全等几何模型讲解.docx
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全等几何模型讲解.docx
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全等几何模型讲解
常见的几何模型
一、旋转主要分四大类:
绕点、空翻、弦图、半角。
这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。
1.绕点型(手拉手模型)
遇600旋600,造等边三角形
遇900旋900,造等腰直角
(1)自旋转:
自旋转构造方法
遇等腰旋顶角,造旋转全等
遇中点旋1800,造中心对称
例题讲解:
1.如图所示,P是等边三角形ABC内的一个点,PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的边长。
A
P
BC
2.如图,O是等边三角形ABC内一点,已知:
∠AOB=115°,∠BOC=125°,则以线段OA、
OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少?
A
O
BC
3.如图,P是正方形ABCD内一点,且满足PA:
PD:
PC=1:
2:
3,则∠APD=.
4.如图(2-1):
P是正方形ABCD内一点,点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别
为PA=1,PB=2,PC=3。
求此正方形ABCD面积。
(2)共旋转(典型的手拉手模型)
模型变形:
等边三角形共顶点
共顶点等腰直角三角形
共顶点等腰三角形
共顶点等腰三角形
例题讲解:
1.已知△ABC为边作菱形
为等边三角形,点
ADEF(按A,D,E,F
D为直线BC上的一动点(点D不与
逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.
B,C
重合),以
AD
(1)如图
1,当点
D在边
BC
上时,求证:
①
BD=CF?
②AC=CF+CD.
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD
不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
是否成立?
若
(3)如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,
CD之间存在的数量关系。
补全图形,并直接写出
AC、CF、
2.(13北京中考)
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=(060),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得
到线段BD。
(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;
(3)在
(2)的条件下,连结DE,若∠DEC=45°,求的值。
2.半角模型
说明:
旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为
二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
例题:
1.在等腰直角△ABCD的斜边上取两点M,N,使得∠MCN45,记AM=m,MN=x,BN=n,
求证以m,x,n为边长的三角形为直角三角形。
C
m
x
n
A
M
N
B
2.如图,正方形ABCD的边长为1,AB,AD上各存在一点P、Q,若△APQ的周长为2,求PCQ的度数。
DC
Q
A
P
B
3.E、F分别是正方形
ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF
45,AH
EF,H为
垂足,求证:
AH
AB.
A
D
F
H
BE
C
4.已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交
CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.
(1)如图①,当∠MAN点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:
AH=AB;
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,
(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?
如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用
(2)得到的结论)
5.已知:
正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易
证BM+DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关
系?
写出猜想,并加以证明.
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关
系?
请直接写出你的猜想.
6.(14房山2模).边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1),现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,AB边交DF于点M,BC边交DG于点N.
(1)求边DA在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当MN和AC平行时(如图2),求正方形ABCD旋转的度数;
(3)如图3,设MBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中,p值是否有变化?
请证明你的结论.
7.(2011石景山一模)已知:
如图,正方形ABCD中,AC,BD为对角线,将∠BAC绕顶点A逆
时针旋转α°(0<α<45),旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q,交BC,CD于
点E、点F,连接EF,EQ.
(1)在∠BAC的旋转过程中,∠AEQ的大小是否改变?
若不变写出它的度数;若改
变,写出它的变化范围(直接在答题卡上写出结果,不必证明);
(2)探究△APQ与△AEF的面积的数量关系,写出结论并加以证明.
8.已知在△ABC中,
ACB
90,CA
CB
62,CD
AB于D,点E在直线
CD
上,DE
1CD
,点F
在线段
AB上,M
是DB的中点,直线
AE与直线
CF
交于
N
点.
2
(1)如图1,若点E在线段CD上,请分别写出线段
关系:
___________,___________;
AE和
CM
之间的位置关系和数量
(2)在
(1)的条件下,当点
F
在线段
AD
上,且
AF
2FD
时,求证:
CNE
45
;
(3)当点
E
在线段
CD
的延长线上时,在线段
AB
上是否存在点
F
,使得
CNE
45
.若存在,请直接写出
AF
的长度;若不存在,请说明理由.
C
C
E
N
A
D
B
A
FD
M
B
图1
备用图
9.(2014平谷一模24)
(1)如图1,点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,∠EAF=45°,连接EF,
则EF、BE、FD之间的数量关系是:
EF=BE+FD.连结BD,交AE、AF于点M、N,且MN、
BM、DN满足MN2BM2DN2,请证明这个等量关系;
(2)在△ABC中,AB=AC,点D、E分别为BC边上的两点.
①如图2,当∠BAC=60°,∠DAE=30°时,BD、DE、EC应满足的等量关系是
②如图3,当∠BAC=,(0°<<90°),∠DAE=1时,BD、DE、EC应满足的等量关系
2
是___________.【参考:
sin2cos21】
注意:
2AM2
BM2
DM2
B
A
A
EM
N
CF
D
BD
EC
图1
图2
(1)在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∠ABM=∠ADN=45°.
把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到ADM.
连结NM.则
DMBM,AM'
AM,
ADMABM45,
DAM
BAM.
∵∠EAF=45°,∴∠BAM+∠DAN=45°,
∠DAM′+∠DAF=45°,
M'AN
MAN45.
∴AM'N≌AMN.∴M'N=MN.
在DM'N中,
M'DN
ADN
ADM'90,
M'N
2
DN2
DM'2
∴MN
2
DN2
BM2
(2)①DE2
BD2
BDEC
EC2;
②DE2
BD2
2cos
BDEC
EC2
A
BDEC
图3
BA
EM
N
M'
CFD
3.空翻模型
例题:
1.如图,点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点
(点B除外),作DMN
60,
射线MN与∠DBA外角的平分线交于点
N,DM与MN有怎样的数量关系?
D
D
N
G
N
A
M
B
E
A
M
B
E
【解析】猜测DMMN.过点M作MG∥BD交AD于点
又∵∠ADMDMA120,∠DMA∠NMB
∴∠ADM∠NMB,而∠DGM∠MBN120
∴DGM≌MBN,∴DMMN.
G,120,
AG
AM
,∴
GD
MB
2.如图,点M为正方形ABCD的边AB上任意一点,
交于点N,MD与MN有怎样的数量关系?
MN
DM
且与∠ABC外角的平分线
D
C
D
C
NN
AMBEAMBE
【解析】猜测DM
MN.在AD上截取AGAM,
∴DG
MB,∴∠AGM45
∴∠DGM∠MBN135,∴∠ADM
∠NMB,
∴DGM≌MBN,∴DMMN.
3.【探究发现】如图1,ABC是等边三角形,
AEF60,EF交等边三角形外角平分线CF
所在的直线于点
F.当点E是BC的中点时,有
AE=EF成立;
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通
过验证得出如下结论:
当点E是直线BC上(B,C除外)任意一点时(其它条件不变),结论
AE=EF仍然成立.
假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”;“点E是线段BC延
长线上的任意一点”;“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在备用图1中画出图形,并进行证明.
A
A
A
F
BEC
BCBC
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时,若
CE=BC,在备用图
2中画出图形,并运用上
述结论求出SABC:
SAEF的值.
4.弦图模型
外弦图内弦图总统图
例题:
1.两个全等的30°,60°三角板ADE,BAC,如右下图所示摆放,E、A、C在一条直线上,连接
BD,取BD的中点M,连接ME,MC.
(1)求证:
△EDM≌△CAM;
(2)求证:
△EMC为等腰直角三角形.
2.如图△ABC中,已知∠A=90°,AB=AC,
(1)D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:
∠ADB=∠CDF
(2)若D,M为AC上的三等分点,如图2,连BD,过A作AE⊥BD于点E,交BC于点F,
连MF,判断∠ADB与∠CMF的大小关系并证明.
3.(14朝阳二模)
已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.
(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明;
(2)如图2,E是直线BC上的一点,直线AE、CD相交于点P,且∠APD=45°,求证BD=CE.
FAA
P
B
B
CE
C
D
D
图1图2
二、对称全等模型
下图依次是450、300、22.50、150及有一个角是300直角三角形的对称(翻折),翻折成正方
形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
B
A
A
F
P1
E
F
P
P3
B
D
C
E
A
C
B
D
C
G
G
P2
A
A
E
BDC
例题:
F
E
BDC
1.如图1,在△ABC中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴,
画出△ABD、△ACD的轴对称图形,D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交于G点,得到四
边形AEGF是正方形.设AD=x,利用勾股定理,建立关于x的方程模型,求出x的值.
参考小萍的思路,探究并解答新问题:
如图2,在△ABC中,∠BAC=30°,AD⊥BC于D,AD=4.请你按照小萍的方法画图,得到四
边形AEGF,求△BGC的周长.(画图所用字母与图1中的字母对应)
2.问题:
已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,点D是△ABC内一点,且AD=CD,BD=BA.探究∠DBC
与∠ABC度数的比值.
请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.
(1)当∠BAC=90°时,依问题中的条件补全右图.观察图形,AB与AC的数量关系为_______;
当推出∠DAC=15°时,可进一步推出∠DBC的度数为_________;
可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.
(2)当∠BAC≠90°时,请你画出图形,研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与
(1)中的结
论相同,写出你的猜想并加以证明.
B
CA
做人最好状态是懂得尊重,不管他人闲事,不晒自己优越,也不秀恩爱。
你越成长越懂得内敛自持,这世界并非你一人存在。
做人静默,不说人坏话,做好自己即可。
不求深刻,只求简单。
你活着不是只为讨他人喜欢,也不是为了炫耀你拥有的,没人在乎,更多人在看笑话。
你变得优秀,你身边的环境也会优化。
3.从今天开始,帮自己一个忙,不再承受身外的目光,不必在意他人的评价,为自己活着。
从今天开始,帮自己一个忙,做喜欢的事情,爱最亲近的人,想笑就大笑,想哭就痛哭,不再束缚情感的空间,让自己活得轻松些。
4.很多你觉得天大的事情,当你急切地向别人倾诉时,在别人眼中也是个小事,他最多不痛不痒呵呵地应和着。
因为他不是你,他无法感知你那种激烈的情绪。
直到有一天,你觉得无需再向别人提起,你就已经挽救了你自己。
这世界上除了你自己,没谁可以真正帮到你。
5,我们总是带着面具走进爱情的,总想展示自己最优越的一面,你要接受一个人,不只是接受他的优越,而是看清了他的平凡普通却仍然去深爱。
事实经常是:
我们走着走着,就感觉对方变了,其实我们并没有变,我们只是走进对方最真实的地方,然后迷失了自己。
6.我捧你,你就是杯子,我放手,你就是玻璃渣子。
无论是恋人还是朋友,珍惜在你每一次难过、伤心时都陪伴在你身边的人。
珍惜经常和你开玩笑的人,说明你在这个人的心中肯定有一定的分量。
珍惜在你心情不好时第一个发现的人。
7.今天再大的事,到了明天就是小事;今年再大的事,到了明年就是故事;今生再大的事,到了来世就是传说。
人生如行路,一路艰辛,一路风景。
你目光所及,就是你的人生境界。
总是看到比自己优秀的人,说明你正在走上坡路;总是看到不如自己的人,说明你正在走下坡路。
与其埋怨,不如思变。
8.归零是一种积极的心态。
所有的成败相对于前一秒都是一种过去。
过去能支撑未来,却代替不了明天。
学会归零,是一种积极面向未来的意识。
把每一天的醒来都看作是一种新生,以婴儿学步的态度,认真用好睡眠以前的时刻。
归零,让坏的不影响未来,让好的不迷惑现在。
9.总有一天,你会与那个对的人不期而遇:
所谓的幸福,从来都是水到渠成的。
它无法预估,更没有办法计算,唯一能做得是:
在遇见之前保持相信,在相遇之后寂静享用。
宁可怀着有所期待的心等待下去,也不愿去对岁月妥协,因为相信幸福也许会迟到,但不会缺席。
做人最好状态是懂得尊重,不管他人闲事,不晒自己优越,也不秀恩爱。
你越成长越懂得内敛自持,这世界并非你一人存在。
做人静默,不说人坏话,做好自己即可。
不求深刻,只求简单。
你活着不是只为讨他人喜欢,也不是为了炫耀你拥有的,没人在乎,更多人在看笑话。
你变得优秀,你身边的环境也会优化。
3.从今天开始,帮自己一个忙,不再承受身外的目光,不必在意他人的评价,为自己活着。
从今天开始,帮自己一个忙,做喜欢的事情,爱最亲近的人,想笑就大笑,想哭就痛哭,不再束缚情感的空间,让自己活得轻松些。
4.很多你觉得天大的事情,当你急切地向别人倾诉时,在别人眼中也是个小事,他最多不痛不痒呵呵地应和着。
因为他不是你,他无法感知你那种激烈的情绪。
直到有一天,你觉得无需再向别人提起,你就已经挽救了你自己。
这世界上除了你自己,没谁可以真正帮到你。
5,我们总是带着面具走进爱情的,总想展示自己最优越的一面,你要接受一个人,不只是接受他的优越,而是看清了他的平凡普通却仍然去深爱。
事实经常是:
我们走着走着,就感觉对方变了,其实我们并没有变,我们只是走进对方最真实的地方,然后迷失了自己。
6.我捧你,你就是杯子,我放手,你就是玻璃渣子。
无论是恋人还是朋友,珍惜在你每一次难过、伤心时都陪伴在你身边的人。
珍惜经常和你开玩笑的人,说明你在这个人的心中肯定有一定的分量。
珍惜在你心情不好时第一个发现的人。
7.今天再大的事,到了明天就是小事;今年再大的事,到了明年就是故事;今生再大的事,到了来世就是传说。
人生如行路,一路艰辛,一路风景。
你目光所及,就是你的人生境界。
总是看到比自己优秀的人,说明你正在走上坡路;总是看到不如自己的人,说明你正在走下坡路。
与其埋怨,不如思变。
8.归零是一种积极的心态。
所有的成败相对于前一秒都是一种过去。
过去能支撑未来,却代替不了明天。
学会归零,是一种积极面向未来的意识。
把每一天的醒来都看作是一种新生,以婴儿学步的态度,认真用好睡眠以前的时刻。
归零,让坏的不影响未来,让好的不迷惑现在。
9.总有一天,你会与那个对的人不期而遇:
所谓的幸福,从来都是水到渠成的。
它无法预估,更没有办法计算,唯一能做得是:
在遇见之前保持相信,在相遇之后寂静享用。
宁可怀着有所期待的心等待下去,也不愿去对岁月妥协,因为相信幸福也许会迟到,但不会缺席。
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