最短路径之将军饮马问题1Word格式.docx
- 文档编号:7731760
- 上传时间:2023-05-09
- 格式:DOCX
- 页数:8
- 大小:118.16KB
最短路径之将军饮马问题1Word格式.docx
《最短路径之将军饮马问题1Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最短路径之将军饮马问题1Word格式.docx(8页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
由静态到动态,训练学生的灵动思维和应变能力。
在解决问题过程中,考察数学“化折为直〞的建模思想,以及类比转化思想和数形结合思想。
二、教学重难点
(一)、教学重点
利用对称思想,解决轴对称——最短路径问题。
(二)教学难点
在解决问题过程中,考察数学“化折为直〞的建模思想,以及类比转化思想和数形结合思想。
三、教学过程
(一)、回忆旧识,建立模型
“将军饮马〞问题是初中数学教学的重点内容之一,相传古希腊时期,有一位将军向著名的数学家海伦请教一个问题:
将军每天参军营A出发,先去河边饮马,再去驻地B开会,如何选择饮马点,才能使所走路程最短?
这就是著名的将军饮马问题,利用对称思想,解决轴对称——最短路径问题,是中考中常见的一种数学模型。
(二)、利用模型,解决问题
〔人教版八年级上册第十三章的复习题第十五题〕
15.如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到B处,请画出最短路径.
首先利用轴对称,可以把其中一点转化为直线的另一侧。
如图2所示,点B关于直线l的对称点B’,连接AB’交直线l于点P,此时折线AP+BP转化为了线段AB’。
要求AE+EF+BF的最小值,只要分别确定点A,B关于直线MN和NL的对称点A’和B’,连接A’B’,即可得出点
E和F的位置,利用轴对称得出点的位置是解题的关键。
将直线同侧的两点转化为异侧,连接这两点,与直线相交,从而解决问题。
(三)、变式练习,灵活应用
知识拓展,举一反三是数学学习要到达对目的之一,将军饮马问题还可以与三角形、四边形、圆和抛物线等相结合综合考察学生分析问题和解决问题的能力。
如:
1.如图,AM⊥EF,BN⊥EF,垂足为M、N,MN=12m,AM=5m,BN=4m,P是EF上任意一点,那么PA+PB的最小值是______m.
分析:
这是最根本的将军饮马问题,A,B是定点,P是动点,属于两定一动将军饮马型,根据常见的“定点定线作对称〞,可作点A关于EF的对称点A’,根据两点之间,线段最短,连接A’B,此时A’P+PB即为A’B,最短.而要求A’B,那么需要构造直角三角形,利用勾股定理解决.
下列图,将边长为6的正三角形纸片ABC按如下如顺序进行两次折叠,展平后,得折痕AD、BE,点O为其交点.
假设P、N分别为BE、BC上的动点.
〔1〕如图5,当PN+PD的长度取得对小值时,求BP的长度;
〔2〕如图6,假设点Q在线段BO上,BQ=1,求QN+NP+PD的最小值.
这是将军饮马问题的常见变式.
(1)点D是定点,P、N是动点,属于“一定两动〞将军饮马型,根据常见的“定点定线作对称〞,可作点D关于BE的对称点D’,根据垂线段最短,过D’做BC的垂线,分别交BE、BC于点P、D,如图7,此时D’P+PN即为D’N,得到PN+PD最短.而要求BP,可以放在
BPN中,利用锐角三角函数解决.
(2)如图8所示。
点D、Q是定点,P、N是动点,属于“两定两动〞将军饮马型,根据常见的“定点定线作对称〞,可分别作点D关于BE的对称点D’,点Q关于BD的对称点Q’,根据两点之间,线段最短,连接D’、Q’,分别交BE、BD于点P、N,如图8,此时D’P+PN+NQ’即为D’Q’,最短.而要求D’Q’,可以先证明△D’BQ’为直角三角形,然后利用勾股定理解决.
(3)
3、如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P是满足,那么点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值是______.
4、如图11所示,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,那么这个最小值为_______.
5、如图13,抛物线经过点A(-2,0),B(4,0),并与过点A的直线交于点C.
〔1〕求抛物线解析式及对称轴;
〔2〕在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACPO的周长最小?
假设存在,求出点P的坐标;
假设比存在,请说明理由.
(1)易知抛物线;
〔2〕四边形ACPO的周长的两边OA、AC是定值,假设要使其周长最小,只需要使CP+PO得值最小。
点O、C是定点,P在抛物线的对称轴上的动点,属于“两定一动〞将军饮马
型,根据常见的“定点定线作对称〞.如图14,作点O关于抛物线对称轴的对称点O’,连接O’C,交对称轴于点P,此时O’C即为PO+PC的和最小值。
而要求O’C,只需要在
O’OC,利用勾股定理解决.
综上所述,将军饮马模型以及拓展主要有以下几种:
四、归纳总结
问题分类
作法
图形
原理
在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.
作B关于l的对称点B’,连AB’交点即为P.
两点之间线段最短,PA+PB的最小值即为AB’.
在
上分别求点M、N,使得△PMN周长最小。
分别做点P关于
的对称点
连接
与两直线交点即为M、N.
两点之间线段最短,PM+PN+MN的最小值即为
.
上分别求点M、N,使得四边形PQMN周长最小。
分别做点Q、P关于
两点之间线段最短,四边形PQMN周长最小值即为
五、作业布置
结合做过的中考试卷,找出两道有关“将军饮马〞模型的题目,写在作业本上。
六、板书设计
标题
总结归纳
根本模型
课件
播放
归纳1
归纳2
归纳3
七、课后反思
掌握问题模型的本质,将模型巧妙变化以寻求解决问题培养学生举一反三、灵活应用、独立思考的能力。
在学生理解数学知识、数学思想与数学方法的同时,又能提高能力,也培养了学生的发散性思维和创新能力,有效减轻学生的学习负担,提高学生的数学素养。
通过一题多变,再到百变归一,做到触类旁通,最终实现“做一题、会一类〞的目的,能够深挖教材,能够从教材这个“源头〞挖掘出源源不断的活水。
九年级1班邢中菡
2021年6月1日星期一
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 路径 将军 饮马 问题
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)