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AC=
BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于_____________的一半.
2、例:
在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于O,∠ACD=30°
,AB=4.
(1)判断△AOD的形状;
(2)求对角线AC、BD的长.
【巩固练习】
1.填空:
(1)矩形的定义中有两个条件:
一是,二是.
(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°
,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、.
1页
2.下列说法错误的是().A、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等
C、有一个角是直角的四边形是矩形D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有().
A、2对B、4对C、6对D、8对
4.已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°
,则矩形的边长分别为__________cm,cm,cm,cm.
5、已知:
如图,矩形ABCD中,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
【课堂检测】
1.矩形的两条对角线的夹角为60°
,对角线长为15cm,较短边的长为().
(A)12cm(B)10cm(C)7.5cm(D)5cm
2.已知:
如图,矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,∠BOC=120°
,AB=4cm。
求矩形对角线的长。
3、已知:
如图,E为矩形ABCD内一点,且EB=EC。
求证:
EA=ED.
2页
18.2.。
1矩形的判定导学案
【学习目标】1.理解并掌握矩形的判定方法.
2.能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,培养分析能力,
【导学重点】矩形的判定.
【导学难点】矩形的判定及性质的综合应用.
【自主学习】
1.矩形是轴对称图形,它有______条对称轴.
2.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若对角线AC=10cm,边BC=8cm,则△ABO的周长为________.
3.想一想:
矩形有哪些性质?
在这些性质中那些是平行四边形所没有的?
列表进行比较.
平行四边形
矩形
边
角
对角线
【合作探究】1、矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形不具有的性质是:
2、怎样判定一个平行四边形是矩形呢?
总结:
矩形的判定方法.矩形判定方法1:
______________________________
矩形判定方法2:
_______________________________
3、例:
已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△AOB是等边三角形,AB=4cm,求这个平行四边形的面积.
【巩固练习】.1、下列各句判定矩形的说法是否正确?
(1)有一个角是直角的四边形是矩形;
()
(2)有四个角是直角的四边形是矩形;
(3)四个角都相等的四边形是矩形;
(4)对角线相等的四边形是矩形;
(5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形;
(6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;
(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;
(8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形;
()
(9)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形.()
1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH;
⑵摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是:
;
⑶将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗
3页
框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是:
2、已知:
如图,□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H.求证:
四边形EFGH是矩形.
如图
,在△ABC中,∠C=90°
,
CD为中线,延长CD到点E,使得DE=CD.连结AE,BE,则四边形ACBE为矩形.
4、已知:
如图,在平行四边形ABCD中,E为CD中点,三角形ABE是等边三角形,求证:
四边形ABCD是矩形。
4页
18.2.2菱形的性质导学案
【学习目标】1.掌握菱形概念,知道菱形与平行四边形的关系.
2.理解并掌握菱形的定义及性质1、2;
会用这些性质进行有关的论证和计算,
会计算菱形的面积.
【导学重点】:
菱形的性质1、2.
【导学难点】菱形的性质及菱形知识的综合应用.
【自主学习】自学课本的内容,完成下列问题:
1.如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来
的四边形叫做菱形,生活中的菱形有。
2.
按探究步骤剪下一个四边形。
①所得四边形为什么一定是菱形?
②菱形是图形?
有对称轴。
图中相等的线段有:
图中相等的角有:
【小组互议互评】小组长:
完成情况:
【合作探究】
1、你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗?
自己完成证明。
菱形的性质1:
菱形的性质2:
证明:
5页
2、比较菱形的对角线和一般平行四边形的对角线你会发现什么?
你能利用菱形的对角线求菱形的面积吗?
如果菱形的两条对角线长分别是a和b,计算菱形的面积S。
例.如图,菱形花坛ABCD的边长为20cm,∠ABC=60°
沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长和花坛的面积。
【课堂检测】1.______________的平行四边形叫做菱形.
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,则
AB=AD=_______=_______,即菱形的_______________相等,图中
的等腰三角形有__________________,直角三角形有
______________,△AOD≌____________≌____________
≌_____________,由此可以得出菱形的对角线__________________,每一条对角线________________.
3.按图示的虚线折纸,然后连接ABCD可得菱形,由此可以得
到_____________的四边形是菱形.
4.木工做菱形窗棂时总要保持四条边框一样长,道理是__________________________________.
5.菱形的对角线长分别为6和8,则这个菱形的周长是_______,面积是______.
6.下面性质中,菱形不一定具有的是( )
A.对角线相等 B.是中心对称图形 C.是轴对称图形 D.对角线互相平分
7.菱形的周长为20cm,两邻角的比为1:
2,则较短对角线的长是_____________;
一组对边的距离是____________.
8.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线AC长10cm。
求
(1)对角线BD的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
9.已知:
如图,菱形ABCD中,E、F分别是CB、CD上的点,且BE=DF.求证:
∠AEF=∠AFE.
6页
18.2.2菱形的判定
【学习目标】1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;
会用这些判定方法进行有关的论证和计算;
2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
【导学重点】菱形的两个判定方法.
【导学难点】判定方法的证明方法及运用.
【自主学习】温故知新:
1.菱形的定义:
2.菱形的性质:
边:
__________________________;
角:
对角线:
______________________________________________________
对称性:
.
探究一:
如图,四边形是菱形吗?
菱形判定方法1有一组邻边相等的平行四边形是菱形
探究二:
用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
通过探究,菱形判定方法2 对角线的平行四边形是菱形
证明上述结论:
菱形判定方法3:
的四边形是菱形
例1.如图,
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=5,AC=8,DB=6
求证:
四边形ABCD是菱形.
【巩固练习】1.填空:
(1)对角线互相平分的四边形是;
(2)对角线互相垂直平分的四边形是________;
(3)对角线相等且互相平分的四边形是________;
(4)两组对边分别平行,且对角线的四边形是菱形.
7页
2.画一个菱形,使它的两条对角线长分别为6cm、8cm.
3.如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,DE和CE相交于E,
四边形OCED是菱形。
1.下列条件中,能判定四边形是菱形的是().
(A)两条对角线相等(B)两条对角线互相垂直
(C)两条对角线相等且互相垂直(D)两条对角线互相垂直平分
如图
ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F.
四边形AFCE是菱形.
3、如图,在□ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,连结DE,BF,BD.
(1)求证:
△ADE≌△CBF.
(2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形?
请证明你的结论.
如图,M是等腰三角形ABC底边BC上的中点,DM⊥AB,EF⊥AB,ME⊥AC,DG⊥AC.求证:
四边形MEND是菱形.
8页
18.2.3正方形导学案
【学习目标】1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
【导学重点】正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
【导学难点】正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.
【自主学习】1.矩形的定义:
2.菱形的定义:
3.通过你以前学到的知识说说什么样的图形叫正方形?
一、探究:
1.正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.试用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形来.
3.通过折纸你认为具备什么条件的矩形是正方形?
4.你再想想,具备什么条件的菱形是正方形?
5.通过1、3、4我们发现:
正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意:
(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形)
(2)有一个角是直角的平行四边形(矩形)
二、试一试1.通过上图,我们发现:
正方形具有的性质,同时又具有的性质.
2.归纳正方形的所有性质:
性质
判定方法
正方形
1.正方形的定义:
有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形,因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______,又是一个特殊的有一个角是直角的______.
2.正方形的性质:
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质,正方形的四个角都______;
四条边都______且__________________;
正方形的两条对角线______,并且互相______,每条对角线平分______对角.它有______条对称轴.9页
3.正方形的判定:
(1)____________________________________的平行四边形是正方形;
(2)____________________________________的矩形是正方形;
(3)____________________________________的菱形是正方形;
4.对角线________________________________的四边形是正方形
如图6,已知点E为正方形ABCD的边BC上一点,连结AE,过点D作DG⊥
AE,垂足为G,延长DG交AB于点F.求证:
BF=CE.
如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF.
EA⊥AF.
3.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°
,CD平分∠ACB,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F.求证:
四边形CFDE是正方形.
7.如图,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,
求∠EAD与∠ECD的度数.
10页
特殊的平行四边形的运用
【学习目标】1、掌握并能区分矩形、菱形、正方形的性质与判定
2、矩形、菱形、正方形的性质与判定综合运用.
【导学重点】掌握并能区分矩形、菱形、正方形的性质与判定
【导学难点】矩形、菱形、正方形的性质与判定综合运用.
【自主学习】正方形、平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下:
菱形
对边平行且相等
四条边都相等
对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
(凡是图形所具有的性质,在表中相应的空格中填上“√”,没有的性质不要填写)
典型例题:
例1、如图,
是四边形
的对角线
上两点,
.求证:
(1)
.
(2)四边形
是平行四边形.
例2、如图所示,△ABC中,点O是AC边上一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于E,交∠BCA的外角平分线于点F.
EO=FO
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
并证明你的结论.
例3、如图.矩形ABCD的对角线相交于点0.DE∥AC,
CE∥BD.求证:
四边形OCED是菱形;
例4、已知如下图,正方形ABCD中,E是CD边上的一点,F为BC延长线上一点,CE=CF.
△BEC≌△DFC;
(2)若∠BEC=60°
,求∠EFD的度数.
12页
一、填空选择题
1.已知:
AD∥BC,要使四边形ABCD为平行四边形,需要增加条件是___________________.
2.若四边形ABCD为平行四边形,请补充条件使得四边形ABCD为菱形.
3.如图1,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=2∠BOC,若对角线AC=6cm,则周长=,面积=。
4.如图2,菱形ABCD的边长为8cm,∠BAD=120°
,则AC=,BD=,面积=。
5.如图3,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点
(点P不与点A、C重合)且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,
则阴影部分的面积是
图1图2图3
6.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是()
A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形
7.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是()
A.当AB=BC时,它是菱形B.当AC⊥BD时,它是菱形
C.当∠ABC=900时,它是矩形D.当AC=BD时,它是正方形
8.如图,四边形
为矩形纸片.把纸片
折叠,使点
恰好落在
边的中点
处,折痕为
.若
,则
等于( )
A
D
A.
B.
C.
D.
E
C
F
B
9.已知如图,菱形ABCD中,∠ADC=120°
,AC=
㎝,
(1)求BD的长;
(2)求菱形ABCD的面积,
(3)写出A、B、C、D的坐标.
11、已知:
如图,矩形ABCD,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
12、已知:
如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.
四边形PQMN是正方形.
13、如图,矩形
中,
是
与
的交点,过
点的直线
的延长线分别交于
;
(2)当
满足什么关系时,以
为顶点的四边形是菱形?
证明你的结论.
14、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连结CP,试判断四边形CODP的形状.并证明。
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