届高考数学理二轮复习江苏专用习题专题一Word格式文档下载.docx
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(ⅱ)常见判定方法:
①定义法:
取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有:
通分、配方、因式分解;
②图象法;
③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;
④导数法.
(2)奇偶性:
①若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);
②若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0;
③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性;
(3)周期性:
常见结论有①若y=f(x)对x∈R,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
②若y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2|a|的周期函数;
③若y=f(x)是奇函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4|a|的周期函数;
④若f(x+a)=
-f(x),则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数.
2.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:
一是描点法;
二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时,要注意结合其图象研究.
3.求函数值域有以下几种常用方法:
(1)直接法;
(2)配方法;
(3)基本不等式法;
(4)单调性法;
(5)求导法;
(6)分离变量法.除了以上方法外,还有数形结合法、判别式法等.
4.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:
①直接解方程法;
②利用零点存在性定理;
③数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
5.应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒
与函数有关的应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.
热点一 函数性质的应用
【例1】
(1)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为________(从小到大排序).
(2)(2016·
全国Ⅱ卷改编)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=________.
解析
(1)由f(x)=2|x-m|-1是偶函数可知m=0,
所以f(x)=2|x|-1.
所以a=f(log0.53)=2|log0.53|-1=2log23-1=2,
b=f(log25)=2|log25|-1=2log25-1=4,
c=f(0)=2|0|-1=0,所以c<
a<
b.
(2)由题设得(f(x)+f(-x))=1,点(x,f(x))与点(-x,f(-x))关于点(0,1)对称,则y=f(x)的图象关于点(0,1)对称.
又y==1+,x≠0的图象也关于点(0,1)对称.
则交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)成对出现,且每一对关于点(0,1)对称.
则
=
+
=0+×
2=m.
答案
(1)c<a<b
(2)m
探究提高
(1)可以根据函数的奇偶性和周期性,将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.
(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴).
【训练1】
(1)(2015·
全国Ⅰ卷)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=________.
四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<
x<
1时,f(x)=4x,则f+f
(1)=________.
解析
(1)f(x)为偶函数,则ln(x+)为奇函数,
所以ln(x+)+ln(-x+)=0,
即ln(a+x2-x2)=0,∴a=1.
(2)因为f(x)是周期为2的奇函数,
所以f
(1)=f(-1)=-f
(1),
即f
(1)=0,
又f=f=-f=-4=2,
从而f+f
(1)=-2.
答案
(1)1
(2)-2
热点二 函数图象的应用
【例2】
(1)(2016·
苏北四市调研)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则实数a的取值范围是________.
(2)(2015·
全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<
1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<
0,则实数a的取值范围是________.
解析
(1)函数y=|f(x)|的图象如图.y=ax为过原点的一条直线,
当a>0时,与y=|f(x)|在y轴右侧总有交点,不合题意;
当a=0时成立;
当a<0时,找与y=|-x2+2x|(x≤0)相切的情况,
即y′=2x-2,切线方程为y=(2x0-2)(x-x0),由分析可知x0=0,所以a=-2,综上,a∈[-2,0].
(2)设
g(x)=ex(2x-1),h(x)=ax-a,由题知存在唯一的整数x0,使得g(x0)<ax0-a,
因为g′(x)=ex(2x+1),可知g(x)在上单调递减,在上单调递增,作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示,故
即所以≤a<
1.
答案
(1)[-2,0]
(2)
探究提高
(1)涉及到由图象求参数问题时,常需构造两个函数,借助两函数图象求参数范围.
(2)图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
【训练2】(2016·
苏、锡、常、镇调研)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f
(2)=0,则不等式<
0的解集为________.
由奇函数的定义和f
(2)=0得出函数在(-∞,0)上也为增函数.画出函数草图(如图),可得在(-2,0)和(2,+∞)上f(x)>
0,在(-∞,-2)和(0,2)上f(x)<
0.当x>
0时,由<
0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)<
0,结合图象可知(0,2)符合;
当x<
0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)>
0,结合图象可知(-2,0)符合.
答案 (-2,0)∪(0,2)
热点三 函数与方程问题
[微题型1] 函数零点个数的求解
【例3-1】(2016·
南京、盐城模拟)函数f(x)=4cos2·
cos-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为________.
解析 f(x)=4cos2sinx-2sinx-|ln(x+1)|=2sinx·
-|ln(x+1)|=
sin2x-|ln(x+1)|,令f(x)=0,得sin2x=|ln(x+1)|.在同一坐标系中作出两个函数y=sin2x与函数y=|ln(x+1)|的大致图象如图所示.
观察图象可知,两函数图象有2个交点,故函数f(x)有2个零点.
答案 2
探究提高 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
[微题型2] 由函数的零点(或方程的根)求参数
【例3-2】
(1)(2016·
南京三模)设函数f(x)=
g(x)=f(x)-b.若存在实数b,使得函数g(x)恰有3个零点,则实数a的取值范围为________.
(2)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是________.
解析
(1)当f(x)=时,f′(x)=,由f′(x)=0得x=2,且当x<2时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x>2时,f′(x)<0,f(x)单调递减,则当x=2时,f(x)有极大值f
(2)=.当-x-1=时,x=-1-.
结合图象可得当存在实数b使得g(x)=f(x)-b恰有3个零点时,-1-<a<2.
(2)函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,即方程f(x)-g(x)=0,即b=f(x)+f(2-x)有4个不同实数根,即直线y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点,又y=f(x)+f(2-x)=
作出该函数的图象如图所示,
由图可知,当<b<2时,直线y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点,故函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点时,b的取值范围是.
答案
(1)
(2)
探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.
【训练3】(2016·
泰州调研)设函数f(x)=x2+3x+3-a·
ex(a为非零实数),若f(x)有且仅有一个零点,则a的取值范围为________.
令f(x)=0,可得=a,
令g(x)=,则g′(x)=
=-,令g′(x)>0,可得x∈(-1,0),令g′(x)<0,可得x∈(-∞,-1)∪(0,+∞),所以g(x)在(-1,0)上单调递增,在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递减.由题意知函数y=g(x)的图象与直线y=a有且仅有一个交点,结合y=g(x)及y=a的图象可得a∈(0,e)∪(3,+∞).
答案 (0,e)∪(3,+∞)
热点四 函数的实际应用问题
【例4】(2016·
江苏卷)
现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?
解
(1)V=×
62×
2+62×
2×
4=312(m3).
(2)设PO1=x,则O1B1=,B1C1=·
,
∴S正方形A1B1C1D1=2(62-x2).
又由题意可得下面正四棱柱的高为4x,
则仓库容积V=x·
2(62-x2)+2(62-x2)·
4x=
x(36-x2).由V′=0得x=2或x=-2(舍去).
由实际意义知V在x=2(m)时取到最大值,
故当PO1=2(m)时,仓库容积最大.
探究提高
(1)关于解决函数的实际应用问题,首先要在阅读上下功夫,一般情况下,应用题文字叙述比较长,要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去.
(2)对函数模型求最值的常用方法:
单调性法、基本不等式法及导数法.
【训练4】(2016·
南京学情调研)某市对城市路网进行改造,拟在原有a个标段(注:
一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上,新建x个标段和n个道路交叉口,其中n与x满足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m万元,新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.
(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式;
(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%,且k≥3.问:
P能否大于,说明理由.
解
(1)依题意得y=mkn=mk(ax+5),x∈N*.
(2)法一 依题意x=0.2a,
所以P====
≤=≤=<.
P不可能大于.
法二 依题意x=0.2a,
所以P====.
假设P>,则ka2-20a+25k<0.
因为k≥3,所以Δ=100(4-k2)<0,不等式ka2-20a+25k<0无解,假设不成立.
1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域,如求函数f(x)=的定义域时,只考虑x>0,忽视lnx≠0的限制.
2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.
(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较;
(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较;
(3)底数不同、指数也不同,或底数不同,真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.
4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图象,然后数形结合,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
一、填空题
南通调研)函数f(x)=lnx+的定义域为________.
解析 要使函数f(x)=lnx+有意义,则解得0<x≤1,即函数定义域是(0,1].
答案 (0,1]
2.(2011·
江苏卷)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.
解析 函数f(x)的定义域为,令t=2x+1(t>0).因为y=log5t在t∈(0,+∞)上为增函数,t=2x+1在上为增函数,所以函数y=log5(2x+1)的单调增区间为.
3.(2016·
苏州调研)函数f(x)=的值域为________.
解析 当x≤0时,y=2x∈(0,1];
当x>0时,y=-x2+1∈(-∞,1).
综上,该函数的值域为(-∞,1].
答案 (-∞,1]
4.(2016·
江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.
解析 在区间[0,3π]上分别作出y=sin2x和y=cosx的简图如下:
由图象可得两图象有7个交点.
答案 7
5.(2012·
江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为________.
解析 因为函数f(x)是周期为2的函数,所以f(-1)=f
(1)⇒-a+1=,又f=f=f⇒=-a+1,联立列成方程组解得a=2,b=-4,所以a+3b=2-12=-10.
答案 -10
6.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<
0恒成立,则x的取值范围是________.
解析 f′(x)=3x2+1>
0,∴f(x)在R上为增函数.
又f(x)为奇函数,由f(mx-2)+f(x)<
0知,f(mx-2)<
f(-x).∴mx-2<
-x,即mx+x-2<
0,
令g(m)=mx+x-2,由m∈[-2,2]知g(m)<
0恒成立,可得∴-2<
.
7.已知函数f(x)=其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y=k(x+1)(k>0)与函数y=f(x)的图象恰有三个不同的交点,则实数k的取值范围是________.
解析 根据[x]表示的意义可知,当0≤x<1时,f(x)=x,当1≤x<2时,f(x)=x-1,当2≤x<3时,f(x)=x-2,以此类推,当k≤x<k+1时,f(x)=x-k,k∈Z,当-1≤x<0时,f(x)=x+1,作出函数f(x)的图象如图,直线y=k(x+1)过点(-1,0),当直线经过点(3,1)时恰有三个交点,当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点,在这两条直线之间时有三个交点,故k∈.
8.(2016·
北京海淀区二模)设函数f(x)=
(1)若a=1,则f(x)的最小值为________;
(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是________.
解析
(1)当a=1时,f(x)=
1时,f(x)=2x-1∈(-1,1),
当x≥1时,f(x)=4(x2-3x+2)=4≥-1,∴f(x)min=-1.
(2)由于f(x)恰有2个零点,分两种情况讨论:
当f(x)=2x-a,x<
1没有零点时,a≥2或a≤0.
当a≥2时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时,有2个零点;
当a≤0时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时无零点.
因此a≥2满足题意.
1有一个零点时,0<
2.
f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1有一个零点,此时a<
1,2a≥1,因此≤a<
综上知实数a的取值范围是.
答案
(1)-1
(2)∪[2,+∞)
二、解答题
9.已知函数f(x)=x2-2lnx,h(x)=x2-x+a.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)设函数k(x)=f(x)-h(x),若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.
解
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f′(x)=2x-=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
所以函数f(x)在x=1处取得极小值为1,无极大值.
(2)k(x)=f(x)-h(x)=x-2lnx-a(x>0),
所以k′(x)=1-,令k′(x)>0,得x>2,
所以k(x)在[1,2)上单调递减,在(2,3]上单调递增,
所以当x=2时,
函数k(x)取得最小值,k
(2)=2-2ln2-a,
因为函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点.即有k(x)在[1,2)和(2,3]内各有一个零点,
所以即有
解得2-2ln2<a≤3-2ln3.
所以实数a的取值范围为(2-2ln2,3-2ln3].
10.(2012·
江苏卷)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>
0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?
请说明理由.
解
(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,
由实际意义和题设条件知x>
0,k>
故x==≤=10,
当且仅当k=1时取等号.
所以炮的最大射程为10千米.
(2)因为a>
0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>
使3.2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.
所以当a不超过6千米时,可击中目标.
11.(2016·
苏北四市调研)如图,OA是南北方向的一条公路,OB是北偏东45°
方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光,拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA,OB垂直的两条道路PM,PN,且PM,PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则曲线C符合函数模型y=x+(1≤x≤9),设PM=x,修建两条道路PM,PN的总造价为f(x)万元.题中所涉及长度单位均为百米.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x为多少时,总造价f(x)最低?
并求出最低造价.
解
(1)在如题图所示的直角坐标系中,因为曲线C的方程为y=x+(1≤x≤9),PM=x,所以点P坐标为,直线OB的方程为x-y=0,则点P到直线x-y=0的距离为==,
又PM的造价为5万元/百米,PN的造价为40万元/百米.
则两条道路总造价为f(x)=5x+40·
=5(1≤x≤9).
(2)因为f(x)=5,
所以f′(x)=5=,
令f′(x)=0,解得x=4,列表如下:
x
(1,4)
4
(4,9)
f′(x)
-
+
f(x)
极小值
所以当x=4时,函数f(x)有最小值,且最小值为f(4)=5=30,
即当x=4时,总造价最低,最低造价为30万元.
(注:
利用三次均值不等式得f(x)=5=
5≥5×
3=30,当且仅当x=4时,等号成立,同样正确.)
第2讲 不等式问题
(1)一元二次不等式是C级要求,要求在初中所学二次函数的基础上,掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别,可以单独考查,也可以与函数、方程等构成综合题;
(2)线性规划的要求是A级,理解二元一次不等式对应的平面区域,能够求线性目标函数在给定区域上的最值,同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解;
(3)基本不等式是C级要求,理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用.
1.(2015·
江苏卷)不等式2x2-x<4的解集为________.
解析 ∵2x2-x<4=22,∴x2-x<2,即x2-x-2<0,解得-1<
答案 {x|-1<x<2}
2.(2014·
江苏卷)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<
0成立,则实数m的取值范围是________.
解析 二次函数f(x)对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<
0成立,
则有
解得-<
m<
0.
江苏卷)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是________.
解析 已知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,则(x,y)为阴影部分内的动点:
x2+y2表示原点到可行域
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