相等,则这四个点在同一个圆上(即这四点共圆)。
2、若一个四边形的一组对角的和等于180度,则这个四边形的四个顶点共圆。
3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角,则这个四边形的四个顶点共圆。
4、若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5、若AB、CD两线段相交于P点,且PAPBPCPD,则A、B、C、D四点共圆。
6、若AB、CD两线段延长后相交于P点,且PAPBPCPD,贝UA、B、C、D四点共圆。
7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积,则四边形的四个顶点共圆。
【典例精讲】
例1、锐角ABC的三条高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、H七个点中•能组成四点共圆的组数是()
A、4组B、5组C、6组D、7组
例2、如图,A、B、C、D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且ECED。
(1)证明:
CD//AB;
(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EFEG,证明:
A、B、G、F四点共圆•
例3、如图,在梯形ABCD中,AD//BC,点E,F分别在边AB,CD上,设ED与AF相交于点G,若B,C,F,E四点共圆,求证:
AGGFDGGE.
例4、已知点A(2,0),B(3,5),直线|过点B与y轴交于点C(0,c),若0、A、B、C四点共圆,贝Uc的
22
28
5
、17
D、无法求出
值为()
例5、在圆内接等腰三角形ABC的底边BC上任取二点D、E,延长AD、AE分别交圆于F、G,
求证:
ADAFAEAG.
例6、如图,D,E分别是AB,AC边上的点,且不与顶点重合,已知AEm,ACn,AD,AB为方
程x214xmn0的两根.
(1)证明:
C,B,D,E四点共圆;
(2)若A90,m4,n6,求C,B,D,E四点所在圆的半径.
例7、如图,AB为圆O的直径,CD为垂直于AB的一条弦,垂足为E,弦BM与CD交于点F•
例8、如图,在平行四边形ABCD中,
BAD为钝角,且AEBC,AF
CD.
(1)求证:
A、E、C、F四点共圆;
(2)设线段BD与
(1)中的圆交于M、N•求证:
BMND.
(1)证明:
A、E、F、M四点共圆;
(2)证明:
AC2BFBMAB2.
例10、A、B、C三点共线,O点在直线外,O,,O2,03分别为0AB,OBC,OCA的外心•求证:
0,Oi,02,O3四点共圆.
例11、如图,在ABC中,AD,BE分别是A,B的角平分线,O是AD与BE的交点,若C,D,O,E四点共圆,DE3,贝UODE的内切圆半径为多少?
例12、如图,点F是ABC外接圆弧BC的中点,点
D、E在边AC上,使得AD
AB,BEEC。
证明:
B、E、D、F四点共圆.
例13、如图,AHAC,EBBC,AEAK,BHBM•
(1)求证:
E、H、M、K四点共圆;
(2)若KEEH,CE3求线段KM的长.
CE,又点0是ADF的
例14、在ABC的边AB,BC,CA上分别取D,E,F•使得DEBE,FE外心.
(1)证明:
D,E,F,O四点共圆;
(2)证明:
0在DEF的平分线上.
0
D
F
例15、如图,CD为ABC外接圆的切线,
AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上
的点,且BCAE
DCAF,B、E、F、C四点共圆.
(1)证明:
CA是ABC外接圆的直径;
(2)若DBBE
EA,求过B、E、
F、C的圆的面积与
ABC外接圆面积的比值.
ABC的内心为D,过点A作直线BD的垂线,垂足为
D,F,E四点共圆;
(2)若C50,求DEF
例17、如图,在正
11
ABC中,点D,E分别在边BC、AC上,且BDBC,CECA,AD,BE相33
交于点P,求证:
(1)P,D,C,E四点共圆;
(2)APCP.
【强化训练】
1、如图,AB是OO的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F•
求证:
(1)BEDEACCECE2;
(2)E,F,C,B四点共圆.
2、如图,已知AP是OO的切线,P为切点,AC是OO的割线,与OO交于B,C两点,圆心O在PAC的内部,点M是BC的中点.
(1)证明A,P,O,M四点共圆;
(2)求OAMAPM的大小.
4、如图,已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H,B60,F在AC上,
且AEAF•
(1)证明:
B,D,H,E四点共圆;
(2)证明:
CE平分DEF•
5、如图,已知BA是OO的直径,AD是OO的切线,割线BD、BF分别交OO于C、E,连接AE、CE•求证:
BEBFBCBD•
D
6、如图,O
O与OP相父于A、B两点,圆心P在OO上,O
O的弦BC切O
P于点B,CP及其延长线交
OP于D,
E两点,过点E作EFCE,交CB的延长线于点
F•
(1)求证:
B、P、E、F四点共圆;
(2)若CD2,CB22,求出由四点B、P、E、F所确定圆的直径.
7、如图所示,已知PA切圆0于A,割线PBC交圆0于B、C,PD于点E,连接CE并延长交圆0于点F,连接AF.
AB于D,PD与A0的延长线相交
-时,求圆0的半径.
3
(1)求证:
B,C,E,D四点共圆;
(2)当AB12,tanEAF
8、如图,ABC是直角三角形,ABC90•以AB为直径的圆0交AC于点E点D是BC边的中点,连0D
交圆0于点M
(1)求证:
0,B,D,E四点共圆;
(2)求证:
2DE2DMACDMAB.
9、如图所示,在RtABC中,ACB90,点0为三角形外的一点,以0为圆心,0C为半径的圆与边AB相切,切点为E,圆0与边BC相交于D点,直径EF与边BC交于G点,连接AG•求证:
AG//ED.
10、如图,在AGF中,AGF是直角,B是线段AG上一点,以AB为直径的半圆交AF于D,连接DG交半圆于点C,延长AC交FG于E•
(1)求证D、C、E、F四点共圆;
(2)若GE3,求2GA的值.
GB2GF
11、如图所示,AB是OO的直径,G为AB延长线上的一点,GCD是OO的割线,过点G作AB的垂线,交AC的延长线于点E,交AD的延长线于点F,过G作OO的切线,切点为H•
求证:
(1)C,D,F,E四点共圆;
(2)GH2GEGF•
A
P
O
B
C
D
A
D
C
P
B
A
F
E
12、如图,已知PA与OO相切于点A,PBC为OO的割线,弦CD//AP,AD与BC相交于点E,F为CE
.2
14、如图,AD、BE、CF是ABC的三条高,H是垂心,求证:
BHBECHCFBC2.
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