考研数一真题及解析资料.docx
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考研数一真题及解析资料
2003
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题:
本题共
6小题,每小题
4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
1
(1)
lim(cosx)ln(1
x2)
x0
(2)
曲面zx2
y2与平面2x4y
z0平行的切平面的方程是
.
(3)
设x2
an
cosnx(
x
),则a2=
.
n0
(4)
从R2
的基
1
1
2
1
到基
1
1
2
1
的过渡矩阵为
.
0
1
1
2
(5)
(X,Y)的概率密度为
f(x,y)
6x,0
xy1,
1}
设二维随机变量
0,
则P{XY
其他,
.
(6)
已知一批零件的长度
X
(单位:
cmcm)服从正态分布
N(
1),从中随机地抽取
16个
零件,得到长度的平均值为
40(cm),则
的置信度为
0.95的置信区间是
.
(注:
标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95.)
二、选择题:
本题共6小题,每小题4分,共24分,下列每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)设函数f(x)在(,)内连续,其导函数的图形如图所示,
y
则f(x)有()
(A)一个极小值点和两个极大值点.
(B)两个极小值点和一个极大值点.
(C)两个极小值点和两个极大值点.x
(D)三个极小值点和一个极大值点.
(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且liman0,limbn1,limcn,则必有()
nnn
(A)anbn对任意n成立.(B)bncn对任意n成立.
(C)极限limancn不存在.(D)极限limbncn不存在.
nn
21
2003
(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)
f(x,y)xy
1
,则()
的某个邻域内连续,且lim
2
y2)2
x0,y0(x
(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.
(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.
(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.
(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.
(4)
设向量组I:
1,2,,
r
可由向量组II:
1,
2,,
s线性表示,则(
)
(A)
当r
s时,向量组
II
必线性相关.
(B)
当r
s时,向量组II必线性相关.
(C)
当r
s时,向量组
I必线性相关.
(D)
当r
s时,向量组I必线性相关.
(5)
设有齐次线性方程组Ax
0和Bx
0
其中A,B均为mn矩阵,现有
4个命题:
①若Ax
0的解均是Bx
0的解,则秩(
A)
秩(B);
②若秩(
A)
秩(B),则Ax0的解均是Bx
0的解;
③若Ax
0
与Bx0同解,则秩(A)=秩(B);
④若秩(A)=秩(B),则Ax0与Bx0同解.
以上命题中正确的是(
)
(A)
①
②.
(B)
①
③.
(C)
②
④.
(D)
③
④.
(6)
设随机变量X~t(n)(n
1
,则(
)
1),Y
2
X
(A)
Y~
2(n).
(B)
Y~
2(n1).
(C)Y~F(n,1).
(D)
Y~F(1,n).
三、(本题满分10分)
过坐标原点作曲线ylnx的切线,该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.
(1)求D的面积A;
(2)求D绕直线x
e旋转一周所得旋转体的体积V.
四、(本题满分12
分)
将函数f(x)
arctan1
2x
展开成x的幂级数,并求级数
(1)n
的和.
1
2x
n02n1
21
2003
五、(本题满分10
分)
已知平面区域
D{(x,y)0
x
0y
},L为D的正向边界.试证:
(1)
xesinydy
yesinxdx
xesinydy
yesinxdx;
L
L
(2)
xesinydy
yesinxdx
2
2.
L
六、(本题满分10分)
某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻
力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k0).汽
锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次
击打时所作的功之比为常数r(0r1).问
(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?
(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?
(注:
m表示长度单位米.)
七、(本题满分12分)
设函数yy(x))在(,)内具有二阶导数,且y0,xx(y)是yy(x)的反函
数.
(1)试将x
x(y)所满足的微分方程
d2x
(ysinx)(dx)3
0变换为y
y(x)满足
dy2
dy
的微分方程;
3
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0,y(0)的解.
2
八、(本题满分12分)
设函数f(x)连续且恒大于零,
f(x2
y2
z2)dv
f(x2
y2)d
F(t)
(t)
,G(t)
D(t)
,
f(x2
y
2)d
t
2)dx
f(x
D(t)
1
其中
(
){(,
)
2
2
2
2
},
2
2
2
t
xyz
x
y
z
tD(t)
{(x,y)x
y
t}.
(1)
讨论F(t)在区间(0,
)内的单调性.
(2)
证明当t
0时,F(t)
2G(t).
21
2003
九、(本题满分10分)
3
2
2
0
1
0
设矩阵A
2
3
2
,P
1
0
1
,B
P1A*P,求B
2E的特征值与特征
2
2
3
0
0
1
向量,其中A*
为A的伴随矩阵,
E为3阶单位矩阵.
十、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1:
ax2by3c0,l2:
bx2cy3a0,l3:
cx2ay3b0.
试证:
这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0.
十一、(本题满分10分)
已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装
有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:
(1)乙箱中次品件数X的数学期望;
(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二、(本题满分8分)
设总体X的概率密度为
2e2(x
),x
f(x)
x
0,
其中
0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本
X1,X2,,Xn,记
?
min(X1,X2,,Xn).
(1)求总体X的分布函数F(x);
(2)求统计量?
的分布函数F?
(x);
(3)如果用?
作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
21
2003
一、填空题
1
(1)【答案】
e
【详解】方法1:
求limu(x)v(x)型极限,一般先化为指数形式
limu(x)v(x)limev(x)lnu(x)
然后求limv(x)lnu(x),再回到指数上去.
1
lncosx
lncosx
lim(cosx)ln(1
x2)
x2)
lim
x2)
=limeln(1
ex
0ln(1
x
0
x
0
而
limlncosx
limln(1cosx
1)
limcosx1
(等价无穷小替换
x
0ln(1x2)
x
0
ln(1
x2)
x
0
x2
1x
2
1
lim
2
1
2
2
(等价无穷小替换1cosx
x)
x0
x
2
2
1
1.
故
原式=e2
e
1
lncosx,以下同方法1.
方法2:
令y
(cosx)ln(1
x2),有lny
ln(1x2)
(2)【答案】2x4yz5
【详解】由题意,只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可.
平面2x
4y
z0的法向量:
n1
{2,4,
1};
曲面z
x2
y2在点(x0,y0,z0)的法向量:
n2
{zx(x0,y0),zy(x0,y0),1}
由于n1//n2,因此有
2x0
2y0
1
2
4
1
可解得,x0
1,y0
2,相应地有z0
x02
y02
5.
ln(1x)x)
{2x0,2y0,1}
所求切平面过点(1,2,5),法向量为:
n2{2,4,1},故所求的切平面方程为
2(x1)4(y2)(z5)0,即2x4yz5
21
2003
(3)【答案】1
【详解】将
f(x)
x2(
x
)展开为余弦级数
f(x)x2
ancosnx(
x
),其中an
2
0
f(x)cosnxdx.
n0
所以a2
2
x
2
cos2xdx
1
x
2
dsin2x
1
[x
2
sin2x
0
sin2x2xdx]
0
0
0
1
1
1
0
xdcos2x
[xcos2x0
0
cos2xdx]
(4)【答案】
2
3
1
2
【详解】n维向量空间中,从基
1,
2,
n到基
1,
2,
n的过渡矩阵P满足
[
1,
2,
n]=[1,
2,
n]P,
因此过渡矩阵
P为:
P=[
1,
2,
n]1[1,
2,
n].
根据定义,从
R2的基
1
1
2
1
到基
1
1
2
1
的过渡矩阵为
0
1
1
2
1
11
11
2
3
P=[
1,2]1[
1,2
]
1
1
11
=
.
0
1
1
2
0
1
1
2
1
2
(5)【答案】
1.
4
【分析】本题为已知二维随机变量
(X,Y)的概率密度
f(x,y),求满足一定条件的概率
P{g(X,Y)
z0}.连续型二维随机变量
(X,Y)概率的求解方法
F(x,y)
y
x
f(u,v)dudv,
此题可转化为二重积分
P{g(X,Y)
z0}
f(x,y)dxdy进行计算.
g(x,y)
z0
【详解】图中阴影区域为积分区域
.
由题设,有
P{XY
1}
f(x,y)dxdy
y
xy1
1
1
x
y
x
2dx
1
6xdy
0
x
21
x
y
1
O
1
x
2
2003
1
1
2(6x12x2)dx
0
4
(6)【答案】(39.51,40.49).
【分析】可以用两种方法求解:
(1)
2
1,对正态总体的数学期望
进行估计.因为
X
N(,1),设有n
已知方差
个样本,样本均值X
1n
1
X
E(X)~N(0,1)
Xi,则X
N(,),将其标准化,由公式
ni1
n
D(X)
n
得:
X
~N(0,1)
1
n
由正态分布分为点的定义P{X
u}1
可确定临界值u
,进而确定相应的
1
2
2
n
置信区间(xu
n
xu
).
2
2
n
(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值的置信区间问题.由教材上已
经求出的置信区间
(x
u
n
x
u
),其中P{U
u}
1
U
N(0,1),可以
2
2
n
2
直接得出答案.
【详解】方法
1:
由题设,
1
0.95,可见
0.05.
查标准正态分布表知分位点
u1.96.
本题n
16,
x
40.
2
根据
{
X
1.96}
0.95
,有P{
40
1.96}
0.95
,
P
1
n
1
16
即P{39.51
40.49}
0.95,故
的置信度为
0.95的置信区间是(39.51,40.49).
方法2:
由题设,
1
0.95
,
P{U
u
}
P{
u
U
u}2
(u
)
1
0.95,
(u)
0.975
2
2
2
2
2
查得
1.96.
将
,
代入
得置信区间
1n16,
x40
(xu
xu
)
u
2
2
n
2
n
(39.51,40.49)
二、选择题
(1)【答案】(C)
y
21
2003
【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零)
或导数不存在的点,极值点是极大值点还是极小值
点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.
【详解】根据导函数的图形可知,一阶导数为零的
点有3个(导函数与x轴交点的个数);x0是导数
不存在的点.
对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均不一致,故必为极值点,其中第一个交点左右两侧
导数符号由正变为负,是极大值点;第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正,是极小值点,则三个驻点中有两个极小值点,一个极大值点;
对导数不存在的点:
x0.左侧一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见x0为极
大值点.
故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点,应选(C).
(2)【答案】(D)
【详解】方法1:
推理法
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