学年最新人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》同步练习3及答案精品试题.docx
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学年最新人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》同步练习3及答案精品试题
《二次函数与一元二次方程》同步习题
一、课前预习
1.二次函数y=-x2+4x-3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于C点,则△ABC的面积为()
A.6B.4C.3D.1
2.当a>0,Δ=b2-4ac__________0时,二次函数y=ax2+bx+c的值恒为正;当a__________0,Δ=b2-4ac__________0时,二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负.
3.已知一抛物线与x轴的交点为A(-1,0)、B(m,0),且过第四象限内的点C(1,n),而m+n=-1,mn=-12,则此抛物线关系式是__________.
二、课中强化
1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)和直线y=kx+d(k≠0)有两个交点的条件是__________,只有一个交点的条件是__________,没有交点的条件是__________.
2.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),x1 3.利用图象求下列一元二次方程的近似值. (1)x2+x-10=0; (2)2x2-3x+1 4.已知抛物线y=x2+(n-3)x+n+1经过坐标原点O. (1)求这条抛物线的顶点P的坐标; (2)设这条抛物线与x轴的另一个交点为A,求以直线PA为图象的一次函数的解析式. 5.已知抛物线y=x2-mx+ 与抛物线y=x2+mx- m2在平面直角坐标系中的位置如图26-2-1,其中一条与x轴交于A、B两点. (1)试判断哪一条抛物线经过A、B两点? 并说明理由. (2)若A、B两点到原点的距离OA、OB满足 ,求经过A、B两点的抛物线的关系式. 图26-2-1 三、课后巩固 1.二次函数的二次项系数为2,它与x轴交点的横坐标分别为1和4,则二次函数的解析式是() A.y=2(x-4)(x+2)B.y=2(x+4)(x-1) C.y=2(x-4)(x-1)D.y=2(x-4)(x+1) 2.已知抛物线的顶点到x轴的距离为3,且与x轴两交点的横坐标为4、2,则该抛物线的关系式为__________________. 3.求下列二次函数与x轴的交点: (1)y=x2+4x-5; (2)y=-x2+x+2;(3)y=x2-3x;(4)y=x2-6x+10. 4.已知二次函数的图象经过点A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m. (1)若m为定值,求此二次函数的解析式; (2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围. 5.如图26-2-2,抛物线y= (x+1)2-2, (1)设此抛物线与x轴交点为A、B(A在B的左边),请你利用图象求出A、B两点的坐标; (2)有一条直线y=x-1,试利用图象法求出该直线与抛物线的交点坐标; (3)P是抛物线上的一个动点,问是否存在一点P,使S△ABP=2? 若存在,则有几个这样的点P? 并写出它们的坐标. 图26-2-2 6.已知抛物线y=2x2和直线y=ax+5. (1)求证: 抛物线与直线一定有两个不同的交点; (2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线与直线的两个交点,点P是线段AB的中点,且点P的横坐标为 ,试用含a的代数式表示点P的纵坐标; (3)设A,B两点的距离d= ·|x1-x2|,试用含a的代数式表示d. 7.画出函数y=x2-4x-3的图象,根据图象回答下列问题: (1)图象与x轴交点的坐标是什么? (2)方程x2-4x-3=0的解是什么? (3)不等式x2-4x-3>0,x2-4x-3<0的解是什么? 8.某医药研究所进行某一新药研发,经过大量的服用试验知: 成年人按规定剂量服用后,每毫升血液中药物含量y微克(1微克=10-3毫克),随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)相吻合,并测得服用时每毫升血液中药物含量为0微克,服用2小时后每毫升血液中药物含量为6微克;服用3小时后,每毫升血液中药物含量为7.5微克. (1)试求出y与x的函数关系,并画出0≤x≤8内的图象. (2)求服用后几小时,才能使每毫升血液中药物含量最大? 并求出血液中的最大药物含量. (3)结合图象说明一次服药后的有效时间是多少? (有效时间是血液中药物含量不为0的总时间) 9.已知二次函数y=x2+px+q(p,q为常数,Δ=p2-4q>0)的图象与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且A,B两点间的距离为d,例如,通过研究其中一个函数y=x2-5x+6及图象(如图26-2-3),可得出表中第2行的相关数据. y=x2+px+q p q Δ x1 x2 d y=x2-5x+6 -5 6 1 2 3 1 y=x2- x y=x2+x-2 -2 -2 3 (1)在表内的空格中填上正确的数; (2)根据上述表内d与Δ的值,猜想它们之间有什么关系? 再举一个符合条件的二次函数,验证你的猜想; (3)对于函数y=x2+px+q(p,q为常数,Δ=p2-4q>0)证明你的猜想. 图26-2-3 10.已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m (1)求这个抛物线的解析式; (2)设 (1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标和△BCD的面积;〔注: 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为( )〕 (3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为23的两部分,请求出P点的坐标. 图26-2-4 参考答案 一、课前预习 1.答案: C 解析: 解方程-x2+4x-3=0,得A、B为(1,0)、(3,0),当x=0时,y=-3,所以C为(0,-3),所以△ABC的面积为 ×3(3-1)=3. 2.答案: <<< 解析: 当a>0时,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,若与x轴无交点,则其值恒为正;当a<0时,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,若与x轴无交点,则其值恒为负. 3.答案: y=x2-2x-3 解析: 由题意,得m、n为方程x2+x-12=0的两根,∴ 解得m=-4,n=3或m=3,n=-4.又∵(1,n)在第四象限,∴n<0. ∴m=3,n=-4,即B(3,0),C(1,-4). 设抛物线的关系式为y=a(x-3)(x+1).把(1,-4)代入上式,得 -4=a(1-3)(1+1), ∴-4a=-4.∴a=1. ∴y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3. 二、课中强化 1.答案: (b-k)2-4a(c-d)>0;(b-k)2-4a(c-d)=0;(b-k)2-4a(c-d)<0 解析: 图象有无交点或有几个交点,取决于两个方程组的解的情况. 2.答案: x>x2或x 解析: 抛物线在x轴上方的范围是y>0,抛物线在x轴下方的范围是y<0,抛物线上的点在x轴上时y=0,对应的x的范围分别为x>x2或x 3.解: 略. 解析: 作图象要尽量精确一些,与x轴的交点的横坐标即为方程的近似值. 4.解: (1)∵抛物线y=x2+(n-3)x+n+1经过原点,∴n+1=0.∴n=-1. 得y=x2-4x,即y=x2-4x=(x-2)2-4. ∴抛物线的顶点P的坐标为(2,-4). (2)根据题意,得点A的坐标为(4,0). 设所求的一次函数解析式为y=kx+b.根据题意,得 解得 ∴所求的一次函数解析式为y=2x-8. 5.解析: (1)经过A、B两点的抛物线的Δ>: (2)可根据一元二次方程根与系数关系来解. 解法一: (1)y=x2-mx+ 中Δ1=m2-2m2=-m2. ∵抛物线不过原点,∴m≠0.∴-m2<0.∴Δ1<0. ∴抛物线y=x2-mx+ 与x轴无交点. ∴y=x2+mx- m2经过A、B两点. (2)设A(x1,0),B(x2,0),则x1<0,x2>0, ∴OA=-x1,OB=x2. 又∵ ∴ , 即3(x1+x2)=2x1x2. 又∵x1、x2是方程x2+mx- m2=0的两根,∴x1+x2=-m,x1x2=- m2. ∴-3m= m2.∴m1=0(不符合题意,舍去),m2=2. ∴经过A、B两点的抛物线为y=x2+2x-3. 解法二: (1)∵两条抛物线都不过原点, ∴m≠0.抛物线y=x2-mx+ 与y轴交于(0, ). ∵ >0,∴抛物线y=x2-mx+ 不经过A、B点. 抛物线y=x2+mx- m2与y轴交于(0,- m2),- m2<0, ∴抛物线y=x2+mx- m2经过A、B两点. (2)同解法一中的 (2). 三、课后巩固 1.答案: C 解析: 由二次函数两点式y=a(x-x1)(x-x2),a=2,x1=1,x2=4即得. 2.答案: y=-3x2+18x-24或y=3x2-18x+24 解析: 已知两个特殊点及一个关系,可用y=a(x-x1)(x-x2)或一般式求其解析式. ∵抛物线与x轴交于(4,0),(2,0), ∴设y=a(x-4)(x-2)=a(x2-6x+8)=ax2-6ax+8a. 顶点到x轴距离为3,即顶点纵坐标为3或-3, ∴ =3或 =-3. 解得a=-3或a=3.∴y=-3x2+18x-24或y=3x2-18x+24. 注意: 顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况. 3.解析: 令y=0,求解关于x的一元二次方程. 答案: (1)(1,-5); (2)(-1,2);(3)(0,3);(4)不存在. 注意: 顶点到x轴距离分顶点在x轴上方和下方两种情况. 4.解: (1)设该二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把点A(1,0)、B(2,1)和c=m代入,得 所以,解析式为y= x2- x+m(m≠-1). (2)二次函数与x轴有两个相异的交点,即 Δ=b2-4ac=( )2-4m( )>0, 解得m≠1.又m≠-1,得m≠±1. 5.解: (1)A(-3,0),B(1,0). (2)交点坐标为(1,0)和(-1,-2). (3)设P点坐标为(a,b),则△ABP中,AB边上的高为|b|, 又S△ABP=2,从而得|b|=1.把b=1,b=-1分别代入抛物线解析式可求得P点坐标分别为 P( -1,1);P( -1,1);P( -1,-1);P( -1,-1). 6.解: (1)将y=ax+5代入y=2x2,消去y得2x2-ax-5=0, ∵Δ=(-a)2-4×2×(-5)=a2+40>0,∴方程有两个不相等的实数根. ∴不论a取何值,抛物线与直线一定有两个不同的交点. (2)∵x1、x2是方程2x2-ax-5=0的两个根,∴x1+x2= x1x2= . 点P的纵坐标为 (x1+x2)+5= · +5= +5. (3)∵x1+x2= x1x2= . ∴|x1-x2|= . ∴d= = . 7.解: 图象如图所示. (1)x1≈4.6,x2≈-0.65, ∴抛物线与x轴交点坐标为(4.6,0),(-0.65,0). (2)x1≈4.6,x2≈-0.65. (3)不等式x2-4x-3>0的解为x<-0.65或x>4.6; 不等式x2-4x-3<0的解为-0.65 8.解: (1)由题意得,函数图象经过(0,0),(2,6),(3,7.5),将它们代入y=ax2+bx+c, 得 解之,得 所以y=- x2+4x. (2)y=- x2+4x y=- (x-4)2+8, 所以x=4时,y最大=8. (3)当y=0时,x1=8,x2=0(舍去). 9.解: (1)第二行q=0,x1=0;d= ;第三行p=1,△=9,x2=1; (2)猜想: d2=Δ. 例如: y=x2-x-2中,p=-1,q=-2,Δ=9; 由x2-x-2=0得x1=2,x2=-1,d=3,d2=9, ∴d2=Δ. (3)证明: 令y=0,得x2+px+q=0,∵Δ>0, 设x2+px+q=0的两根为x1,x2.则x1+x2=-p,x1·x2=q. d2=(|x1-x2|)2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-p)2-4q=p2-4q=Δ. 10.解: (1)解方程x2-6x+5=0,得x1=5,x2=1.由m 得 解这个方程组得 所以,抛物线的解析式为y=-x2-4x+5. (2)由y=-x2-4x+5,令y=0,得-x2-4x+5=0,解这个方程得x1=-5,x2=1, 所以C点的坐标为(-5,0).由顶点坐标公式计算得点D(-2,9). 过D作x轴的垂线交x轴于M.则S△DMC= ×9×(5-2)= , S梯形MDBO= ×2×(9+5)=14,S△BOC= ×5×5= , 所以,S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC-S△BOC=14+ - =15. (3)设P点的坐标为(a,0), 因为线段BC过B、C两点,所以BC所在的直线方程为y=x+5. 那么,PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5), PH与抛物线y=-x2-4x+5的交点坐标为H(a,-a2-4a+5). 由题意,得①EH= EP,即(-a2-4a+5)-(a+5)= (a+5). 解这个方程,得a=- 或a=-5(舍去). ②EH= EP,即(-a2-4a+5)-(a+5)= (a+5), 解这个方程,得a=- 或a=-5(舍去),P点的坐标为(- 0)或(- 0).
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