习题集含详解高中数学题库高考专点专练之87等差数列前n项和公式Word格式.docx
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③.则上述说法正确的个数为
A.个B.个C.个D.个
28.等差数列的前项和为,且,,则
29.已知数列是等差数列,其前项和有最大值,若,当其前项和时的最大值是
30.设是等差数列,为其前项和.若正整数,,,满足,则
31.等差数列的前项和为,若,则
32.在等差数列中,为其前项和,若,则
33.等差数列中,,为等差数列的前项和,则
34.对于数列,定义为的“优值”.现已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,则的最小值为
35.已知数列满足,,则
36.《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按天计)共织布尺,最后一天织布尺”,则该女第一天共织多少布?
37.等差数列的前项和为,若公差,,则
38.已知等差数列的公差,为其前项和,若,,成等比数列,且,则的最小值是
39.设是等差数列的前项和,若,则
40.记是各项均为正数的等差数列的前项和,若,则
A.,
B.,
C.,
D.,
二、填空题(共40小题;
41.已知是等差数列,是其前项和.若,,则的值是
.
42.已知数列为等差数列,若,,为数列的前项和,则的值为
43.已知等差数列前项的和为,,那么
44.已知是等差数列的前项和,公差,若,,则正整数
45.已知等差数列的前项的和为,,则
46.设为等差数列的前项和,且,,则
47.设等差数列的前项和为,若公差,,则的值是
48.设数列是首项为的等差数列,前项和,,则公差为
49.设等比数列的前项和为,若,,则
50.已知等差数列,等比数列的公比为,设,的前项和分别为,.若,则
51.将正整数排成下表:
则数表中的出现在第
行.
52.设等差数列,的前项和分别为,若对任意自然数都有,则的值为
53.设是等差数列的前项和,,,则
54.观察如图的三角形数阵,依此规律,则第行的第个数是
.
55.设等差数列的前项和为,若,,,则正整数
56.已知数列,,它的前项和为,且是与的等差中项.若为等比数列,,则
57.设各项均为正数的等差数列的前项和为,且满足,,则
58.已知是公差不为的等差数列,是其前项和,若,,则的值是
59.已知等差数列的前项和为,若,,也成等差数列,则
60.已知等差数列的公差为,且,,成等比数列,则
;
数列的前项和
61.设数列中,,,为的前项和,若,则
62.设等差数列的公差,前项和为,已知是与的等比中项,,则
63.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:
“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?
”意思是:
“现有一根金杖,长尺,一头粗,一头细.在粗的一端截下尺,重斤;
在细的一端截下尺,重斤;
问依次每一尺各重多少斤?
”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为,现将该金杖截成长度相等的段,记第段的重量为,且,若,则
64.已知数列满足,数列为等差数列,且,,则
65.我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”:
今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?
意思是:
将钱分给若干人,第一人给钱,第二人给钱,第三人给钱,以此类推,每人比前一人多给钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得钱,问有多少人?
则题中的人数是
66.若数列的通项公式是,则
67.在等差数列中,,公差为,前项和为,当且仅当时取得最大值,则的取值范围为
68.已知等差数列的公差为,前项和为,满足,,则当取得最小值时,的值为
69.在等差数列中,为它的前项和,若,,,则当最大时,的值为
70.已知等差数列的前项和为,若,则
71.设是等差数列的前项和,,则的值为
72.已知,都是等差数列,其前项和分别是和,若,则的值为
73.已知等比数列满足,,且,则当时,
74.记数列的前项和为,若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立,则实数的范围为
75.设是正整数,由数列,,,,分别求相邻两项的和,得到一个有项的新数列:
,,,,,即,,,,.对这个新数列继续上述操作,这样得到一系列数列,最后一个数列只有一项.则最后这个项是
76.设为数列的前项和,已知,对任意,都有,则的最小值为
77.若在由正整数构成的无穷数列中,对任意的正整数,都有,且对任意的正整数,该数列中恰有个,则
78.数列满足,则的前项和为
79.已知数列的前项和为,,,数列的前项和为,若对恒成立,则实数的取值范围是
80.已知数列为等差数列,其前项和为,且.若存在最大值,则满足的的最大值为
三、解答题(共20小题;
共260分)
81.已知等差数列满足:
,.的前项和为.
(1)求及;
(2)令,求证:
数列为等差数列.
82.已知是等比数列,前项和为,且,.
(1)求的通项公式;
(2)若对任意的,是和的等差中项,求数列的前项和.
83.已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立.
(1)求数列的通项公式.
(2)设,,当为何值时,数列的前项和最大?
84.已知为等差数列,前项和为,是首项为的等比数列,且公比大于,,,.
(1)求和的通项公式;
(2)求数列的前项和.
85.已知等差数列的前项和满足,.
(2)设求数列的前项和.
86.在各项均为正数的等比数列中,,且,,成等差数列.
(1)求等比数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和的最大值.
87.设是一个公差为的等差数列,它的前项和且,,成等比数列.
(1)证明;
(2)求公差的值和数列的通项公式.
88.已知数列满足,,,等差数列满足,.
(1)求;
(2)记,求;
(3)求数列前项的和.
89.在数列中,.
(1)若数列满足,求;
(2)若,且数列是等差数列,求数列的前项和.
90.已知数列中,.
91.已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前项和为,求.
92.已知在等差数列中,,.
(1)该数列第几项起为正?
(2)数列的前多少项和最小?
求数列的前项和的最小值.
(3)求.
93.已知函数.
(1)设函数的图象的顶点的纵坐标构成数列,求证:
为等差数列;
(2)设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列,求的前项和.
94.已知是公差不为零的等差数列,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项;
95.在等差数列中,,.
(2)设的前项和为,若,求.
96.在等差数列中,为数列的前项和,且满足,.
(2)求,并指出当为何值时,取最小值.
97.已知,点在函数的图象上,其中
(1)证明数列是等比数列,
(2)设,求及数列的通项,
(3)记,求数列的前项,并证明.
98.已知数列是等差数列,其前项和为,若,.
(2)若数列满足条件:
,当时,,其中数列单调递增,且,.
①试找出一组,,使得;
②证明:
对于数列,一定存在数列,使得数列中的各数均为一个整数的平方.
99.
(1)等差数列的前项和是,已知,,求;
(2)设等差数列的前项和是,若,,求;
(3)若一个等差数列前项的和为,最后项的和为,且所有项的和为,求这个数列的项数;
(4)已知数列的通项公式是,求数列的前项和并说出判断数列是等差数列的基本方法.
100.已知数列,都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列.
(1)设数列,分别为等差、等比数列,若,,,求;
(2)设的首项为,各项为正整数,,若新数列是等差数列,求数列的前项和;
(3)设(是不小于的正整数),,是否存在等差数列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是?
若存在,请给出一个满足题意的等差数列;
若不存在,请说明理由.
答案
第一部分
1.A2.B3.C【解析】.
4.C5.B
6.B【解析】由是等差数列,得,,为等差数列,则有,得,即.
7.B【解析】在等差数列中,
由,得:
,即.
所以.
8.C【解析】设公差为,因为,
所以,
整理可得,即.
9.D10.B
【解析】由题意知:
因为数列为调和数列,
所以是等差数列,
又因为,
11.B【解析】因为是等差数列的前项和,
所以数列是等差数列.
因为,,
所以公差,首项为,
12.A【解析】等差数列中,
因为,
设公差等于,则有,故.
13.C【解析】由,,,得,,所以等差数列的公差,由,得,解得.
14.B【解析】由可得,
由它们的前项和有最大值,可得数列的,
所以,,,所以,,使得的的最大值.
15.D
【解析】因为数列是等差数列,
所以,,
则,
又,
则.
16.A17.B【解析】因为函数的图象关于对称,则函数的图象关于对称,又函数在上单调,数列是公差不为的等差数列,且,所以,所以.
18.B19.A【解析】设,
所以是奇函数,
所以在上单调递增,
所以,,
因为等差数列,
20.C
21.C【解析】,.
22.A23.C【解析】因为,,
所以数列是公差为的等差数列.
数列的前项和.
令,解得.
所以时,.
时,.
则
24.C【解析】因为数列为等差数列,设其公差为,
因为,所以,
所以,即.
所以数列的前项和
25.D
26.C27.D【解析】,,所以,
①时,,因为,所以.
②时,,
所以当为奇数时,数列为等差数列,
③当为偶数时,数列为等差数列,所以.所以
因此①②③都正确.
28.D29.C【解析】因为,可得,
所以,,,
使得的的最大值.
30.A
31.B【解析】由题意,设公差为,则,
所以,所以.
32.B【解析】因为等差数列中,为其前项和,由于,
33.C34.D35.C
【解析】因为,,
所以数列是首项为公差为的等差数列,
令,解得,
所以时,,
时,,
则
36.C37.B【解析】根据题意,等差数列中,有,
即,
又由为等差数列,则有
,,
,与异号,
又由公差,
必有,,且.
38.A【解析】因为等差数列的公差,,,成等比数列,且,
解得,或,(舍去).
当时,,
令且,
解可得,
即时,取得最小值,且.
39.D40.B
【解析】依题意
因为是各项均为正数的等差数列的前项和,,所以,所以,即,又因为,所以.
第二部分
41.
【解析】设等差数列的公差为,
则,.
解得,,则.
42.
【解析】
又,所以,所以,所以.
43.
【解析】由题知解得所以.
44.
【解析】,得,
45.
46.
47.
48.
49.
50.
由得,整理得,
令解得即.
51.
【解析】由表可知:
第行个数;
所以第行个数.
所以不妨令,解得,所以应为第行.
52.
【解析】由等差数列的性质和求和公式可得:
53.
【解析】由题意得
整理得
解得
所以
54.
【解析】观察如图的三角形数阵,依此规律,则第行的第个数为
.
55.
则
解得.
56.
【解析】设数列的公比为,依题意有,,即,故,则.
57.
58.
所以
解得:
59.
【解析】因为,,也成等差数列,
所以,.
60.,
61.
【解析】因为数列中,,
所以数列是等差数列,公差与首项为.
化为:
,因为,所以.
62.
【解析】因为等差数列的公差,前项和为,是与的等比中项,,
解得,.
63.
64.
【解析】因为数列满足,数列为等差数列,且,,所以,所以
65.
66.
67.
【解析】由题意,当且仅当时有最大值,可得即解得.
68.
69.
70.
71.
【解析】因为是等差数列的前项和,,
解得,
72.
73.
【解析】由等比数列的性质可得,
故数列首项,公比,
故
74.
75.
【解析】设这个数列的第一个数构成的数列记为,则有易求得.
76.
77.
【解析】因为对任意的正整数,该数列中恰有个,所以数列是,,,,,,,设在第组中,则且,
所以在第组中,所以.
78.
得,.
于是所求式可看作以为首项,为公差的等差数列前项的和.
79.
【解析】时,.时,
时也成立,
所以,
为奇数时,;
为偶数时,.
因此为奇数时,
对恒成立,
为偶数时,
所以对恒成立,
综上可得:
80.
【解析】因为有最大值,则数列递减.又,则,,且.所以,,故满足的的最大值为.
第三部分
81.
(1)设等差数列的首项为,公差为,由题意有,,.
(2)因为,
所以,数列为等差数列.
82.
(1)设数列的公比为.由已知,有,解得或.
又由,知,所以.
解得,所以.
(2)由题意得,,
即是首项为,公差为的等差数列.
设数列的前项和为,则
83.
(1)取,得,
即.
若,则,由已知,得.
若,则.
由,得.
上述两个式子相减,得,
则数列是公比为,首项为的等比数列.
综上,若,则;
(2)当,且时,则,
所以是递减的等差数列(公差为),
故数列的前项的和最大.
84.
(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
由已知,得,而,
又因为,解得.
所以,.
由,可得
联立,解得,,由此可得.
所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为.
(2)设数列的前项和为,
由,,有,
故,
,
上述两式相减,得
得.
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