7三角形平行四边形和梯形苏教版四年级下册数学期末复习专题讲义知识点归纳 典例讲解 同步测试.docx
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苏教版四年级下册数学期末复习专题讲义-7.三角形、平行四边形和梯形
【知识点归纳】
三角形:
三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形。
三角形的高和底:
从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。
三角形三边关系:
三角形任意两边长度的和大于第三边。
三角形的内角和等于180°。
三角形分类:
按角分为:
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
按边分类:
等腰三角形、等边三角形(正三角形)、不等边三角形。
平行四边形:
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
平行四边形的高和底:
从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段,是平行四边形的高,这条对边是平行四边形的底。
梯形:
只有一组对边平行的四边形叫作梯形。
梯形的上底、下底和腰:
互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底,不平行的一组对边是梯形的腰。
梯形的高:
从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。
两腰相等的梯形是等腰梯形。
多边形内角和=180°×(边数-2)。
(根据三角形的内角和推算出来)
【典例讲解】
例1.等腰三角形中有一个内角是80°,另外两个角( )
A.都是50°
B.分别是20°和80
C.分别是20°和80°或都是50°
【分析】等腰三角形这个80°的内角可能是顶角,也可能是底角.根据等腰三角形的内角和定理(三角形三个内角之和是180°)及等腰三角形两个底角相等的性质,即可分别计算出当这个角是顶角时的底角度数、当这个角是底角时顶角的度数.
【解答】解:
当等腰三角形的顶角是80°时
它的两个底角:
(180°﹣80°)÷2
=100°÷2
=50°
当当等腰三角形的底角是80°时
180°﹣80°×2
=180°﹣160°
=20°
答:
另外两个角分别是20°和80°或都是50°.
故选:
C.
【点评】解答此题的关键是三角形内角定理及等腰三角形性质的应用.
例2.一个三角形中,有两个角的度数分别是32°和46°,第三个内角为 102 °,这个三角形是 钝角 三角形.(按角分类)
【分析】根据三角形内角和定理,三角形三个内角之和是180°,已知这个三角形的两个角的度数,用180°减这两个角的度数之和就是第三个角的度数.由前面计算可知,这个三角形的第三个角是102°,是钝角,根据钝角三角形的意义,有一个角是钝角的三角形是钝角三角形,这个三角形是钝角三角形.
【解答】解:
180°﹣(32°+46°)
=180°﹣78°
=102°
这个三角形有一个角是钝角,是钝角三角形
答:
第三个内角为102°,这个三角形是钝角三角形.
故答案为:
102,钝角.
【点评】此题考查的知识有三角形内角和定理的应用、三角形的分类(按角分类).
例3.三角形的三边长分别是3cm、4cm、5cm,这样的三角形的形状只有一种. √ (判断对错)
【分析】三角形的三边长分别是3cm、4cm、5cm,因为三条边是确定的,三角形的形状就是确定的,所以这样的三角形的形状只有一种,那就是直角三角形.
【解答】解:
三角形的三边长分别是3cm、4cm、5cm,这样的三角形的形状只有直角三角形一种.
故原题说法正确.
故答案为:
√.
【点评】解决此题还可以利用三角板画出图,然后直观判断.
例4.在三角形ABC中,∠1=65°,∠2=20°,求∠4的度数.
【分析】利用三角形内角和定理:
三角形内角和是180°,∠3=180°﹣90°﹣20°=70°,∠4=180°﹣70°﹣65°=45°.据此解答.
【解答】解:
∠3=180°﹣90°﹣20°=70°
∠4=180°﹣70°﹣65°=45°
答:
∠4=45°.
【点评】本题主要考查三角形的内角和,关键是利用三角形内角和定理做题.
例5.红红家有一块三角形的小菜园,菜园的最大角是120°,且最大角的度数是最小角的4倍,这块三角形菜地其他角的度数是多少?
这块地的形状是一个什么三角形?
【分析】这块三角形菜园的最大角是120°,且最大角的度数是最小角的4倍,用120°除以4就是最小角的度数;再根据三角形内角和定理(三角形三个内角之和是180°)即可求出另一个角的度数.这个三角形中最大角是120°,属于钝角,根据钝角三角形的意义,有一个角是钝角的三角形是钝角三角形,此三角形为钝角三角形.
【解答】解:
120°÷4=30°
180°﹣120°﹣30°=30°
这个三角形的最大角是钝角,它是一个钝角三角形
答:
这块三角形菜地其他角的度数都是30°,这块地的形状是一个钝角三角形.
【点评】此题考查的知识有三角形内角和定理、三角形(按角)分类.
【同步测试】
一.选择题(共10小题)
1.根据下列描述,一定是锐角三角形的是( )
A.有一个内角是85°的三角形
B.有两个内角都是锐角的三角形
C.其中最大的内角小于90°
D.等腰三角形
2.下面的说法正确的是( )
A.有一组对边平行的四边形是梯形
B.平行四边形和梯形都是四边形
C.在梯形中,平行的一组对边叫做梯形的腰
3.一个三角形的底不变,要使面积扩大2倍,高要扩大( )
A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍
4.小明用小棒摆三角形,应该选取( )组小棒.
A.12cm,12cm,24cmB.12cm,15cm;27cm
C.12cm,15cm,24cmD.15cm,15cm,31cm
5.一个三角形两个角的度数分别是50°和65°.这个三角形一定是( )
A.等腰的锐角三角形B.等边的锐角三角形
C.等腰的钝角三角形D.三边不等的锐角三角形
6.小明在研究平行四边形的面积时,想把一个平行四边形转化成一个长方形.下面的四种剪法中不能拼成长方形的是图( )
A.
B.
C.
D.
7.一个三角形与一个平行四边形的面积相等,底也相等.三角形的高是2分米,平行四边形的高是( )分米.
A.1B.2C.3D.4
8.如图中,平行四边形的高是28cm,它的对应底是( )
A.36cmB.20cmC.25cmD.28cm
9.张浩将梯形ABCD通过割补的方法,转化成三角形ABF(过程如图).已知三角形ABF的面积是24cm2,则CF的长是( )cm.
A.2B.4C.6D.12
10.一个等腰三角形的两条边是10厘米和4厘米,它的周长是( )厘米.
A.18B.14C.24D.20
二.填空题(共8小题)
11.一个平行四边形的底是13分米,高是70厘米,面积是 平方分米.
12.在锐角三角形中,任何两个内角的度数之和都 90°.
13.等腰三角形ABC,其中AB等于AC,∠B= ,∠A= .
14.两组对边分别平行的四边形是 或 .
15.在一个三角形中,有两个角分别是28°和62°,另一个角是 ,这是一个 三角形.
16.把一个平行四边形的底扩大到原来的2倍,高扩大到原来的3倍,得到的平行四边形的面积是原来的 倍.
17.一个平行四边形的面积是60dm2,底是5dm,这条底边对应的高是 dm.
18.一个等腰直角三角形两条直角边的长度和是18cm,它的面积是 cm2.
三.判断题(共5小题)
19.两个三角形的面积相等,它们的底和高不一定相等. (判断对错)
20.在梯形里画一条线段,分成两个图形,这两个图形不可能是平行四边形. (判断对错)
21.一个三角形的周长是30cm,它的最长边的长一定不小于15厘米. (判断对错)
22.一个等腰三角形的周长是21cm,其中一条边长5cm,它的另外两条边可能是5cm和11cm. (判断对错)
23.一个平行四边形的面积是24cm2,将它的底增加2cm,高减少2cm,得到的平行四边形的面积一定仍是24cm2. (判断对错)
四.计算题(共2小题)
24.求平行四边形的面积(单位:
厘米)
25.计算下面图形的周长.
五.应用题(共6小题)
26.把一根长25米的彩带剪成三段,第一段长5米,第二段长8米,这三段能围成一个三角形吗?
为什么?
27.有5根小棒,长度分别是3厘米、3厘米、3厘米、4厘米、6厘米,可以摆成几种不同的三角形?
请你列举出来.
28.如图,一个长方形框架拉成平行四边形后,面积是18dm2,长方形框架的周长是多少分米?
29.一个三角形的面积是12cm2,底边长6cm,这条底边上的高是多少cm?
30.在一块平行四边形空地(如图)上种草坪,1平方米草坪的价格是10元.种这块草坪需要多少钱?
31.一块平行四边形玻璃,底长150厘米,高比底少50厘米,刘阿姨买这块玻璃用了90元钱.每平方米玻璃的价钱是多少?
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.【分析】根据角的分类、三角形按角的大小分类情况,小于90度的角叫做锐角;等于90度的角叫做直角;大于90度小于180度的角叫做钝角;有一个角是钝角的三角形,叫做钝角三角形;有一个角是直角的三角形,叫做直角三角形;三个角都是锐角的三角形,叫做锐角三角形;据此解答.
【解答】解:
根据锐角三角形的特征,锐角三角形的三个角都是锐角,由此可知,三角形中最大角小于90度的三角形一定是锐角三角形.
故选:
C.
【点评】此题考查的目的是理解掌握角的分类、三角形按照角的大小分类及应用.
2.【分析】有且只有一组对边平行的四边形是梯形,A错误;
平行四边形和梯形都是四边形,B正确;
在梯形中,平行的一组对边叫做梯形的上底和下底,C错误;
据此解答即可.
【解答】解:
有且只有一组对边平行的四边形是梯形,A错误;
平行四边形和梯形都是四边形,B正确;
在梯形中,平行的一组对边叫做梯形的上底和下底,C错误;
只有B正确;
故选:
B.
【点评】此题考查了梯形的特征,要熟练掌握.
3.【分析】三角形的面积=底×高÷2,若底不变,要使面积扩大2倍,高要扩大2倍.
【解答】解:
因为三角形的面积=底×高÷2,
若底不变,要使面积扩大2倍,高要扩大2倍.
故选:
A.
【点评】此题主要考查三角形的面积公式的灵活运用.
4.【分析】根据三角形的特性:
两边之和大于第三边,三角形的两边的差一定小于第三边;进行依次分析、进而得出结论.
【解答】解:
A、因为12+12=24,不能组成三角形,不符合题意;
B、因为12+15=27,不能组成三角形,不符合题意;
C、12+15>24,所以能组成三角形,符合题意;
D、15+15<31,所以不能组成三角形,不符合题意;
故选:
C.
【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可.
5.【分析】三角形的两个内角的度数已知,依据三角形的内角和是180°,即可求出第三个内角的度数,从而可以判定这个三角形的类别.
【解答】解:
180°﹣50°﹣65°
=130°﹣65°
=65°
因为三角形三个内角都是锐角,且有两个角相等,所以这个三角形是等腰的锐角三角形.
故选:
A.
【点评】解答此题的主要依据是:
三角形的内角和是180度以及三角形的分类方法.
6.【分析】选项A:
图形中是沿着高剪得,有直角,把剪下的左边图形平移到右边可以得到一个长方形.
选项B:
图形中不是沿着高剪得,没有直角,把剪下的上面图形平移到下面不能得到一个长方形.
选项C,沿平行四边形的一边中点分别剪下了个直角三角形,通过旋转、平移后能够拼成一个长方形.
选项D,沿平行四边形的高剪开后,可以平成一个长方形,据此解答.
【解答】解:
根据长方形的特征,长方形的对边平行且相等,
选项A:
图形中是沿着高剪得,有直角,把剪下的左边图形平移到右边可以得到一个长方形.
选项B:
图形中不是沿着高剪得,没有直角,把剪下的上面图形平移到下面不能得到一个长方形.
选项C,沿平行四边形的一边中点分别剪下了个直角三角形,通过旋转、平移后能够拼成一个长方形.
选项D,沿平行四边形的高剪开后,可以平成一个长方形.
故选:
B.
【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的推导过程及应用.
7.【分析】由题意可知:
一个三角形和一个平行四边形的面积相等,底也相等,由两种图形的面积公式可得,平行四边形的高应是三角形高的一半,三角形的高是2分米,所以用三角形的高除以2即可解答.
【解答】解:
2÷2=1(分米)
答:
平行四边形的高是1分米.
故选:
A.
【点评】此题主要考查三角形和平行四边形的面积公式的灵活运用.
8.【分析】根据平行四边形高的意义,从平行四边形的一个顶点向对边作垂线,顶点到垂足的距离叫做平行四边形的高,通过观察图形可知,高28厘米对应的底是25厘米.据此解答即可.
【解答】解:
如图中,平行四边形的高是28cm,它的对应底25cm.
故选:
C.
【点评】此题考查的目的是理解掌握平行四边形高的意义及应用.
9.【分析】CF的长就是梯形的上底,24平方厘米是梯形的面积,梯形的下底是8厘米,高是4厘米,根据梯形的面积=(上底+下底)×高÷2,则上底=梯形的面积×2÷高﹣下底,据此即可解答.
【解答】解:
24×2÷4=8
=12﹣8
=4(厘米)
答:
CF的长是4cm.
故选:
B.
【点评】本题考查了梯形面积公式的灵活运用情况.
10.【分析】求等腰三角形的周长,就要确定等腰三角形的腰与底的长;题目给出等腰三角形有两条边长为10厘米和4厘米,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
【解答】解:
(1)若4厘米为腰长,10厘米为底边长,
由于4+4=8,两边之和不大于第三边,则三角形不存在;
(2)若10厘米为腰长,则符合三角形的两边之和大于第三边.
所以这个三角形的周长为10+10+4=24(厘米).
故选:
C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;题目从边的方面考查三角形,涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.
二.填空题(共8小题)
11.【分析】根据平行四边形的面积公式:
S=ah,把数据代入公式解答.
【解答】解:
70厘米=7分米,
13×7=91(平方分米)
答:
它的面积是91平方分米.
故答案为:
91.
【点评】此题需要考查平行四边形面积公式的灵活运用,关键是熟记公式.
12.【分析】根据锐角三角形的性质和三角形内角和是180°解答即可.
【解答】解:
锐角三角形中,三个角都是锐角,因为三角形的内角和是180°,所以任意两个锐角之和都大于90°.
故答案为:
大于.
【点评】此题是考查了三角形内角和以及锐角三角形的性质的灵活应用.
13.【分析】已知角为145°,它的补角是等腰三角形的一个底角,可求出底角度数为180°﹣145°=35°,两底角度数相等,三角形内角和是180°,则顶角度数为180°﹣35°﹣35°=110°.
【解答】解:
∠B=∠C=180°﹣145°=35°
∠A=180°﹣35°﹣35°=110°
故答案为:
35°,110°.
【点评】本题考查了三角形内角和定理,属于基础题,关键是掌握三角形内角和为180度.
14.【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形包括一般平行四边形或特殊平行四边形.特殊平行四边形即正方形、长方形、菱形等.
【解答】解:
两组对边分别平行的四边形是一般平行四边形或特殊平行四边形.
故答案为:
一般平行四边形,特殊平行四边形.
【点评】此题考查了平行四边形的判定方法和分类.
15.【分析】根据三角形的内角和定理:
三角形内角和是180°,用180°减掉两个已知角的度数,就是第三个角的度数;根据三角形按角分率的标准,判断三角形的分类即可.
【解答】解:
180°﹣28°﹣62°=90°
答:
另一个角是90°,这是一个直角三角形.
故答案为:
90°;直角.
【点评】本题主要考查三角形的内角和,关键是利用三角形内角和定理做题.
16.【分析】根据平行四边形的面积公式:
S=ah,再根据因数与积的变化规律,积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积.据此解答.
【解答】解:
2×3=6
答:
平行四边形的面积是原来的6倍.
故答案为:
6.
【点评】此题考查的目的是理解掌握平行四边形的面积公式、因数与积的变化规律及应用.
17.【分析】根据平行四边形的面积公式:
S=ah,那么h=S÷a,把数据代入公式解答.
【解答】解:
60÷5=12(分米)
答:
这条底边对应的高是12分米.
故答案为:
12.
【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用,关键是熟记公式.
18.【分析】由条件“一个等腰直角三角形两条直角边的长度和是18cm”可知,此三角形的直角边为18÷2=9cm,再利用三角形的面积公式:
三角形面积=底×高÷2即可求得结果.
【解答】解:
18÷2=9(cm)
9×9÷2=40.5(cm2)
答:
它的面积是40.5cm2.
故答案为:
40.5.
【点评】此题主要考查三角形的面积公式:
三角形面积=底×高÷2,将数据代入公式即可求得结果.
三.判断题(共5小题)
19.【分析】两个面积相等的三角形,则面积的2倍也相等,也就是底乘高相等;但是一个数可以有许多不同的因数,所以说这两个三角形的底和高不一定相等;比如,底和高分别是4、3,6、2的两个三角形的面积相等,但底和高不相等,判断即可.
【解答】解:
因为两个三角形的面积相等,则两个三角形面积的2倍也相等,也就是底乘高相等;比如,底和高分别是4、3,6、2的两个三角形的面积相等,但底和高不相等,
所以说“两个三角形的面积相等,它们的底和高不一定相等”是正确的.
故答案为:
√.
【点评】掌握三角形的面积公式是解题的关键.
20.【分析】
(1)过上底上的除两个端点外的任意一点做腰的一条平行线,把梯形分成两个图形:
一个平行四边形和一个梯形;
(2)过上底上的除两个端点外的任意一点做底的一条垂线,把梯形分成两个图形:
两个梯形;
(3)连接梯形的对角线,可以得到两个三角形.
(4)这不是一个直角梯形,得不到一个长方形和一个梯形,由此求解.
【解答】解:
根据分析画图如下:
(1)一个平行四边形和一个梯形
(2)两个梯形
(3)一个三角形
(4)一个三角形和梯形
得不到两个平行四边形.
所以本题说法正确;
故答案为:
√.
【点评】本题主要考查了学生根据三角形、平行四边形、梯形的定义来对图形进行分割的能力.
21.【分析】根据三角形的特性:
任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边的差一定小于第三边;进行解答即可.
【解答】解:
如果三边长分别为14cm、7cm、9cm,周长是30cm,
符合7+9>14,能组成三角形,
但最长边是14cm,14<15,
故原题说法错误;
故答案为:
×.
【点评】此题是考查三角形的特性,应灵活掌握和运用.
22.【分析】首先根据等腰三角形的性质可分为两种情况讨论:
5cm为腰长、5cm为底的长度.然后看是否能围成三角形,由此解答即可.
【解答】解:
当5厘米是腰时,底边是21﹣5×2=11(厘米),5+5<11,这种情况不成立;
如果5厘米是底边,则腰长为:
(21﹣5)÷2=8(厘米),5+8>8,所以能围成三角形;
所以其中一条边长5cm,它的另外两条边不可能是5cm和11cm.
故原题说法错误;
故答案为:
×.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
23.【分析】根据平行四边形的面积公式:
S=ah,可以通过举例证明.假如原来平行四边形的底是3厘米,高是8厘米,底增加2厘米后是5厘米,高减少2厘米后是6厘米,分别求出原来和增加后的面积,然后进行比较即可.
【解答】解:
假如原来平行四边形的底是3厘米,高是8厘米,底增加2厘米后是5厘米,高减少2厘米后是6厘米,
原来的面积:
3×8=24(平方厘米);
增加后的面积:
(3+2)×(8﹣2)
=5×6
=30(平方厘米);
24平方厘米<30平方厘米,
答:
所得到的平行四边行面积比原来平行四边形面积大.
因此,所得到的平行四边行面积与原来平行四边形面积相等,这种说法是错误的.
故答案为:
×.
【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用,关键是熟记公式.
四.计算题(共2小题)
24.【分析】根据题意,如图
,这个平行四边形的底是3cm,高是2.8cm.根据面积公式:
S=ah,把数据代入公式解答.
【解答】解:
3×2.8=8.4(平方厘米)
答:
它的面积是8.4平方厘米.
【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用,关键是熟记公式.
25.【分析】根据三角形的周长=三条边的和,用8+8+10计算即可得到三角形的周长;根据长方形的周长=(长+宽)×2,用(15+7)×2计算即可得到长方形的周长.
【解答】解:
8+8+10=26(厘米)
答:
三角形的周长是26厘米;
(15+7)×2
=22×2
=44(厘米)
答:
长方形的周长是44厘米.
【点评】本题考查长方形的周长、三角形的周长,明确长方形的周长=(长+宽)×2、三角形的周长=三条边的和是解答本题的关键.
五.应用题(共6小题)
26.【分析】根据三角形的特性:
两边之和大于第三边,三角形的两边的差一定小于第三边;进行解答即可.
【解答】解:
因为25﹣5﹣8=12(米)
且5+8=13>12
所以这三段能围成一个三角形,因为两边之和大于第三边.
【点评】此题主要依据三角形的两边之和大于第三边的特点和减法的意义解决问题.
27.【分析】根据三角形边的特征,在三角形中任意两边之和大于第三边,由此解答.
【解答】解:
根据分析知,共有以下情况,
①3厘米,3厘米,3厘米;
②3厘米,3厘米,4厘米;
③3厘米,4厘米,6厘米;
答:
一共可以拼成3个不同的三角形.
【点评】此题主要根据三角形的任意两边之和大于第三边解决问题.
28.【分析】由题意可知:
平行四边形的高已知,面积已知,利用平行四边形的面积公式,即可求出平行四边形的底,也就是长方形的长,从而利用长方形的周长公式就能求出长方形框架的周长.
【解答】解:
18÷3=6(dm)
(6+4)×2
=10×2
=20(dm)
答:
长方形框架的周长是20分米.
【点评】本题主要考查了长方形的周长计算以及平行四边形面积公式的实际应用.
29.【分析】根据三角形的面积=底×高÷2,则三角形的面积×2÷底=高,把数据代入即可求解.
【解答】解:
12×2÷6
=24÷6
=4(厘米)
答:
这条底边上的高是4厘米.
【点评】本题考查了三角形的面积=底×高÷2的灵活应用.
30.【分析】先利用平行四边形的面积S=ah求出这块空地的面积,再用草坪的面积乘单位面积草坪的价格,就是种这块草坪需要多少钱.
【解答】解:
15×12×10
=180×10
=1800(元)
答:
种这块草坪需要1800元.
【点评】此题主要考查平行四边形的面积的计算方法,在实际生活中的应用.
31.【分析】根据平行四边形的面积公式:
S=ah,已知底是150厘米,高比底少50厘米,那么高是150﹣50=100厘米,把数据代入公式求出这块玻璃的面积,然后根据已知总价和数量求单价,用除法解答.
【解答】解:
150×(150﹣50)
=150×100
=1500
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