高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第十二章复数文档格式.docx
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②结合律:
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)(1±
i)2=±
2i,=i,=-i.
(2)-b+ai=i(a+bi).
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);
i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
(4)z·
=|z|2=||2,|z1·
z2|=|z1|·
|z2|,=,|zn|=|z|n.
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)方程x2+x+1=0没有解.( )
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( )
(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( )
(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√ (5)√
(二)选一选
1.(2018·
全国卷Ⅱ)=( )
A.--i B.-+i
C.--iD.-+i
解析:
选D ===-+i.
2.设(1-i)x=1+yi,其中x,y是实数,则x+yi在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
选D ∵(1-i)x=1+yi⇒x-xi=1+yi⇒(x-1)-(x+y)i=0⇒⇒
∴x+yi=1-i,其在复平面内所对应的点为(1,-1),在第四象限,故选D.
3.若复数z=+1为纯虚数,则实数a=( )
A.-2B.-1
C.1D.2
选A 因为复数z=+1=+1=+1-i为纯虚数,
所以+1=0,且-≠0,解得a=-2.故选A.
(三)填一填
4.已知复数z=|(-i)i|+i5(i为虚数单位),则复数z的共轭复数是________.
由题意知z=|i+1|+i=+i=2+i,则=2-i.
2-i
5.设复数z1=2-i,z2=a+2i(i是虚数单位,a∈R),若z1z2∈R,则a=________.
依题意,复数z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数,因此4-a=0,a=4.
4
[典例]
(1)(2017·
山东高考)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=( )
A.-2i B.2i
C.-2D.2
(2)(2019·
山东师大附中模拟)计算:
=( )
A.2B.-2
C.2iD.-2i
[解析]
(1)∵zi=1+i,
∴z==+1=1-i.
∴z2=(1-i)2=1+i2-2i=-2i.
(2)===2,故选A.
[答案]
(1)A
(2)A
[解题技法] 复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数,即分母实数化,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
[题组训练]
1.(2019·
合肥质检)已知i为虚数单位,则=( )
A.5B.5i
选A 法一:
==5,故选A.
法二:
===5,故选A.
2.(2018·
济南外国语学校模块考试)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z等于( )
A.1+iB.1-i
C.-1+iD.-1-i
选D 由题意,得z===-1-i,故选D.
3.已知复数z=,则复数z=________.
因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i+i2+i3+i4=0,
而2018=4×
504+2,
所以z======i.
i
[典例]
(1)(2019·
湘东五校联考)已知i为虚数单位,若复数z=+i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,则a=( )
A.-5 B.-1
C.-D.-
(2)(2018·
全国卷Ⅰ)设z=+2i,则|z|=( )
A.0 B.
C.1D.
[解析]
(1)z=+i=+i=+i,∵复数z=+i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,∴-=,解得a=-.故选D.
(2)∵z=+2i=+2i=+2i=i,
∴|z|=1.故选C.
[答案]
(1)D
(2)C
[解题技法] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题
(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数,只需将此复数整理成标准的代数形式,实部不变,虚部变为相反数,即得原复数的共轭复数.复数z1=a+bi与z2=c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
[题组训练]
山西八校第一次联考)已知a,b∈R,i为虚数单位,若3-4i3=,则a+b等于( )
A.-9B.5
C.13D.9
选A 由3-4i3=,得3+4i=,即(a+i)(3+4i)=2-bi,(3a-4)+(4a+3)i=2-bi,则解得故a+b=-9.故选A.
2.(2019·
贵阳适应性考试)设是复数z的共轭复数,满足=,则|z|=( )
A.2B.2
C.D.
选B 法一:
由===2+2i,
得|z|=||==2,故选B.
由模的性质,得|z|=||====2.故选B.
3.若复数z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数(i为虚数单位),则实数a的值是________.
由于z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,因此a2-a-2=0且a+1≠0,解得a=2.
2
[典例]
(1)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,若zz2=z1,则z的共轭复数=( )
A.+i B.-i
C.-+iD.--i
(2)复数z=4i2018-(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在( )
[解析]
(1)由题意知z1=1+2i,z2=-1+i,故z(-1+i)=1+2i,
即z====-i,=+i,故选A.
(2)z=4i2018-=4×
i2016·
i2-=-4-=-6-i,
故z在复平面内对应的点在第三象限.
[答案]
(1)A
(2)C
[解题技法] 对复数几何意义的再理解
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.
安徽知名示范高中联考)已知复数z满足(2-i)z=i+i2,则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
选B z=====-+i,则复数z在复平面内对应的点为,该点位于第二象限.故选B.
2.若复数z满足|z-i|≤(i为虚数单位),则z在复平面内所对应的图形的面积为________.
设z=x+yi(x,y∈R),由|z-i|≤得|x+(y-1)i|≤,所以≤,
所以x2+(y-1)2≤2,所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心,以为半径的圆及其内部,它的面积为2π.
2π
3.已知复数z=,其中a为整数,且z在复平面内对应的点在第四象限,则a的最大值为________.
因为z===,
所以z在复平面内对应的点为,
所以解得-1<a<4,
又a为整数,所以a的最大值为3.
3
广州五校联考)=( )
A.-1-i B.1+i
C.-1+iD.1-i
选C ====-1+i,选C.
洛阳第一次统考)已知a∈R,i为虚数单位,若为纯虚数,则a的值为( )
A.-1B.0
选C ∵==-i为纯虚数,∴=0且≠0,解得a=1,故选C.
3.(2018·
甘肃诊断性考试)如图所示,向量,所对应的复数分别为z1,z2,则z1·
z2=( )
A.4+2iB.2+i
C.2+2iD.3+i
选A 由图可知,z1=1+i,z2=3-i,则z1·
z2=(1+i)(3-i)=4+2i,故选A.
4.若复数z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虚数单位,则复数(z1-z2)i的实部为( )
A.-20B.-2
C.4D.6
选A 因为(z1-z2)i=(-2+20i)i=-20-2i,所以复数(z1-z2)i的实部为-20.
5.(2019·
太原模拟)若复数z=在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,1)B.(-1,0)
C.(1,+∞)D.(-∞,-1)
因为z===+i在复平面内对应的点为,且在第四象限,所以解得-1<
m<
1,故选A.
当m=0时,z===-i,在复平面内对应的点在第四象限,所以排除选项B、C、D,故选A.
6.(2018·
昆明高三摸底)设复数z满足(1+i)z=i,则z的共轭复数=( )
A.+iB.-i
∵(1+i)z=i,∴z====+i,
∴复数z的共轭复数=-i,故选B.
∵(1+i)z=i,∴z=====+i,
法三:
设z=a+bi(a,b∈R),∵(1+i)z=i,∴(1+i)(a+bi)=i,∴(a-b)+(a+b)i=i,由复数相等的条件得解得a=b=,∴z=+i,∴复数z的共轭复数=-i,故选B.
7.设复数z满足i(z+1)=-3+2i(i是虚数单位),则复数z对应的点位于复平面内( )
选A 由i(z+1)=-3+2i,得z=-1=-1=2+3i-1=1+3i,它在复平面内对应的点为(1,3),位于第一象限.
8.已知复数z=,z·
=1,则正数m的值为( )
A.B.2
z===+i,=-i,z·
==1,则正数m=,故选A.
由题意知|z|==,由z·
=|z|2,得=1,则正数m=,故选A.
9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为________.
因为(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,
所以解得所以=2.
10.复数|1+i|+2=________.
原式=+=+=+i-=i.
11.(2019·
重庆调研)已知i为虚数单位,复数z=,复数|z|=________.
法一:
因为z====1+i,所以|z|==.
|z|====.
12.已知复数z=,是z的共轭复数,则z·
=________.
∵z==
==
==-+i,
∴z·
=|z|2=+=.
13.计算:
(1);
(2);
(3)+;
(4).
解:
(1)==-1-3i.
(2)====+i.
(3)+=+=+=-1.
(4)====--i.
第二节
算法与程序框图
1.算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.
(2)应用:
算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题.
2.程序框图
程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.
3.三种基本逻辑结构
(1)顺序结构
定义
由若干个依次执行的步骤组成
程序框图
(2)条件结构
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向,条件结构就是处理这种过程的结构
(3)循环结构
从算法某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤,反复执行的步骤称为循环体
直到型循环结构
先循环,后判断,条件满足时终止循环.
当型循环结构
先判断,后循环,条件满足时执行循环.
三种基本逻辑结构的适用情境
(1)顺序结构:
要解决的问题不需要分类讨论.
(2)条件结构:
要解决的问题需要分类讨论.
(3)循环结构:
要解决的问题要进行许多重复的步骤,且这些步骤之间有相同的规律.
二、基础小题强化——功底牢一点
(1)算法的每一步都有确定的意义,且可以无限地运算.( )
(2)一个程序框图一定包含顺序结构,也包含条件结构和循环结构.( )
(3)一个循环结构一定包含条件结构.( )
(4)当型循环是给定条件不成立时,执行循环体,反复进行,直到条件成立为止.( )
(3)√ (4)×
北京高考)执行如图所示的程序框图,输出的s值为( )
A. B.
选B 第一步:
s=1-=,k=2,k<
3;
第二步:
s=+=,k=3,输出s.故选B.
2.某居民区的物业公司按月向居民收取卫生费,每月收费方法是:
4人和4人以下的住户,每户收取6元;
超过4人的住户,每超出1人加收1.1元,相应收费系统的程序框图如图所示,则①处应填( )
A.y=6+1.1x
B.y=15+1.1x
C.y=6+1.1(x-4)
D.y=15+1.1(x-4)
选C 依题意得,费用y与人数x之间的关系为y=则程序框图中①处应填y=6+1.1(x-4).
3.如图所示的程序框图的运行结果为________.
因为a=2,b=4,所以输出S=+=2.5.
2.5
4.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为________.
进行第一次循环时,
S==20,i=2,S=20>
1;
进行第二次循环时,
S==4,i=3,S=4>
进行第三次循环时,
S=,i=4,S=<
1,
此时结束循环,输出的i=4.
[例1] (2019·
沈阳质检)已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的实数x的值为( )
A.-3B.-3或9
C.3或-9D.-3或-9
[解析] 当x≤0时,y=x-8=0,x=-3;
当x>
0时,y=2-log3x=0,x=9.故x=-3或x=9,选B.
[答案] B
[例2] 某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数为( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=x2ln(x2+1)
[解析] 由程序框图知该程序输出的是存在零点的奇函数,选项A、C中的函数虽然是奇函数,但在给定区间上不存在零点,故排除A、C.选项D中的函数是偶函数,故排除D.选B.
[解题技法] 顺序结构和条件结构的运算方法
(1)顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.解决此类问题,只需分清运算步骤,赋值量及其范围进行逐步运算即可.
(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能,然后根据“是”的分支成立的条件进行判断.
(3)对于条件结构,无论判断框中的条件是否成立,都只能执行两个分支中的一个,不能同时执行两个分支.
1.半径为r的圆的面积公式为S=πr2,当r=5时,计算面积的流程图为( )
选D 因为输入和输出框是平行四边形,故计算面积的流程图为D.
2.运行如图所示的程序框图,可输出B=______,C=______.
若直线x+By+C=0与直线x+y-2=0平行,则B=,且C≠-2,
若直线x+y+C=0与圆x2+y2=1相切,则=1,解得C=±
2,
又C≠-2,所以C=2.
2
考法
(一) 由程序框图求输出(输入)结果
[例1] (2018·
天津高考)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为( )
A.1 B.2
C.3D.4
[解析] 输入N的值为20,
第一次执行条件语句,N=20,
i=2,=10是整数,
∴T=0+1=1,i=3<5;
第二次执行条件语句,N=20,i=3,=不是整数,
∴i=4<5;
第三次执行条件语句,N=20,i=4,=5是整数,
∴T=1+1=2,i=5,此时i≥5成立,∴输出T=2.
[例2] (2019·
安徽知名示范高中联考)执行如图所示的程序框图,如果输出的n=2,那么输入的a的值可以为( )
A.4B.5
C.6D.7
[解析] 执行程序框图,输入a,P=0,Q=1,n=0,此时P≤Q成立,P=1,Q=3,n=1,此时P≤Q成立,P=1+a,Q=7,n=2.因为输出的n的值为2,所以应该退出循环,即P>
Q,所以1+a>
7,结合选项,可知a的值可以为7,故选D.
[答案] D
[解题技法] 循环结构的一般思维分析过程
(1)分析进入或退出循环体的条件,确定循环次数.
(2)结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式.
(3)辨析循环结构的功能.
考法
(二) 完善程序框图
武昌调研考试)执行如图所示的程序框图,如果输入的a依次为2,2,5时,输出的s为17,那么在判断框中可以填入( )
A.k<
n?
B.k>
C.k≥n?
D.k≤n?
[解析] 执行程序框图,输入的a=2,s=0×
2+2=2,k=1;
输入的a=2,s=2×
2+2=6,k=2;
输入的a=5,s=2×
6+5=17,k=3,此时结束循环,又n=2,所以判断框中可以填“k>
n?
”,故选B.
[例2] (2018·
全国卷Ⅱ)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图所示的程序框图,则在空白框中应填入( )
A.i=i+1B.i=i+2
C.i=i+3D.i=i+4
[解析] 由题意可将S变形为S=-,则由S=N-T,得N=1++…+,T=++…+.据此,结合N=N+,T=T+易知在空白框中应填入i=i+2.故选B.
[解题技法] 程序框图完善问题的求解方法
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足;
(2)运行循环结构,一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止;
(3)根据此时各个变量的值,补全程序框图.
凉山质检)执行如图所示的程序框图,设输出的数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素a,则函数y=xa,x∈[0,+∞)是增函数的概率为( )
A.B.
选C 执行程序框图,x=-3,y=3;
x=-2,y=0;
x=-1,y=-1;
x=0,y=0;
x=1,y=3;
x=2,y=8;
x=3,y=15;
x=4,退出循环.则集合A中的元素有-1,0,3,8,15,共5个,若函数y=xa,x∈[0,+∞)为增函数,则a>
0,所以所求的概率为.
珠海三校联考)执行如图所示的程序框图,若输出的n的值为4,则p的取值范围是( )
选A S=0,n=1;
S=,n=2;
S=+=,n=3;
满足条件,所以p>
继续执行循环体;
S=+=,n=4;
不满足条件,所以p≤.输出的n的值为4,所以<
p≤,故选A.
3.(2019·
贵阳适应性考试)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则整数a的值为( )
A.6B.7
C.8D.9
选A 先不管a的取值,直接运行程序.首先给变量S,k赋值,S=1,k=1,执行S=S+,得S=1+,k=2;
执行S=1++,k=3;
……继续执行,得S=1+++…+=1+++…+=2-,由2-=得k=6,所以整数a=6,故选A.
[典例] 执行如图程序语句,输入a=2cos,b=2tan,则输出y的值是( )
INPUT a,b
IF a<
b THEN
y=a(a+b)
ELSE
y=a2-b
END IF
PRINT y
END
A.3B.4
C.6D.-1
[解析] 根据条件语句可知程序运行后是计算y=
且a=2cos=2cosπ=-2,
b=2tan=2tan=-2.
因为a≥b,所以y=a2-b=(-2)2-(-2)=6,
即输出y的值是6.
[答案] C
[解题技法] 算法语句应用的4关注
输入、输出语句
在输入、输出语句中加提示信息时,要加引号,变量之间用逗号隔开
赋值语句
左、右两边不能对换,赋值号左边只能是变量
条件语句
条件语句中包含多个条件语句时,要分清内外条件结构,保证结构的完整性
循环语句
分清“当型”和“直到型”的格式,不能混用
[变透练清
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