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讨论微积分在经济学中最基本的一些应用
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1导数在经济分析中的应用1.1边际分析在经济分析中的的应用1.1.1边际需求与边际供给设需求函数Q=f(p)在点p处可导(其中Q为需求量,P为商品价格),则其边际函数Q=f(p)称为边际需求函数,简称边际需求。
类似地,若供给函数Q=Q(P)可导(其中Q为
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1 导数在经济分析中的应用
1.1 边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1 边际需求与边际供给
设需求函数Q=f(p)在点p处可导(其中Q为需求量,P为商品价格),则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数,简称边际需求。
类似地,若供给函数Q=Q(P)可导(其中Q为供给量,P为商品价格),则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数,简称边际供给。
1.1.2 边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q);平均成本函数=(Q)=C(Q)Q;边际成本函数C’=C’(Q).C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本,其经济意义为:
当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3 边际收益函数
总收益函数R=R(Q);平均收益函数=(Q);边际收益函数R’=R’(Q).
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。
其经济意义为:
当销售量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4 边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润,其经济意义是:
当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1 某企业每月生产Q(吨)产品的总成本C(千元)是产量Q的函数,C(Q)=Q2-10Q+20。
如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解:
每月生产Q吨产品的总收入函数为:
R(Q)=20Q
L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-1Q+20)
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10(千元/吨);
L’(15)=-2×15+30=0(千元/吨);
L’(20)=-2×20+30=-10(千元/吨);
以上结果表明:
当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元;当月产量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再增产1吨,利润反而减少1万元。
显然,企业不能完全靠增加产量来提高利润,那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢?
1.2 弹性在经济分析中的应用
1.2.1 弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比,当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率,或称为弹性函数。
记为EyEx•EyEx=limδx→0
ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx.xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处,弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f(x)在点x=x0处的弹性值,简称弹性。
EExf(x0)%表示在点x=x0处,当x产生1%的改变时,f(x)近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2 需求弹性
经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f(P)(或P=P(Q)),由于价格上涨时,商品的需求函数Q=f(p)(或P=P(Q))为单调减少函数,ΔP与ΔQ异号,所以特殊地定义,需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2 设某商品的需求函数为Q=e-p5,求
(1)需求弹性函数;
(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解:
(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5;
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1,说明当P=3时,价格上涨1%,需求只减少0.6%,需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1,说明当P=5时,价格上涨1%,需求也减少1%,价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1,说明当P=6时,价格上涨1%,需求减少1.2%,需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3 收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以,收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样,就推导出收益弹性与需求弹性的关系是:
在任何价格水平上,收益弹性与需求弹性之和等于1。
(1)若η<1,则EREP>0价格上涨(或下跌)1%,收益增加(或减少)(1-η)%;
(2)若η>1,则EREP<0价格上涨(或下跌)1%,收益减少(或增加)|1-η|%;
(3)若η=1,则EREP=0价格变动1%,收益不变。
1.3 最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心,各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一,例如,在一定条件下,使成本最低,收入最多,利润最大,费用最省等等。
下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1 最低成本问题
例3 设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px,(常数m>0,n>0,p>0),
(1)问每批生产多少单位时,使平均成本最小?
(2)求最小平均成本和相应的边际成本。
解:
(1)平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p,C’=2mx-n
令C’,得x=n2m,而C’’(x)=2m>0。
所以,每批生产n2m个单位时,平均成本最小。
(2)(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m),又C’(x)=3mx2-2nx+p,C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以,最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2 最大利润问题
例4 设生产某产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,价格函数p=60-Q1000(Q为销售量),假设供销平衡,问产量为多少时,利润最大?
最大利润是多少?
解:
产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000时L最大,L(2000)=340000元
所以生产20000个产品时利润最大,最大利润为340000元。
2 积分在经济中的应用
在经济管理中,由边际函数求总函数(即原函数),一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分;如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积分来解决。
例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为C0=1000元,产品单价规定为500元。
假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大?
并求出最大利润。
解:
总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L’=400-2x,令L’=0,得x=200,因为L’’(200)<0。
所以,生产量为200单位时,利润最大。
最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000(元)。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述,对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。
将数学作为分析工具,不但可以给企业经营者提供精确的数值,而且在分析的过程中,还可以给企业经营者提供新的思路和视角,这也是数学应用性的具体体现。
因此,作为一个合格的企业经营者,应该掌握相应的数学分析方法,从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
[1]聂洪珍,朱玉芳.高等数学
(一)微积分[M].北京:
中国对外经济贸易出版社,2003,(6)
论述积分在经济建模与分析中的重要作用
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2009-12-2809:
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0前言随着社会主义市场经济体系和现代企业制度的建立,经济数学成为经济分析中的重要工具,其中积分是应用范围比较广的工具之一,它的应用已经渗透到经济的各个领域,通过这个工具,在知道函数的导数基础上可以很方便、有效计算函数总量,尤其是企业的总
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0 前言
随着社会主义市场经济体系和现代企业制度的建立,经济数学成为经济分析中的重要工具,其中积分是应用范围比较广的工具之一,它的应用已经渗透到经济的各个领域,通过这个工具,在知道函数的导数基础上可以很方便、有效计算函数总量,尤其是企业的总成本、总利润和最值等问题得到充分的应用。
本文从积分工具出发,以数学建模的形式分析经济活动中的计量问题。
1 经济数学模型的意义
1.1 数学模型的内涵
数学模型是对实际问题的一种数学表述,是对于一个特定的对象为了一个特定目标,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。
数学不仅是一门理论科学,也是一门应用广泛的应用科学,没有数学模型的辅助分析,任何的定性分析都还有一定的不足。
在国际上,数学建模的分析结果更让人相信,日本更是如此,他们对问题的分析总是要通过量化来论证,定性分析被放到次要的位置。
实践也证明,数学模型对经济问题所作的定量分析是严谨的和慎密的,尤其在于重要经济的时间和数量等量化问题的决策上,是非常科学的。
1.2 数学模型在经济分析中的重要性
通常来说,数学并不能直接对经济现象的客观情况进行分析,而是必须通过建立数学模型,把经济现象通过数学语言进行转化,再应用数学的处理方法进行处理,把处理结果转化为经济结论。
因此,在这个分析过程中,数学经济模型把经济领域中的下乡用字母、数字和其他数学符号建立相应的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构,这样由定性的内容转化为定量的内容,它从量和形的侧面去考察实际问题,尽可能通过抽象、简化确定出主要的变量、参数,然后尽可能用实验的、观察的、历史的数据来检验,这就成为解决实际问题的真实过程。
这就使经济决策实现科学化和定量化,在当前对于决策要求越来越严谨、越严密的今天,数学建模应用于经济活动显得越来越重要,也成为经济主体提升自身竞争力的重要渠道。
如生产厂家可根据客户提出的产品数量、质量、交货期、交货方式、交货地点等要求,根据快速报价系统(根据厂家各种资源、生产成本、客户需求、产品工艺流程等数据进行数学经济建模)与客户进行协商。
可见,数学模型在经济上的应用比较直观、严谨,反应迅速,具有重要的意义。
2 基于数学模型谈积分在经济分析中应用
2.1 积分模型应用的原理
积分的应用是由人们在生产生活活动中,为了解决复杂和动态过程的量化累积而引入的。
在日常经济活动中,积分的应用也非常广泛,比如求总值(如总成本和总利润等),包括其他变量时间累计的总量,如求资金的现值和期值等。
这些经济活动内容涉及到很多个领域,且函数表达方式都有所不同,但它们的原理都是一样的。
积分变量为P(x)=∫xa,p’(x)dx+p(a)
根据上面原理,我们在经济活动中,如果要求总成本、总收益和总利润时可按上面原理进行推导:
总成本C(x)=∫x0C’(x)dx+C0,其中C0为固定成本;
总收益R(x)=∫x0R’(x)dx,其中R0为当x=0时的收益,故为0;
总利润L(x)=∫x0(R’-C’)dx-C0。
2.2 基于积分经济模型的再分析
其他模型按此类推,本文举例再说明:
某航空公司由于市场不断拓展,需要增加某种客机10辆,如果购买一架客机需要一次支付6000万美元,客机的使用寿命大概是15年,如果租用一架飞机,每年需要支付720万美元的租金,租金以均匀货币流的方式支付。
若银行的年利率为15%,问购买飞机与租用飞机哪种方案为佳?
如果年利率为10%,又应该采取哪个方案?
本例就是平常企业经营过程中经常要决策的内容之一,比如一些企业进行固定资产投资还是选择融资租赁,就要进行方案对比,此例两种方案无法直接比较,必须在同一时间进行价值比较。
均匀货币流的当前价值:
设t=0时在银行存入Ae-rt美元,按连续复利计算,t年之后在银行的存款额刚好是A美元,这就是根据期值和现值的计算来推导的。
因此,t年后存入的A美元在当前的现值为Ae-rt,那么,对流量为720万美元的均匀货币流,在[t,t+⊿t]存入的720e-rt⊿t美元。
在t从0到15年时,在[0,15]周期内均匀货币流的总货币值,即15年的租金总额合计为
P=∫150e-rtdt=720r[-ert]150=720r(1-e-15r)
当r=15%时,租金总额P=7200.15(1-e-0.12×15)4006.6万美元,这时租客机核算;
当r=10%时,租金总额P=7200.1(1-e-0.12×15)6009.9万美元,这时购买客机比较合算。
我们甚至可以根据租金额P=5000时计算出临界的年利率,高于此利润采取租客机,低于此利率则购买客机。
3 结束语
由上面的分析可知,对企业的经营和决策者来说,在经济分析中应用定量的方法,进行精确、严谨的决策,可以为决策者和经营者提供严谨的分析和新的思路,积分模型在经济应用中有较大的发展空间,尤其是当前计算机应用的不断推广,通过建立数学模型,并通过编程的方式进行专门的决策软件开发,是实现高效决策和科学决策的重要路径,也是企业提升自身竞争力的必由之路。
参考文献
[1]严坤妹.在经济应用数学基础教学中体现数学建模的思想[J].福建商业高等专科学校学报,2007,(12).
[2]郑玲.论数学模型在经济领域中的应用[J].商情(教育经济研究),2007,
(2).
[3]汪式铮.积分法在经济方面的作用[J].成都教育学院学报,2000,(3)
论微积分在经济分析中的应用
来源:
岁月联盟作者:
辛春元时间:
2010-06-24
摘 要:
微积分作为数学知识的基础 ,是学习学的必备知识 ,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用,边际成本、 边际收入、 边际利润并解释其经济意义, 寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。
?
关键词:
微积分;边际分析;弹性;成本;收入;利润;最大值;最小值?
1 导数在经济分析中的应用?
1.1 边际分析在经济分析中的的应用?
1.1.1 边际需求与边际供给?
设需求函数Q=f(p)在点p处可导(其中Q为需求量,P为商品价格),则其边际函数Q?
’=f?
’(p)称为边际需求函数,简称边际需求。
类似地,若供给函数Q=Q(P)可导(其中Q为供给量,P为商品价格),则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数,简称边际供给。
?
1.1.2 边际成本函数?
总成本函数C=C(Q)=C?
0+C?
1(Q);平均成本函数=(Q)=C(Q)Q;边际成本函数C?
’=C?
’(Q).C?
’(Q?
0)称为当产量为Q?
0时的边际成本,其经济意义为:
当产量达到Q?
0时,如果增减一个单位产品,则成本将相应增减C?
’?
’(Q?
0)个单位。
?
1.1.3 边际收益函数?
总收益函数R=R(Q);平均收益函数=(Q);边际收益函数R’=R’(Q).?
R’(Q?
0)称为当商品销售量为Q?
0时的边际收益。
其经济意义为:
当销售量达到Q?
0时,如果增减一个单位产品,则收益将相应地增减R?
’(Q?
0)个单位。
?
1.1.4 边际利润函数?
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q?
0)称为当产量为Q?
0时的边际利润,其经济意义是:
当产量达到Q?
0时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减L’(Q?
0)个单位。
?
例1 某每月生产Q(吨)产品的总成本C(千元)是产量Q的函数,C(Q)=Q?
2-10Q+20。
如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
?
解:
每月生产Q吨产品的总收入函数为:
?
R(Q)=20Q?
L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q?
2-1Q+20)?
=-Q?
2+30Q-20?
L’(Q)=(-Q?
2+30Q-20)’=-2Q+30?
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为?
L’(10)=-2×10+30=10(千元/吨);?
L’(15)=-2×15+30=0(千元/吨);?
L’(20)=-2×20+30=-10(千元/吨);?
以上结果表明:
当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元;当月产量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再增产1吨,利润反而减少1万元。
?
显然,企业不能完全靠增加产量来提高利润,那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢?
?
1.2 弹性在经济分析中的应用?
1.2.1 弹性函数?
设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比,当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率,或称为弹性函数。
记为EyEx•EyEx=?
lim?
δx→0
?
Δ?
yy?
Δ?
xx=?
lim?
δx→0?
Δ?
y?
Δ?
x.xy=f’(x)xf(x)
在点x=x?
0处,弹性函数值Ef(x?
0)Ex=f’(x?
0)xf(x?
0)称为f(x)在点x=x?
0处的弹性值,简称弹性。
EE?
xf(x?
0)%表示在点x=x?
0处,当x产生1%的改变时,f(x)近似地改变EE?
xf(x?
0)%。
?
1.2.2 需求弹性?
经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
?
对于需求函数Q=f(P)(或P=P(Q)),由于价格上涨时,商品的需求函数Q=f(p)(或P=P(Q))为单调减少函数,ΔP与ΔQ异号,所以特殊地定义,需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)?
例2 设某商品的需求函数为Q=e?
?
-p5?
,求
(1)需求弹性函数;
(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
?
解:
(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e?
?
-p5?
.pe?
?
-p5?
=p5;?
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2?
η(3)=0.6<1,说明当P=3时,价格上涨1%,需求只减少0.6%,需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
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η(5)=1,说明当P=5时,价格上涨1%,需求也减少1%,价格与需求变动的幅度相同。
?
η(6)=1.2>1,说明当P=6时,价格上涨1%,需求减少1.2%,需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
?
1.2.3 收益弹性?
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即?
R=PQ=Pf(p)?
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)?
所以,收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
?
这样,就推导出收益弹性与需求弹性的关系是:
在任何价格水平上,收益弹性与需求弹性之和等于1。
?
(1)若η<1,则EREP>0价格上涨(或下跌)1%,收益增加(或减少)(1-η)%;?
(2)若η>1,则EREP<0价格上涨(或下跌)1%,收益减少(或增加)|1-η|%;?
(3)若η=1,则EREP=0价格变动1%,收益不变。
?
1.3 最大值与最小值在问题中的应用?
最优化问题是经济管理活动的核心,各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一,例如,在一定条件下,使成本最低,收入最多,利润最大,费用最省等等。
下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
?
1.3.1 最低成本问题?
例3 设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx?
3-nx?
2+px,(常数m>0,n>0,p>0),
(1)问每批生产多少单位时,使平均成本最小?
(2)求最小平均成本和相应的边际成本。
?
解:
(1)平均成本(X)=C(x)x=mx?
2-nx+p,?
C’?
=2mx-n?
令?
C’?
,得x=n2m,而?
C’’?
(x)=2m>0。
所以,每批生产n2m个单位时,平均成本最小。
?
(2)(n2m)=m(n2m)?
2-n(n2m)+p=(4mp-n?
24m),又C’(x)=3mx?
2-2nx+p,C’(n2m)=3m(n2m)?
2-2m(n2m)+p=4mp-n?
24m所以,最小平均成本等于其相应的边际成本。
?
1.3.2 最大利润问题?
例4 设生产某产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,价格函数p=60-Q1000(Q为销售量),假设供销平衡,问产量为多少时,利润最大?
最大利润是多少?
?
解:
产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q?
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q?
21000?
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q?
21000+40Q-60000?
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000?
∵L’’(Q)=-1500
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