第2讲空间中位置关系的判断与证明问题.docx
- 文档编号:7466856
- 上传时间:2023-05-11
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:142.54KB
第2讲空间中位置关系的判断与证明问题.docx
《第2讲空间中位置关系的判断与证明问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第2讲空间中位置关系的判断与证明问题.docx(17页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
第2讲空间中位置关系的判断与证明问题
第2讲空间中位置关系的判断与证明
问题
高考定位1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断,主要以选择、填空题的形式,题目难度较小;2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明,并常与几何体的表面积、体积相渗透•
明考向曲要点
真题感悟
1.(2017全国I卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,
N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是
解析法一对于选项B,如图
(1)所示,
连接CD,因为AB//CD,M,Q分别
是所在棱的中点,所以MQ//CD,所以AB/MQ,又AB?
平面MNQ,MQ?
平面
MNQ,所以AB//平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB//平面MNQ.因此A项不正确.
图
(1)
法二对于选项A,其中O为BC的中点(如图⑵所示),连接OQ,贝UOQ//AB,因为0Q与平面MNQ有交点,所以AB与平面MNQ有交点,即AB与平面MNQ不平行.A项不正确.
答案A
2.(2016全国U卷)a,B是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
1如果m±n,mlan//B,那么a丄3
2如果mlan//a那么mln.
3如果allBm?
a,那么m//B
4如果m//n,allB,那么m与a所成的角和n与B所成的角相等.
其中正确的命题有填写所有正确命题的编号).
解析当mln,m丄a,n//B时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④均正确,故正确答案为②③④.
答案②③④
3.(2016全国I卷)平面a过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,a//平面CB1D1,
aG平面ABCD=m,aG平面ABB1A1=n,贝Um,n所成角的正弦值为()
解析如图所示,设平面CB1D1G平面ABCD=m1,因为all平面CB1D1,所以
m1//m,
又平面ABCD//平面A1B1C1D1,且平面B1D1CG平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1//m1,故B1D1//m.
因为平面ABB1A1//平面DCC1D1,且平面CB1D1G平面DCC1D1=CD1,
同理可证CD1//n.
故m,n所成角即直线B1D1与CD1所成角,在正方体ABCD—AiBiCiDi中,△CBiDi是正三角形,故直线BiDi与CDi所成角为60°其正弦值为粤.
答案A
4.(20i7全国I卷)如图,在四棱锥P—ABCD中,AB//CD,且/BAP=ZCDP
=90°.
冲a
⑴证明:
平面FAB丄平面
PAD;
8
(2)若PA=PD=AB=DC,/APD=90°且四棱锥P—ABCD的体积为3,求该四
棱锥的侧面积.
(i)证明vZBAP=ZCDP=90°二AB丄PA,CD丄PD.
•••AB/CD,二AB丄PD.
又vFAPPD=P,FA,PD?
平面FAD,二AB丄平面PAD.
vAB?
平面PAB,a平面PAB丄平面PAD.
⑵解取AD的中点E,
连接PE.
vPA=PD,二PE丄AD.
由⑴知,AB丄平面PAD,
故AB丄PE,AB丄AD,可得PE丄平面ABCD.
设AB=x,则由已知可得AD=.2x,PE=送x,
故四棱锥P—ABCD的体积
ii3
Vp-ABCD=3ABADPE=3X.
由题设得fx3=8,故x=2.
从而PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=22,PB=PC=22,
可得四棱锥P-ABCD的侧面积为
444d
2FAPD+2FAAB+qPDDC+尹C2sin60=6+2羽.
考点整合
1•直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理:
a?
a,b?
a,a//b?
a//a.
(2)线面平行的性质定理:
a//a,a?
B,anp=b?
a/b.
(3)面面平行的判定定理:
a?
p,b?
p,anb=P,a/a,b/a?
a//p.
(4)面面平行的性质定理:
allp,an尸a,pny=b?
a/b.
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理:
m?
a,n?
a,mnn=P,I丄m,I丄n?
I丄a.
(2)线面垂直的性质定理:
a丄a,b±a?
alb.
(3)面面垂直的判定定理:
a?
p,a丄a?
a±p.
(4)面面垂直的性质定理:
a丄p,anp=l,a?
a,a丄l?
a丄p.
烈点聚焦丨题型突破I.研魅点.门折角度:
.
热点一空间点、线、面位置关系的判定
【例1】(2017成都诊断)已知m,n是空间中两条不同的直线,a,p是两个不同的平面,且m?
a,n?
p.有下列命题:
①若
allp,贝Um//n;
②若
allp,则m//p;
③若
anp=l,且mXl,
n丄l,贝U
aXp;
④若
anp=l,且m丄l,
m丄n,则
a丄p.
其中真命题的个数是(
)
A.0B.1
C.2D.3
解析①若allp,则m//n或m,n异面,不正确;
2若allp,根据平面与平面平行的性质,可得m//p,正确;
3若anp=l,且mlI,n丄l,贝Ua与p不一定垂直,不正确;
4若anp=l,且mll,mln,l与n不一定相交,不能推出alp,不正确.答案B
探究提高判断与空间位置关系有关的命题真假的方法
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断•
(2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行肯定或否定.
(3)借助于反证法,当从正面入手较难时,可利用反证法,推出与题设或公认的结论相矛盾的命题,进而作出判断.
【训练1】(2017广东省际名校联考)已知a,B为平面,a,b,c为直线,下列命题正确的是()
A.a?
a,若b//a」b//a
B.a丄B,aAc,bXc,贝UbXB
C.a丄b,bXc,贝Ua//c
D.aAb=A,a?
a,b?
a,a/B,b/B,贝UallB解析选项A中,b?
a或bla不正确.
B中b与B可能斜交,B错误.
C中a//c,a与c异面,或a与c相交,C错误.
利用面面平行的判定定理,易知D正确.
答案D
热点二空间平行、垂直关系的证明
[例2】如图,在四棱锥P—ABCD中,AB//CD,ABXAD,CD=2AB,平面FAD丄底面ABCD,PAXAD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PAX底面ABCD;
(2)BE//平面FAD;
(3)平面BEF丄平面PCD.
证明
(1):
平面PADX底面ABCD,
且PA垂直于这两个平面的交线AD,PA?
平面PAD,•••PA丄底面ABCD.
(2)vAB//CD,CD=2AB,E为CD的中点,
•AB//DE,且AB=DE.
•四边形ABED为平行四边形.
•BE//AD.
又•••BE?
平面PAD,AD?
平面PAD,
•BE//平面PAD.
⑶tAB丄AD,而且ABED为平行四边形.
•BE丄CD,AD丄CD,
由⑴知FA丄底面ABCD.
•PA丄CD,且PAAAD=A,PA,AD?
平面PAD,
•CD丄平面PAD,又PD?
平面PAD,
•CD丄PD.
tE和F分别是CD和PC的中点,
•PD//EF.
•CD丄EF,又BE丄CD且EFABE=E,
•CD丄平面BEF,又CD?
平面PCD,
•平面BEF丄平面PCD.
【迁移探究1】在本例条件下,证明平面BEF丄平面ABCD.
证明如图,连接AC,设ACABE=O,连接FO,AE.
c
1tAB//CD,AB丄AD,CD=2AB,CE=qCD,
•AB綉CE.
•四边形ABCE为平行四边形.
1
•O为AC的中点,贝UFO綉2PA,又PA丄平面ABCD,
•••F0丄平面ABCD.又FO?
平面BEF,
•••平面BEF丄平面ABCD.
【迁移探究2】在本例条件下,若AB=BC,求证:
BE丄平面PAC.
证明连接AC,ACABE=0.
AB//CD,CD=2AB,且E为CD的中点.
•••AB綉CE.
又•••AB=BC,
•••四边形ABCE为菱形,二BE丄AC.
又•••PA丄平面ABCD,又BE?
平面ABCD,
•••PA丄BE,又PAAAC=A,FA,AC?
平面PAC,
•••BE丄平面PAC.
探究提高垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型•
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行•
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直
热点三平面图形中的折叠问题
【例3】(2016全国U卷)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点
E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折至DEF的位置.
(1)证明:
AC丄HD';
(2)若AB=5,AC=6,AE=4,OD=22,求五棱锥D-ABCFE的体积.
(1)证明由已知得AC丄BD,AD=CD,又由AE=CF得CD,故AC/EF,
由此得EF丄HD,故EF丄HD;所以AC丄HD;
OHae1
⑵解由ef//ac得do=ad=4.
由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2—AO2=4,所以OH=1,D'H=DH=3,
于是OD'+OH2=(22)2+12=9=DH2,
故OD'丄OH.
由
(1)知AC丄HD',又AC丄BD,BDAHD=H,
所以AC丄平面BHD',于是AC丄OD',
又由OD'丄OH,ACnOH=O,
所以OD'丄平面ABC.
11969
五边形ABCFE的面积S=2X6x8—qXqX3=才.
所以五棱锥D—ABCFE的体积V=3X69x22=
探究提高1.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.一般地翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化,不在同一个平面上的图形的性质发生变化•
2.在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分
析折叠前的图形,善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解
【训练3】(2017成都诊断)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,BD与EF交于点H,点G,R分别在线段DH,HB上,且晋=将厶AED,^CFD,△BEF分别沿DE,DF,EF折起,使点A,B,C重合于点P,如图2所示.
WF
(1)求证:
GR丄平面PEF;
(2)若正方形ABCD的边长为4,求三棱锥P-DEF的内切球的半径.
(1)证明在正方形ABCD中,/A,ZB,ZC为直角.
•••在三棱锥P-DEF中,PE,PF,PD两两垂直.
又PEGPF=P,aPD丄平面PEF.
DGBRDGPR
•/——=——即——=——
GHRH即GHRH'
PDH中,RG//PD.
•GR丄平面PEF.
(2)解正方形ABCD边长为4.
由题意知,PE=PF=2,PD=4,EF=22,DF=25.
•PEF=2,dpf=Smpe=4.
Sadef=2x2,2X(2.5)2-C2)2=6.
设三棱锥P-DEF内切球的半径为r,
1
则三棱锥的体积为PDSaPEF
=pef+2S\dpf+Sadef)•,解得r=舟.
1
•三棱锥P-DEF的内切球的半径为^.
归纳总结思维升华丨罰念氛氐龛慕舊|.諱.環握规建畳舊肪塢送墜j
1•空间中点、线、面的位置关系的判定
(1)可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例.
(2)可以借助长方体,在
理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面的位置关系的定义
2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下:
(1)证明线线平行常用的方法:
一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直
线平行;二是利用平行四边形进行平行转换:
三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换
⑵证明线线垂直常用的方法:
①利用等腰三角形底边中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:
即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,I丄aa?
a?
I丄a.
3•解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与
“量”,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等•
I专題训练对接高考I.......|.....
一、选择题
1.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面a,B交于直线I.若直线m,n满足m//a,n丄B,
则()
A.m/IB.m//n
C.n丄ID.m丄n
解析由已知,aGI,「•I?
B,又tn丄B,n丄I,C正确.故选C.
答案C
2.(2017全国川卷)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,贝U()
A.AiE丄DC1B.A1E丄BD
DAE丄AC
解析如图,由题设知,
CAE丄BC1
又BQ丄BC1,且A1B1GB1C=B1,所以BC1丄平面A1B1CD,又A1E?
平面A1B1CD,所以A1E丄BC1.
答案C
3.(2017梅州质检)已知a,B是两个不同的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是()
A.若m//a,aGn,贝Um/n
B.若m丄a,n丄m,贝Un//a
C.若m±a,n丄B,a丄B,贝Um±n
D.若a丄B,aGB=n,mln,贝Um±B
解析对于A,m//a,aGB=n,则m//n或m,n异面,故A错误;对于B,若mla,n丄m,则n//a或n?
a,故B错误;对于C,若n丄B,a丄B,则n//a或n?
a,又m丄a,•••m±n,故C正确;对于D,若a±B,aGB=n,mln,则m可能与B相交,也可能与B平行,也可能在B内,故D错误•故选C.
答案C
4.如图,在三棱锥D—ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是()
A.平面ABC丄平面ABD
B.平面ABD丄平面BDC
C.平面ABC丄平面BDE,且平面ADC丄平面BDE
D.平面ABC丄平面ADC,且平面ADC丄平面BDE
解析因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE丄AC,同理有DE丄AC,又BEGDE=E,于是AC丄平面BDE.因为AC?
平面ABC,所以平面ABC丄平面BDE.又AC?
平面ACD,所以平面ACD丄平面BDE,所以选C.
答案C
5.(2017石家庄质检)设m,n是两条不同的直线,a,B,丫是三个不同的平面,给出下列四个命题:
1若m?
a,n//a,贝Um//n;
2若allB,ym±a,贝Um±y
3若aGn,m//n,m//a贝Um//B
4若a丄y肚y贝UallB
其中真命题的个数是()
A.0B.1
C.2D.3
解析①m//n或m,n异面,故①错误;易知②正确;③m//B或m?
B,故③错误;④a//B或a与B相交,故④错误.
答案B
二、填空题
6.如图,在空间四边形ABCD中,点M€AB,点N€AD,若MB=ND,则直线
解析由AD,得MN〃BD.
而BD?
平面BDC,MN?
平面BDC,
所以MN//平面BDC.
答案平行
7.正方体ABCD-AiB1C1D1中,E为线段BiDi上的一个动点,则下列结论中正确
的是填序号).
1AC丄BE;
2BiE//平面ABCD;
3三棱锥E-ABC的体积为定值;
4直线BiE丄直线BCi.
解析因AC丄平面BDDiBi,故①正确;因BiDi//平面ABCD,故②正确;记
i
正方体的体积为V,则Ve-abc=6V,为定值,故③正确;BiE与BCi不垂直,故④错误.
答案①②③
8.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD=AB,ZBCD=45°/BAD=90°
将厶ADB沿BD折起,使平面ABD丄平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的命题序号是.
①平面ABD丄平面ABC②平面ADC丄平面BDC
③平面ABC丄平面BDC④平面ADC丄平面ABC
解析因为在四边形ABCD中,AD//BC,AD=AB,
/BCD=45°/BAD=90°所以BD丄CD,
又平面ABD丄平面BCD,且平面ABDA平面BCD=BD,CD?
平面BCD,
所以CD丄平面ABD,又AB?
平面ABD,贝UCD丄AB,
又AD丄AB,ADACD=D,
所以AB丄平面ADC,又AB?
平面ABC,
所以平面ABC丄平面ADC.
答案④
三、解答题
9.(2017江苏卷)如图,在三棱锥A-BCD中,AB丄AD,BC丄BD,平面ABD丄平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF丄AD.
求证:
(1)EF//平面ABC;
(2)AD丄AC.
证明
(1)在平面ABD内,AB丄AD,EF丄AD,
贝UAB//EF.
•••AB?
平面ABC,EF?
平面ABC,
•••EF//平面ABC.
(2)vBC丄BD,平面ABDA平面BCD=BD,平面ABD丄平面BCD,BC?
平面
BCD,
•••BC丄平面ABD.
•••AD?
平面ABD,二BC丄AD.
又AB丄AD,BC,AB?
平面ABC,BCAAB=B,
•••AD丄平面ABC,
又因为AC?
平面ABC,:
AD丄AC.
10.(2016全国川卷)如图,四棱锥P-ABCD中,PA丄底面ABCD,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
⑴证明:
MN//平面PAB;
⑵求四面体NBCM的体积.
2
(1)证明由已知得AM=3AD=2.
1
如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN//BC,TN=?
BC=
2.
又AD//BC,故TN綉AM,
所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN//AT.
因为AT?
平面FAB,MN?
平面PAB,
所以MN//平面PAB.
⑵解因为PA丄平面ABCD,N为PC的中点,
1
所以N到平面ABCD的距离为2PA.
如图,取BC的中点E,连接AE.
由AB=AC=3得AE丄BC,AE=AB2-BE2=5.
由AM//BC得M到BC的距离为,5,
1
故S^BCM4X5=25.
11.(2017石家庄模拟)在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形
ABCD为等腰梯形,AB//CD,AC_3,AB_2BC_2,AC丄FB.
⑴求证:
AC丄平面FBC.
⑵求四面体FBCD的体积.
⑶线段AC上是否存在点M,使EA//平面FDM?
若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
⑴证明在厶ABC中,
因为AC=3,AB=2,BC=1,所以AC2+BC2=AB2,
所以AC丄BC.
又因为AC丄FB,BCGFB=B,BC,FB?
平面FBC,
所以AC丄平面FBC.
⑵解因为AC丄平面FBC,FC?
平面FBC,所以AC丄FC.
因为CD丄FC,ACACD=C,所以FC丄平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CB=DC=1,所以FC=1.所以△BCD的面积为S^3.
4
⑶解线段AC上存在点M,且点M为AC中点时,有EA//平面FDM.证明如
下:
连接CE,与DF交于点N,取AC的中点M,连接MN.
因为四边形CDEF是正方形,所以点N为CE的中点.
所以EA//MN.因为MN?
平面FDM,EA?
平面FDM,
所以EA//平面FDM.
所以线段AC上存在点M,且M为AC的中点,使得EA//平面FDM成立.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 空间 位置 关系 判断 证明 问题
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)