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5.二次函数与一元二次方程的关系
6.二次函数的实际应用
二.知识要点:
二次函数是初中数学中最精彩的内容之一,也是历年中考的热点和难点。
其中,关于函数解析式的确定是非常重要的题型。
目前的中考正面临新课程改革,教材的内容和学习要求变化较大,其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求,那么二次函数与图形变化的结合,将是同学们在学习中不可忽视的内容,目的是考查学生分析和理解问题的能力。
①一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0),那么y叫做x的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.
②当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
解法三(设顶点式):
解设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k的形式,由点(1,0),(3,0)可知,抛物线的对称轴为x=2,即抛物线顶点横坐标为2,即可设y=a(x-2)2+k,然后把点(0,3)和点(1,0),(3,0)中的任意一点代入解析式y=a(x-2)2+k,解方程组,即可求出a和k的值,从而确定出该抛物线的解析式。
比较三种方法,此题设交点式最为简便。
一变:
已知抛物线y=ax2+bx+c经过(0,3)点,且方程ax2+bx+c=0的两根分别为1和3,求该抛物线的解析式
二变:
已知抛物线经过(1,0),(0,3)两点,对称轴为x=2,求该抛物线的解析式。
三变:
已知抛物线经过(0,3)点,顶点坐标为(2,-1),求该抛物线的解析式。
四变:
已知抛物线对称轴为x=2,最小值是-1,与y轴交点的纵坐标为3,求该抛物线的解析式。
以上变式训练,一是要同学们能够根据题目不同的表达方式,了解到它们本质的相同点,比如抛物线与x轴交点坐标与一元二次方程的根的关系;
抛物线对称轴、最值与顶点坐标的关系。
二是让同学们能够掌握二次函数解析式的三种表达形式,并能通过分析比较灵活选取最恰当的设法,从而使运算变得更简便快捷。
总结:
(1)学会对实际问题的情境进行分析,从而确定二次函数的表达式.
(2)在确定二次函数表达式时,一般采用待定系数法,当选用顶点式或两根式求二次函数表达式时,结果一般都要化为一般式.
抛物线的平移主要是移动顶点的位置,将y=ax2沿着y轴(上“+”,下“-”)平移k(k>
0)个单位得到函数y=ax2±
k,将y=ax2沿着x轴(右“-”,左“+”)平移h(h>
0)个单位得到y=a(x±
h)2.在平移之前先将函数解析式化为顶点式,再来平移,若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减(上加下减),若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减(右减左加),解决平移问题的最好的方法是用顶点式的方法。
因此解题时,先将二次函数解析式化为顶点式,确定其顶点坐标,再根据具体图形变换的特点,确定变化后新的顶点坐标及a值。
例题2、已知:
二次函数为y=x2-x+m,
(1)写出它的图像的开口方向,对称轴及顶点坐标;
(2)m为何值时,顶点在x轴上方;
(3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB=4时,求此二次函数的解析式.
分析:
(1)用配方法可以达到目的;
(2)顶点在x轴的上方,即顶点的纵坐标为正;
(3)AB∥x轴,A,B两点的纵坐标是相等的,从而可求出m的值.
解答:
(1)∵由已知y=x2-x+m中,二次项系数a=1>
0,∴开口向上,
例题3、已知:
m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<
n,抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0),B(0,n),如图所示。
(1)试判断哪个二次函数的图像经过A,B两点;
(2)若A点坐标为(-1,0),试求B点坐标;
(3)在
(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?
(1)抛物线与x轴的交点问题,首先将抛物线转化为一元二次方程,求方程两个根。
(2)A点在函数上,一定将A点坐标代入函数关系式,求出未知数m。
(3)判断函数的增减性,考虑函数的性质,与对称轴方程比较。
此时,点B的坐标是B(3,0).
(3)当m=0时,二次函数为y=x2-1,此函数的图像开口向上,对称轴为x=0,
所以当x<
0时,函数值y随x的增大而减小.
当m=2时,二次函数为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,此函数的图像开口向上,对称轴为x=1,所以当x<
1时,函数值y随x的增大而减小.
点评:
本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题,但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系,抓住问题的实质,灵活运用所学知识,这类综合题并不难解决。
例题5、我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。
如图,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2。
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?
试试看;
(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.
(1)求抛物线解析式用待定系数法,确定函数图像上的三点坐标,用一般式或交点式求解析式。
(2)圆的切线解析式为一次函数,可以求出两点坐标,再代入。
(3)“蛋圆”切线的解析式,根据定义,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,可以由两函数的交点是两函数组成方程组,再转化为一元二次方程,令△=0求解。
这道题是典型的数形结合的题型,根据几何图形的直观性,解决抽象的代数问题.使解答简捷、灵活、流畅,体现了数形结合之优越,激发了学生兴趣,增强了用数形结合思想指导解题的意向。
小结:
数形结合的思想是很重要的数学思想,也是分析问题、解决问题的有力工具。
在今后的学习中,我们要逐步加深对它的理解,并且要学会这种解决问题的方法。
它的好处是直观、形象、帮你找到解决问题的捷径。
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