圆锥曲线中焦点三角形问题Word文档下载推荐.docx
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解,,
小结:
解此类题关键是运用圆锥曲线的定义。
二、面积问题
例2是椭圆的两个焦点,是椭圆上任一点,求的面积。
解设
由椭圆定义可知,。
在中,运用余弦定理有
可得,。
(1)
由此类比双曲线可得到
是椭圆的两个焦点,是椭圆上任一点,求的面积。
(2)
公式
(1)、
(2)对于焦点在轴上的椭圆和双曲线同样成立。
此结论一般称为焦点三角形的面积公式,一般运用于客观题的解题。
求解圆锥曲线中的面积问题一般会利用余弦定理来求解。
在解圆锥曲线的问题中,有些选择题或填空题,如果用常规方法去解题,无疑是小题大做,这在考试特别是高考中,是非常不可取的。
运用特殊解法,不但可以节省时间,还可提高准确率。
例3已知双曲线方程为,是双曲线的两个焦点,是双曲线上任一点,求的面积。
分析若是客观题,可直接代入焦点三角形面积公式得:
三、最值问题
例4已知椭圆方程为,分别为其左右两焦点,为椭圆上任意一点,,
求
(1)的最大值;
(2)面积的最大值;
(3)的周长的最大值。
解
(1)法一设由椭圆定义可知,。
在中,运用余弦定理有
又,(当且仅当时等号成立)
又因当时,单调递减,
且在时,取得最大值或者
又时,取得最大值。
即位于椭圆短轴端点时,取得最大值。
法二设,由焦半径公式可知:
,
在中,
=
(2)过点作的垂线,垂足为。
令。
,当为最大时,三角形的面积取得最大值。
即当位于椭圆短轴端点时,三角形面积取得最大值。
(3)据椭圆的定义有,,则的周长为。
即的周长无最大值。
小结:
解焦点三角形有关的最值问题,主要是利用圆锥曲线的第一定义,并借助正弦定理、余弦定理以及均值定理和函数的单调性等来解决。
四、离心率问题
例5是椭圆的两个焦点,是椭圆上任一点,,求椭圆的离心率。
解
已知“焦点三角形”的两个角,求其离心率,一般利用正弦定理、等比定理、椭圆的定义及三角函数等有关知识来求解。
双曲线也有类似结论。
例6已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则
证明:
设则在中,由余弦定理得:
命题得证。
例7已知椭圆的焦点是F1(-1,0)、F2(1,0),P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点P在第三象限,且∠PF1F2=120°
,求tanF1PF2.
解:
(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|
∴2a=4,又2c=2,∴b=
∴椭圆的方程为=1.
(2)设∠F1PF2=θ,则∠PF2F1=60°
-θ
椭圆的离心率
则,
整理得:
5sinθ=(1+cosθ)
∴故,tanF1PF2=tanθ=.
参考文献
1.俞新龙.破解圆锥曲线焦点三角形问题【J】.数学导学.2013.
2.吴成强.圆锥曲线中“焦点三角形”有关问题研究【J】.中学数学杂志.2009(5).
3.刘豪.圆锥曲线中焦点三角形几个问题的解法【J】.林区教学.2008(133).
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