函数的奇偶性教案文档格式.docx
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从什么角度呢?
将从对称的角度来研究函数的性质。
师:
同学们,“对称”是大自然的一种美,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?
教师提问:
这些图片在形状上有什么特征?
引导学生从对称性的角度去观察,同时让学生回想初中所学习的轴对称图形与中心对称图形的定义。
很容易可以得出结论:
图片①②是轴对称图形,图片③④是中心对此图形。
(学生可能会举出一些数值上的对称问题,
等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如
和
等.)
结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于Y轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于X轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于X轴对称的吗?
学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个X只能对一个Y,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于X轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于Y轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.
二.讲解新课
观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性(图1).
生:
函数f(x)=x2是定义域为全体实数的抛物线;
函数f(x)=|x|-1是定义域为全体
图象关于y轴对称.
那么究竟什么叫关于y轴对称?
师:
(幻灯演示)将f(x)=x2在y轴右侧的图象,沿y轴折过来,我们发现它与左侧的图象重合了,这说明我们刚才的观察结果是正确的.既然图形是由点组成的,那么,让我们在直角坐标系中,观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系?
(幻灯演示)我们在函数f(x)=x2位于y轴右侧的图象上任取一点(x,f(x)),通过沿
标有什么关系?
对应的函数值相等.
看来具备此种特征的函数还有很多,我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢?
如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
(当学生的表述不完整,不准确时,教师可做适当的提示和补充.)
下面我们来分析一下这个定义.定义中“任意一个x∈D,都有f(-x)=f(x)成立”说明了什么?
这说明f(-x)与f(x)都有意义,即-x,x同时属于定义域,因此偶函数的定义域是关于原点对称的.
定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件?
定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件.
那么定义的实质是什么呢?
同学们能不能用自己的语言来表述一下偶函数的定义.
当自变量任取两个互为相反数的值时,对应的函数值恰好相等.
下面我们看几个习题.
(幻灯)
1.判断下列函数是否是偶函数.
(1)f(x)=x2,x∈[-1,2];
函数f(x)=x2,x∈[-1,2]不是偶函数.因为它的定义域关于原点不对称.
于原点对称.
(对于本题,学生很容易提取分子中的公因式x2,进而化简成f(x)=x2,从而得出该函数是偶函数的错误结论.)
(多重复合幻灯)
2.判断下列图象(图2)是否是偶函数的图象?
首先,我们取几对相反数检验一下(复片1).当自变量取±
1这对相反数时,对应的函数值f
(1)与f(-1)恰好相等;
当自变量取±
3这对相反数时,对应的函数值f(3)与f(-3)也恰好相等;
4时,也得到了相同的结果.类似的相反数还可以举出很多对.由此,是否就能判断该图象是偶函数的图象呢?
(有的学生认为能判断,有的学生认为不能,当学生发表完意见后,教师总结.)
2这对相反数时,我们观察到f
(2)与f(-2)并不相等,这就违背了偶函数定义中,自变量取值的任意性,即不能使函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),所以该图象不是偶函数的图象.
同学们,让我们再来观察一组函数的图象,看看它们之间有什么共性?
(幻灯.旋转片)
观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.
各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称.
那么究竟什么叫做关于原点对称呢?
(幻灯演示)将f(x)=x3在第一象限内的图象,绕着原点旋转180°
,我们发现它与f(x)=x3在第三象限内的图象重合了.这说明我们刚才的观察结果是正确的.那么一对关于原点对称的点的坐标又有什么关系呢?
一对关于原点对称的点,它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数.即:
当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数.
我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢?
如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
定义中“任意一个x∈D,都有f(-x)=f(x)成立”说明了什么?
这说明f(-x)与f(x)都有意义,即-x,x同时属于定义域,因此奇函数的定义域是关于原点对称的.
由此可见,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.那么这个定义的实质是什么呢?
当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时,对应的函数值也互为相反数.
我们现在已接触过偶函数、奇函数、既不是奇函数也不是偶函数,即非奇非偶的函数,那么有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢?
有.函数f(x)=0,x∈R就是一个.
那么这样的函数有多少个呢?
只有函数f(x)=0,x∈R一个.
再想一想.函数的三要素是什么呢?
函数的三要素是对应法则、定义域和值域.
对.可见三要素不同的函数就是不同的函数.
既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个.虽然解析式都为f(x)=0,但取关于原点对称的不同的定义域,就可得到不同的函数,例如:
f(x)=0,x∈[-3,-1]∪[1,3];
f(x)=0,x∈[-5,-2]∪[-2,-5]等等.
所以函数按奇偶性可分为四类:
奇函数、偶函数、既奇且偶函数和非奇非偶函数.
例1判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=lg(4+x)+lg(4-x);
分析:
先验证函数定义域的对称性,再考察f(-x)是否等于f(x)或-f(x).
解
(1)f(x)的定义域是{x|4+x>0且4-x>0}={x|-4<x<4},它具有对称性.
因为f(-x)=lg(4-x)+lg(4+x)=f(x),
所以f(x)是偶函数,不是奇函数.
(2)解法一:
当x>0时,-x<0,于是
当x<0时,-x>0,于是
综上可知,在R-∪R+上,g(x)是奇函数.
这两条曲线(图4)关于原点对称,因此函数g(x)在R-∪R+上是奇函数.
例2设F(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,F(x)的解析式是ex,求F(x)在R上的表达式.
解任取x∈(-∞,0),设P(x,y)是函数F(x)图象上的一个点.由于F(x)是奇函数,
-y=e-x→y=-e-x.
上式就是点P(x,y)的坐标满足的关系式,即x<0时F(x)的解析式.
当x=0时,F(-0)=-F(0),即F(0)=0.所以奇函数
(今后遇到函数奇偶性这类的问题时,要善于选择恰当的方法,“定义法”是基本方法.)
练习(幻灯)判断下列函数的奇偶性,并说明理由.
1.f(x)=x2+3,x∈[-10,20];
2.f(x)=x3+x,x∈[-2,2);
3.f(x)=0,x∈[-6,-2]∪[2,6];
5.f(x)=|x-2|+|x+2|;
6.f(x)=|x-2|-|x+2|;
7.f(x)=5;
1.f(x)=x2+3,x∈[-10,20)的定义域关于原点不对称,因此是非奇非偶函数.
2.f(x)=x3+x,x∈[-2,2)的定义域关于原点也不对称,因此是非奇非偶函数.
3.f(x)=0,x∈[-6,-2]∪[2,6]是既奇且偶函数.这是因为f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),定义域关于原点也对称,所以是既奇且偶函数.
点也对称,所以是奇函数.
5.f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函数.这是因为f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),且x∈R,所以是偶函数.
6.f(x)=|x-2|-|x+2|是奇函数.这是因为f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-(|x-2|-|x+2|)=-f(x),且x∈R,所以是奇函数.
7.f(x)=5是偶函数.这是因为f(-x)=5=f(x),且x∈R,所以是偶函数.
=lg1=0,即f(-x)=-f(x),且x∈R,所以是奇函数.
函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质,注意要与函数的单调性加以区分.我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上,还应加以理解,定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件.
作业
课本P52练习第2题,P59习题五第8,9,10题.其中第10题加一问“为什么?
”
..
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