湘教版七年级下册数学知识点梳理文档格式.docx
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x为:
____________。
4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值:
要抓住两个方面:
①、未知数的指数为1,②、未知数前的系数不能为0
已知方程(a-2)x^(/a/-1)–(b+5)y^(b^2-24)=3是关于x、y的二元一次方程,求
a、b的值。
5、求二元一次方程的整数解
求二元一次方程3x+4y=18的正整数解。
思路:
利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法,可以求出方程有正整数解时x、
y的取值范围,然后再进一步确定解。
x=3
再例:
①、如果是方程组ax-2y=5
y=-1
2x+by=3
的解,求a-b的值。
②、甲、乙两人共解方程组
ax+5y=15,①
由于甲看错了方程①中的a,得到的方程组的解
4x-by=-2,②
x=-3,
为乙看错了方程②中的b,得到的方程组的解为
y=-1,
x=5,
y=4,
试计算a^2009+(-b/10)^2010的值。
2/27
二、二元一次方程组的解法——消元(整体思想就是:
消去未知数,化“二元”为“一元”)
1、代入消元法:
由二元一次方程组中的一个方程,将一个未知数用含另一未知数的式子表示
出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消
元法,简称代入法。
代入法解二元一次方程组的一般步骤为:
①、从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程的一个未知数用含另一个未知数
的代数式表示出来;
②、将变形后的关系式代入另一个方程(不能代入原来的方程哦!
),消去一个未知数,得
到一个一元一次方程;
③、解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;
④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式(或原来的方程组中任一个方程)中,求出
另一个未知数的值;
⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,就是方程组的解。
2、加减消元法:
两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等(或利用等式的性质可
变为相反或相等)时,将两个方程的左右两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一
个一元一次方程,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫加减消元法,简称加减法。
加减法解二元一次方程组的一般步骤为:
①、方程组的两个方程中,如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时,就根据等式
的性质,用适当的数乘以方程的两边(注意,左右两边每一项都要乘以这个数),使同一未知
数前的系数相反或相等;
②、把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
③、解这个一元一次方程,求得一个未知数的值;
④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中,求出另一个未知数的值,
并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,就是方程组的解。
解方程组:
①、4y–(2y+x+16)/2=-6x②、
x/2+y/3=13/2
2y+3x=7–2x-yx/3–y/4=3/2
3/27
3、用换元法解方程组:
根据题目的特点,利用换元法简化求解,同时应注意换元法求出的解要代回关系式中,求出方
程组中未知数的解。
5/(x+1)+4/(y-2)=2例:
ⅰ、解方程组:
7/(x+1)–3/(y-2)=13/20
2a-3b=13a=8.3
ⅱ、已知方程组的解是,则方程组
3a+5b=30.9b=1.2
2(x+2)-3(y-1)=13
3(x+2)+5(y-1)=30.9
的解是:
()
x=8.3
y=1.2
x=10.3x=6.3
A、B、C、D、
y=2.2y=2.2
x=10.3
y=0.2
4、用整体代入法解方程组:
2x-y=6①例:
(x+2y)(4x–2y)=192②
解:
5、另外几种类型的例题:
(1)、已知代数式x2+ax+b,当x=-1时,它的值是5,当x=1时,它的值是-1,求当x
=2时,代数式的值。
(2)、已知方程组与有相同的解,求m,n的值。
x-2y=55x+y=3
5x+ny=1mx+5y=4
4/27
(3)、已知方程组3x-5y=2m的解x、y互为相反数,求m、x以
2x+7y=m-18及y的值。
2x-y=k
(4)、关于x、y的方程组的解,也是方程2x+y=3的解,求k的值。
3x+y=k+1
(5)、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工后上市销售。
该公司的加工能力是:
每天
可以精加工6吨或者粗加工16吨。
现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天粗加工,
几天精加工,才能按期完成任务?
如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元,精加工后的利润
为2000元,那么照此安排,该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元?
三、实际问题与二元一次方程组
1、利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为:
审题并找出数量关系式—>
设元(设
未知数)—>
根据数量关系式列出方程组—>
解方程组—>
检验并作答(注意:
此步骤不
要忘记)
2、列方程组解应用题的常见题型:
(1)、和差倍分问题:
解这类问题的基本等量关系式是:
较大量-较小量=相差量,总量
=倍数×
倍量;
5/27
(2)、产品配套问题:
解这类题的基本等量关系式是:
加工总量成比例;
(3)、速度问题:
解这类问题的基本关系式是:
路程=速度×
时间,包括相遇问题、追及
问题等;
(4)、航速问题:
①、顺流(风):
航速=静水(无风)时的速度+水(风)速;
②、逆流(风):
航速=静水(无风)时的速度–水(风)速;
(5)、工程问题:
工作总量=工作效率×
工作时间,(有时需
把工作总量看作1);
(6)、增长率问题:
原量×
(1+增长率)=增长后的量,原量
×
(1-减少率)=减少后的量;
(7)、盈亏问题:
解这类问题的关键是从盈(过剩)、亏(不足)两个角度来把握事物的总量;
(8)、数字问题:
解这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其
表示;
(9)、几何问题:
解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式;
(10)、年龄问题:
解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。
例1:
一批水果运往某地,第一批360吨,需用6节火车车厢加上15辆汽车,第二批440
吨,需用8节火车车厢加上10辆汽车,求每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨?
例2:
甲、乙两物体分别在周长为400米的环形轨道上运动,已知它们同时从一处背向出发,
25秒后相遇,若甲物体先从该处出发,半分钟后乙物体再从该处同向出发追赶甲物体,则再
过3分钟后才赶上甲,假设甲、乙两物体的速度均不变,求甲、乙两物体的速度。
6/27
例3:
甲、乙二人分别以均匀速度在周长为600米的圆形轨道上运动,甲的速度比乙大,当
二人反向运动时,每150秒相遇一次,当二人同向运动时,每10分钟相遇一次,求二人的速
度。
例4:
有两种酒精溶液,甲种酒精溶液的酒精与水的比是3:
7,乙种酒精溶液的酒精与水
的比是4:
1,今要得到酒精与水的比是3:
2的酒精溶液50kg,求甲、乙两种溶液各取多少
kg?
例5:
一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成,如果1立方米木料可制成方桌桌面50个,或
制作桌腿300条,现有5立方米木料,请问,要用多少木料做桌面,多少木料做桌腿,能使桌
面恰好配套?
此时,可以制成多少张方桌?
7/27
例6:
某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他以每小时50千米的速度行驶,就会
迟到24分钟,如果他以每小时75千米的速度行驶,则可提前24分钟到达乙地,求甲、乙两
地间的距离。
例7:
某农场有300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻、棉花、蔬菜三种农作物,已
知种植各种农作物每公顷所需劳动力人数及投入资金如右表:
已知该农场计划投入资金67万元,应该怎样安排这三种农作物的种植面积才能使所有职工
都有工作而且投入资金正好够用?
农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金
水稻4人1万元
棉花8人1万元
蔬菜5人2万元
例8:
某酒店的客房有三人间和两人间两种,三人间每人每天25元,两人间每人每天35元,
一个50人的旅游团到该酒店租了若干间客房,且每间客房恰好住满,一天共花去1510元,求
两种客房各租了多少间?
8/27
例9:
某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助,资助一名中学生的学习费用需要a
元,资助一名小学生的学习费用需要b元。
某校学生积极捐款,初中各年级学生捐款数额与使
用这些捐款恰好资助受捐助中学生和小学生人数的部分情况如右表:
(1)、求a、b的值;
(2)初三年级的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用,请分别计算出初三年级的捐款所
资助的中学生和小学生人数。
捐款数额捐助贫困中学生人捐助贫困小学生人
年级(元)数数
(名)(名)
初一年级400024
初二年级420033
初三年级7400
四、三元一次方程组的解法
由三个方程组成方程组,且方程组中共含有三个未知数,每个方程中含有的未知数
的次数都是1次,这样的方程组叫三元一次方程组。
三元一次方程组中的三个方程并不一定都是三元一次方程,只需满足“方程组中共含有三
个未知数”的条件即可。
2、解三元一次方程组的基本思想:
三元一次
方程组
消元
————————>
(代入法、加减法)
二元一次
一元一次
方程
9/27
3x+4y+z=14
解方程组
x+5y+2z=17
3x+4z=7
2x+3y+z=9
2x+2y-z=35x–9y+7z=8
例2:
在y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=0;
x=2时,y=3;
x=3时,y=28,求a、b、c的值。
当x=-1时,y的值是多少?
例3:
甲、乙、丙三数之和是26,甲数比乙数大1,甲数的两倍与丙数的和比乙数大18,求这
三个数。
小明从家到学校的路程为3.3千米,其中有一段上坡路,一段平路,一段下坡路,如果
保持上坡路每小时行3千米,平路每小时行4千米,下坡路每小时行5千米,那么小明从家到
学校需要1小时,从学校回家只需要44分钟。
求小明家到学校的上坡路、平路、下坡路各是
多少千米?
10/27
第二章整式的乘法
1.同底数幂的乘法:
a
m·
an=am+n,底数不变,指数相加.
2.幂的乘方与积的乘方:
(a
m)n=amn,底数不变,指数相乘;
(ab)n=anbn,积的乘方等于各因
式乘方的积.
3.单项式的乘法:
系数相乘,相同字母相乘,只在一个因式中含有的字母,连同指数写在积
里.
4.单项式与多项式的乘法:
m(a+b+c)=ma+mb+mc,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得
的积相加.
5.多项式的乘法:
(a+b)·
(c+d)=ac+ad+bc+bd,先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每
一项,再把所得的积相加.
6.乘法公式:
(1)平方差公式:
(a+b)(a-b)=a
2-b2,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方
差;
(2)完全平方公式:
①(a+b)
2=a2+2ab+b2,两个数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的积的2倍;
②(a-b)
2=a2-2ab+b2,两个数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的积的2倍;
※③(a+b-c)
2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc,略.
7.配方:
2
p
(1)若二次三项式x
2+px+q是完全平方式,则有关系式:
q
;
※
(2)二次三项式ax2+bx+c经过配方,总可以变为a(x-h)
2+bx+c经过配方,总可以变为a(x-h)
2+k的形式,利用a(x-h)2+k
①可以判断ax
2+bx+c值的符号;
②当x=h时,可求出ax2+bx+c的最大(或最小)值k.
11
2.
xx
※(3)注意:
2
x
x
8.同底数幂的除法:
m÷
an=am-n,底数不变,指数相减.
9.零指数与负指数公式:
1,(a≠0).注意:
(1)a,0
无意义;
n
a
(2)有了负指数,可用科学记数法记录小于1的数,例如:
0.0000201=2.01×
10
-5.
11/27
第三章因式分解
1.因式分解
定义:
把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫因式分解。
即:
多项式几个整式的积
111
axbxx(ab)
333
因式分解是对多项式进行的一种恒等变形,是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法:
(1)提公因式法:
①定义:
如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成
因式乘积的形式,这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式:
多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母,也可以是
一个单项式或多项式。
系数——取各项系数的最大公约数
字母——取各项都含有的字母
指数——取相同字母的最低次幂
33323422
12abc8abc6abc的公因式是.
解析:
从多项式的系数和字母两部分来考虑,系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数
为2;
字母部分
33,323,422
abcabcabc都含有因式
32
abc,故多项式的公因式是2
abc.
②提公因式的步骤
第一步:
找出公因式;
第二步:
提公因式并确定另一个因式,提公因式时,可用原多项式除以公因式,所得商即是提
公因式后剩下的另一个因式。
注意:
提取公因式后,对另一个因式要注意整理并化简,务必使因式最简。
多项式中第一项有
负号的,要先提取符号。
把
2233
12ab18ab24ab分解因式.
本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幂是ab,故公因式为6ab。
12ab18ab24ab
22
6ab(2a3b4ab)
12/27
把多项式3(x4)x(4x)分解因式
由于4x(x4),多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发
现多项式各项都含有公因式(x4),所以我们可以提取公因式(x4)后,再将多项式
写成积的形式.
3(x4)x(4x)
=3(x4)x(x4)
=(3x)(x4)
把多项式
xx分解因式
xx=
(x2x)x(x2)
(2)运用公式法
把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法
叫做运用公式法。
a.逆用平方差公式:
ab(ab)(ab)
222逆用完全平方公式:
b.2abb(ab)
3322
c逆用立方和公式:
ababaabb(拓展)
.()()
d.ab(ab)(aabb)
逆用立方差公式:
(拓展)
注意:
①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法:
主要从项数上看,若多项式是二项式可考虑平方差公式;
若多
项式是三项式,可考虑完全平方公式。
因式分解
21449
aa
22()()2
aabcbc
(3)分组分解法(拓展)
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解;
把多项式abab1分解因式
abab1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)(a1)(b1)
13/27
②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.
将多项式
2212
aabb因式分解
aabb
222
=(a2abb)1(ab)1(ab1)(ab1)
(4)十字相乘法(形如
2()()()
xpqxpqxpxq形式的多项式,可以考虑运用此种方
法)
方法:
常数项拆成两个因数p和q,这两数的和pq为一次项系数
2()
xpqxpq
xp
xq
2()()()
xpqxpqxpxq
分解因式
230
252100
补充点详解补充点详解
我们可以将-30分解成p×
q的形式,我们可以将100分解成p×
q的形式,
使p+q=-1,p×
q=-30,我们就有p=-6,使p+q=52,p×
q=100,我们就有p=2,
q=5或q=-6,p=5。
q=50或q=2,p=50。
所以将多项式
xpqxpq可以分所以将多项式
xpqxpq可以分
解为(xp)(xq)解为(xp)(xq)
x5x2
x-6x50
xx(x6)(x5)
xx(x50)(x2)
3.因式分解的一般步骤:
如果多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法;
若是四
14/27
项或四项以上的多项式,
通常采用分组分解法,最后运用十字相乘法分解因式。
因此,可以概括为:
“一提”、“二套”、
“三分组”、“四十字”。
因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止,否则就是不完全的因式分解,若
题目没有明确指出在哪个范围内因式分解,应该是指在有理数范围内因式分解,因此分
解因式的结果,必须是几个整式的积的形式。
一、例题解析
提公因式法
提取公因式:
如果多项式的各项有公因式,一般要将公因式提到括号外面.
确定公因式的方法:
系数——取多项式各项系数的最大公约数;
字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.
【例1】分解因式:
⑴
2n12n
1510
aababba(n为正整数)
⑵
2n1mn2m1
4ab6ab(m、n为大于1的自然数)
【巩固】分解因式:
2n12n2n
()()()
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