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符号语言
集合的
并集
A∪B
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
交集
A∩B
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
集合的若全集为U,则集合A的补
补集集为∁UA
5.集合的三种基本运算的常见性质
(1)A∩A=A,A∩=,A∪A=A,A∪=A.
(2)A∩∁UA=,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.
(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=.
6.命题的概念
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判
断为假的语句叫做假命题.
7.四种命题及相互关系
8.四种命题的真假关系
2018年高考理科数学知识与方法大全·
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(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
判断命题真假的思路方法
(1)判断一个命题的真假时,首先要弄清命题的结构,即它的条件和结论分别是什么,把它写成“若p,
则q”的形式,然后联系其他相关的知识,经过逻辑推理或列举反例来判定.
(2)一个命题要么真,要么假,二者必居其一.当一个命题改写成“若p,则q”的形式之后,判断这
个命题真假的方法:
①若由“p”经过逻辑推理,得出“q”,则可判定“若p,则q”是真命题;
②判定“若p,则q”是假命题,只需举一反例即可.
写一个命题的其他三种命题时的注意事项
(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”形式.
(2)若命题有大前提,需保留大前提.
判断四种命题真假的方法
(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断.
(2)利用四种命题间的等价关系:
当一个命题不易直接判断真假时,可转化为判断其等价命题的真假.
9.充分条件与必要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒/p
p⇒/q且q⇒p
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
10.充分条件与必要条件和集合的关系
p⇒/q且q⇒/p
p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件
p是q的必要条件
A⊆B
B⊆A
AB
BA
A=B
充分、必要条件的三种判断方法
(1)定义法:
根据p⇒q,q⇒p进行判断.
(2)集合法:
根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:
根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这
个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x
=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.
11.命题p∧q、p∨q、p的真假判定
p
q
p∧q
真
p∨q
p
假
简记为“p∧q两真才真,一假则假;
p∨q一真则真,两假才假;
p与p真假相反”.
判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤
(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义,应根据命题中所出
现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.
(2)判断命题真假的步骤
根据复合命题真假求参数的步骤
(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
第2页(共64页)
(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况,从而求出参数的取值范围
12.全称量词和存在量词
量词名称
全称量词
存在量词
常见量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∀
∃
13.全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
存在M中的一个x0,使p(x0)成
立
结构
对M中的任意一个x,有p(x)成立
简记
否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,p(x)
对全(特)称命题进行否定的方法
全(特)称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时:
(1)改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;
(2)否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论即可.
[提醒]
题的否定.
对于省略量词的命题,应先挖掘命题中的隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命
全(特)称命题真假的判断方法
(1)全称命题真假的判断方法
①要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立.
②要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可.
(2)特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这
一特称命题就是假命题.
14.比较两个实数大小的方法
a-b>
0⇔a>
ba,b∈R,
(1)作差法a-b=0⇔a=ba,b∈R,
a-b<
0⇔a<
ba,b∈R.
a>
1⇔a>
ba∈R,b>
0,
b
a
(2)作商法=1⇔a=ba∈R,b>
ba<
1⇔a<
0.
15.不等式的基本性质
性质
性质内容
b⇔b<
特别提醒
对称性
传递性
可加性
⇔
⇒
b,b>
c⇒a>
c
b⇔a+c>
b+c
b
c>
0⇒ac>
bc
可乘性
注意c的符号
c<
0⇒ac<
同向可加性
d⇒a+c>
b+d
b>
0
同向同正可乘性
可乘方性
d>
bd>
0⇒an>
bn(n∈N,n≥1)
a,b同为正数
第3页(共64页)
0⇒na>
nb(n∈N,n≥2)
可开方性
16.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
11
ab
cd
111
bxa
①a>
b,ab>
0⇒<
.②a<
0<
b⇒<
.③a>
0,0<
d⇒>
.④0<
a<
x<
b或a<
b<
<
.
(2)有关分数的性质
若a>
0,m>
0,则:
①b<
b+mbb-m(b-m>
0).②a>
a+maa-m(b-m>
0).
;
>
aa+maa-m
bb+mbb-m
(3)比较两个数(式)大小的两种方法
17.三个“二次”之间的关系
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+
c(a>0)的图象
有两个相等实根x1=x2
=-2ba
一元二次方程ax2+bx+有两个相异实根
没有实数根
c=0(a>0)的根
x1,x2(x1<x2)
{x|x<
x1或x>
x2}
{x|x1<x<x2}
一元二次不等式ax2+bx
+c>0(a>0)的解集
b
xx≠-2a
+c<0(a>0)的解集
18.不等式ax2+bx+c>
0(<
0)恒成立的条件
a=b=0,
a>
0,
(1)不等式ax2+bx+c>
0对任意实数x恒成立⇔
或
c>
Δ<
0.
a<
(2)不等式ax2+bx+c<
c<
解一元二次不等式的方法和步骤
(1)化:
把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)判:
计算对应方程的判别式.
(3)求:
求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根.
(4)写:
利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二
次项系数为正的形式.
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.
(3)确定无实根时可直接写出解集,确定方程有两个实根时,要讨论两实根的大小关系,从而确定解集
形式.
(4)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁
的范围,谁就是参数.即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式
求解.
19.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax+By+C>0
Ax+By+C≥0
直线Ax+By+C=0某一侧的所
有点组成的平面区域
不包括边界直线
包括边界直线
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不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
20.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤
解决求平面区域面积问题的方法步骤
(1)画出不等式组表示的平面区域;
(2)判断平面区域的形状,并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形
的高)等,若为规则图形则利用图形的面积公式求解;
若为不规则图形则利用割补法求解.
21.线性规划中的基本概念
约束条件
意义
由变量x,y组成的不等式(组)
线性约束条件
目标函数
由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
关于x,y的函数解析式,如z=2x+3y等
关于x,y的一次函数解析式
满足线性约束条件的解(x,y)
所有可行解组成的集合
线性目标函数
可行解
可行域
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
线性规划问题
22.简单线性规划问题的图解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”.即
求解线性目标函数最值的常用方法
线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,若可行
域是一个封闭的图形,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而
确定目标函数的最值;
若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.
非线性目标函数最值问题的常见类型及求法
(1)距离平方型:
目标函数为z=(x-a)2+(y-b)2时,可转化为可行域内的点(x,y)与点(a,b)之间的距
离的平方求解.
(2)斜率型:
对形如z=cx+d
ay+b(ac≠0)型的目标函数,可利用斜率的几何意义来求最值,即先变形为z=
第5页(共64页)
的形式,将问题化为求可行域内的点(x,y)与点-,-连线的斜率的ac倍的取值范围、最值
ac·
d
x--
等.
2|Ax+By+C|的形
(3)点到直线距离型:
对形如z=|Ax+By+C|型的目标函数,可先变形为z=A2+B·
22
A+B
式,将问题化为求可行域内的点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离的A2+B2倍的最值.
求解线性规划中含参问题的两种基本方法
(1)把参数当成常数用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造
方程或不等式求解参数的值或范围;
(2)先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而
求出参数.
求解线性规划应用题的三个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件,并根据题意判断约束条件是否能够取到等号.
(2)注意结合实际问题的实际意义,判断所设未知数x,y的取值范围,特别注意分析x,y是否为整数、
是否为非负数等.
(3)正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式.
23.基本不等式ab≤a+b
2
(1)基本不等式成立的条件:
0,b>
(2)等号成立的条件:
当且仅当a=b时取等号.
24.几个重要的不等式
1a
+b
≥2ab,a,b∈R;
2+ab≥2,ab>
0;
当且仅当a=b时
3ab≤a+b
2,a,b∈R;
等号成立.
4a2+b2
≥
a+b
,a,b∈R
25.算术平均数与几何平均数
设a>
0,则a,b的算术平均数为a+b,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为:
两个正数的
算术平均数不小于它们的几何平均数.
26.利用基本不等式求最值问题
已知x>
0,y>
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2p.(简记:
积定和最小)
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是p4.(简记:
和定积最大)
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个
方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标;
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为:
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);
(2)把确定的定值(常数)变形为1;
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;
(4)利用基本不等式求解最值.
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通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出
现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.
利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
二、函数与导数
1.函数与映射的概念
函数
映射
两集合A,B
设A,B是两个非空的数集
设A,B是两个非空的集合
如果按照某种确定的对应关系f,使对如果按某一个确定的对应关系f,使对
于集合A中的任意一个数x,在集合B于集合A中的任意一个元素x,在集合
对应关系f:
A→B
中都有唯一确定的数f(x)和它对应
B中都有唯一确定的元素y与之对应
称f:
A→B为从集合A到集合B的一称对应f:
A→B为从集合A到集合B
个函数
的一个映射
y=f(x),x∈A
对应f:
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域:
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子
集.
(2)函数的三要素:
定义域、值域和对应关系.
(3)相等函数:
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等
的依据.
3.常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y=x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y=ax(a>
0且a≠1),y=sinx,y=cosx的定义域均为R.
(6)y=logax(a>
0且a≠1)的定义域为(0,+∞).
(7)y=tanx的定义域为{xxk,kZ}.
函数的定义域问题注意
(1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化.
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函
数定义域的交集.
(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”
连接.
4.对于抽象函数定义域的求解
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
函数f[g(x)]的定义域指的是x的取值范围,而不是g(x)的取值范围.
5.求函数解析式的四种方法
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6.分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分
段函数.
分段函数求值的解题思路
求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出
现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
求分段函数自变量的值或范围的方法
求某条件下自变量的值或范围,先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应
自变量的值或范围,切记代入检验,看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围.
7.单调函数的定义
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个
自变量x1,x2
当x1<
x2时,都有f(x1)<
f(x2),那么就说函数f(x)当x1<
x2时,都有f(x1)>
f(x2),那么
定义
在区间D上是增函数
就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描
述
自左向右看图象是下降的
自左向右看图象是上升的
8.单调区间的定义
若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区
间D叫做函数y=f(x)的单调区间.
9.复合函数单调性的规则
若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数;
若两个简单函数的单调性相反,则它们
的复合函数为减函数.即“同增异减”.
10.函数单调性的性质
(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数,更进一步,即增
+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减;
(2)若k>
0,则kf(x)与f(x)单调性相同;
若k<
0,则kf(x)与f(x)单调性相反;
(3)在公共定义域内,函数y=f(x)(f(x)≠0)与y=-f(x),y=f1x单调性相反;
(4)在公共定义域内,函数y=f(x)(f(x)≥0)与y=fx单调性相同;
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反.
函数的单调性注意
第8页(共64页)
(1)单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则.
(2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;
如有多个单调区间应分开写,不能用并集符
号“∪”连接,也不能用“或”连接.
(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质,所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量
x1,x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性,必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变
量.
用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略
(1)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不
等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
(2)有时,在不等式一边没有符号“f”时,需转化为含符号“f”的形式.如若已知f(a)=0,f(x-b)<
0,则
f(x-b)<
f(a).
11.函数的最值
前提
条件
结论
设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
对于任意x∈I,都有f(x)≤M;
对于任意x∈I,都有f(x)≥M;
存在x0∈I,使得f(x0)=M
M为最大值
M为最小值
12.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值.
13.利用函数的单调性求解函数最值的步骤
(1)判断或证明函数的
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