最新人教版高中数学选修23《正态分布》教学设计文档格式.docx
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同学们知道高尔顿板试验吗?
课本的内容表述了高尔顿板试验,我们将通过小球落入各个小槽中的频率分布情况来认识正态分布.
活动设计:
教师板书课题,学生阅读课本中关于高尔顿板的内容.
(1)运用多媒体画出频率分布直方图.
(2)当n由1000增至2000时,观察频率分布直方图的变化.
(3)请问当样本容量n无限增大时,频率分布直方图变化的情况如何?
(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)
(4)样本容量越大,总体估计就越精确.
活动结果:
总体密度曲线:
样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.
它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取值的概率等于总体密度曲线,直线x=a,x=b及x轴所围图形的面积.
观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:
φμ,σ(x)=
e-
,x∈(-∞,+∞).
式中的实数μ、σ(σ>
0)是参数,分别表示总体的平均数与标准差,φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
1.一般地,如果对于任何实数a,b(a<
b),随机变量X满足P(a<
X≤b)=
φμ,σ(x)dx,
则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).
正态分布密度函数的理解:
,
其中:
x是随机变量的取值;
π是圆周率;
e是自然对数的底;
参数μ是正态分布的均值,它是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去佑计;
参数σ是正态分布的标准差,是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.
2.早在1733年,法国数学家棣莫弗就用n!
的近似公式得到了正态分布.之后,德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它,并研究了它的性质,因此,人们也称正态分布为高斯分布.
经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.例如,高尔顿板试验中,小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞,每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落,因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X是众多随机碰撞的结果,所以它近似服从正态分布.
在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等;
一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等;
某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等.正态分布在概率和统计中占有重要的地位.
下面给出三个正态分布的函数表示式,请找出其均值μ和标准差σ.
(1)f(x)=
;
(2)f(x)=
(3)f(x)=
e-2(x+1)2.
答案:
(1)μ=0,σ=1;
(2)μ=1,σ=2;
(3)μ=-1,σ=0.5.
概念一旦形成,必须及时加以巩固.通过对问题的解答,进一步加深对定义的认识.
正态分布N(μ,σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布.通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响.例如令σ=0.5,μ=-1,0,1….
通过几何画板,作出正态曲线,固定其中一个值,利用几何画板的功能直观地观察正态曲线受到均值μ或标准差σ的影响,引导学生观察总结正态曲线的性质.
通过对两组正态曲线进行分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头低、中间高、左右对称.正态曲线的作图,书中没有做要求,教师也不必补上.讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地画出三条正态曲线的图形,结合前面均值与标准差对图形的影响,引导学生观察总结正态曲线的性质.
(一)正态曲线的性质:
(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交,曲线与x轴之间的面积为1.
(2)曲线关于直线x=μ对称.
(3)当x=μ时,曲线位于最高点.
(4)当x<μ时,曲线上升(增函数);
当x>μ时,曲线下降(减函数).并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
(5)σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
(6)μ一定时,曲线的形状由σ确定.
σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;
σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中.
六条性质中前三条学生较易掌握,后三条较难理解,因此在讲授时应运用数形结合的原则,采用对比教学.
(二)标准正态曲线:
当μ=0、σ=1时,正态分布称为标准正态分布,其相应的函数表示式是f(x)=
(-∞<x<+∞),其相应的曲线称为标准正态曲线.
教师指出:
标准正态分布N(0,1)在正态分布的研究中占有重要的地位.任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题.
1.N(μ,σ2)与N(0,1)的关系:
①若ξ~N(μ,σ2),则η=
~N(0,1),有P(ξ<
x0)=F(x0)=Φ(
);
②若ξ~N(μ,σ2),则P(x1<
ξ<
x2)=Φ(
)-Φ(
).
2.在标准正态分布表中相应于x0的值Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率,
即Φ(x0)=P(ξ<
x0).
两个重要公式:
①Φ(x0)=1-Φ(-x0),②P(x1<
x2)=Φ(x2)-Φ(x1).
3.3σ原则.
进一步,若X~N(μ,σ2),则对于任何实数a>
0,P(μ-a<
X≤μ+a)=
φμ,σ(x)dx为图中阴影部分的面积,对于固定的μ和a而言,该面积随着σ的减少而变大.这说明σ越小,X落在区间(μ-a,μ+a]的概率越大,即X集中在μ周围概率越大.
特别有:
P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974,
用图表示为:
正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.因此在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则.
例1已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)等于( )
A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84
解析:
解法一:
∵P(ξ≤4)=F(4)=Φ(
)=Φ(
)=0.84,∴P(ξ≤0)=F(0)=Φ(
)=Φ(-
)=1-Φ(
)=0.16.
解法二:
因为曲线的对称轴是直线,所以由图知P(ξ≤0)=P(ξ>
4)=1-P(ξ≤4)=0.16.
A
例2设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1),已知Φ(-1.96)=0.025,则P(|ξ|<
1.96)等于( )
A.0.025B.0.050C.0.950D.0.975
解法一∵ξ~N(0,1),
∴P(|ξ|<
1.96)=P(-1.96<
1.96)=Φ(1.96)-Φ(-1.96)=1-2Φ(-1.96)=0.950.
∵曲线的对称轴是直线x=0,∴由图知P(ξ>
1.96)=P(ξ≤-1.96)=Φ(-1.96)=0.025,
1.96)=1-0.025-0.025=0.950.故答案为C.
C
例3设X~N(4,1),求P(5<x<6).
分析:
确定μ,σ的值,由正态曲线的对称性及P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ)的概率计算.
解:
由已知得,μ=4,σ=1,P(3<X<5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,
P(2<X<6)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544,
P(2<X<3)+P(5<X<6)=0.9544-0.6826=0.2718,
由对称性得,P(2<X<3)=P(5<X<6)=0.1359.
【变练演编】
1.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ)=________.
0.5
2.设两个正态分布N(μ1,σ
)(σ1>
0)和N(μ2,σ
)(σ2>
0)的密度函数图象如图所示,则有( )
A.μ1<
μ2,σ1<
σ2B.μ1<
μ2,σ1>
σ2
C.μ1>
σ2D.μ1>
正态分布函数的图象关于x=μ对称,
σ的大小表示变量的集中程度,σ越大,数据分布越分散,曲线越“矮胖”;
σ越小,数据分布越集中,曲线越“瘦高”.
3.以Φ(x)表示标准正态总体在区间(-∞,x)内取值的概率,若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则概率P(|ξ-μ|<
σ)等于( )
A.Φ(μ+σ)-Φ(μ-σ)B.Φ
(1)-Φ(-1)
C.Φ(
)D.2Φ(μ+σ)
考查N(μ,σ2)与N(0,1)的关系:
若ξ~N(μ,σ2),则P(|ξ-μ|<
σ)=P(μ-σ<
μ+σ)=Φ(
)=Φ
(1)-Φ(-1).答案为B.
B
【达标检测】
1.若随机变量X~N(μ,σ2),a为一个实数,证明P(X=a)=0.
证明:
对于任意实数a和自然数n有{a-
<
X≤a}={X=a}∪{a-
X<
a}.
因为事件{X=a}与事件{a-
a}互斥,由概率加法公式得
P(a-
X≤a)=P(X=a)+P(a-
a)≥P(X=a).
因为X~N(μ,σ2),所以0≤P(X=a)≤P(a-
X≤a)=
a-
φμ,σ(x)dx
≤
dx=
,n=1,2,…,故P(X=a)=0.
点评:
本题涉及知识范围较广,是一道综合性较强的题目.
2.若X~N(5,1),求P(6<X<7).
由X~N(5,1)知,μ=5,σ=1.因为正态密度曲线关于x=5对称,
所以P(5<X<7)=
·
P(3<X<7)≈
0.9544=0.4772;
P(5<X<6)=
P(4<X<6)≈
0.6826=0.3413;
P(6<X<7)=P(5<X<7)-P(5<X<6)≈0.1359.
3.某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为
,求总体落入区间(-1.2,0.2)之间的概率.
正态分布的概率密度函数是f(x)=
,x∈(-∞,+∞),它是偶函数,说明μ=0,f(x)的最大值为f(μ)=
,所以σ=1,这个正态分布就是标准正态分布.
P(-1.2<
x<
0.2)=Φ(0.2)-Φ(-1.2)=Φ(0.2)-[1-Φ(1.2)]=Φ(0.2)+Φ(1.2)-1.
1.正态分布.
2.正态分布密度曲线及其特点.
3.标准正态曲线.
4.了解3σ原则.
【基础练习】
1.关于正态曲线性质的叙述:
(1)曲线关于直线x=μ对称,整条曲线在x轴的上方;
(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数;
(3)曲线在x=μ处处于最高点,由这一点向左右两侧延伸时,曲线逐渐降低;
(4)曲线的对称位置由μ确定,曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”,反之,曲线越“瘦高”.
上述叙述中,正确的有__________.
(1)(3)(4)
2.设某长度变量X~N(1,1),则下列结论正确的是( )
A.E(X)=D(X)=
B.D(X)=
C.E(X)=
D.E(X)=D(X)
3.把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位,得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是( )
A.曲线b仍然是正态曲线
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a为概率密度曲线的总体的均值大2
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2
D
【拓展练习】
1.设X~N(0,1).
①P(-ε<X<0)=P(0<X<ε);
②P(X<0)=0.5;
③已知P(│X│<1)=0.6826,则P(X<-1)=0.1587;
④若P(│X│<2)=0.9544,则P(X<2)=0.9772;
⑤若P(│X│<3)=0.9974,则P(X<3)=0.9987;
其中正确的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
2.已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率等于( )
A.0.0228B.0.0456C.0.9772D.0.9544
3.设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ≤C)=P(ξ>C)=p,那么p的值为( )
A.0B.
C.1D.不确定,与σ有关
4.已知从某批材料中任取一件时,取得的这件材料的强度ξ~N(200,18),则取得的这件材料的强度不低于180的概率为( )
A.0.9973B.0.8665C.0.8413D.0.8159
本节课的教学设计力求体现教师主导,学生主体的原则,体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想,突出以下几点:
1.注重目标控制,面向全体学生,启发式教学.
2.学生通过自主探究参与知识的形成过程,让学生真正地学会学习,也就是让学生主动建构式的学习,真正掌握学习方法.
备选例题:
1.若X~N(μ,σ2),问X位于区域(μ,μ+σ)内的概率是多少?
P(μ<
μ+σ)=
P(μ-σ<
μ+σ)≈
×
0.6826=0.3413.
2.某年级的一次信息技术测验成绩近似地服从正态分布N(70,102),如果规定低于60分为不及格,求:
(1)成绩不及格的人数占多少?
(2)成绩在80~90内的学生占多少?
(1)设学生的得分情况为随机变量X,X~N(70,102),其中μ=70,σ=10,
在60到80之间的学生占的比例为P(70-10<
70+10)≈0.683=68.3%,
所以不及格的学生占的比例为0.5×
(1-0.683)≈0.159=15.9%;
(2)成绩在80到90之间的学生占的比例为
0.5×
[P(70-2×
10<
70+2×
10)-P(70-10<
70+10)]
≈0.5×
(0.954-0.683)≈0.136=13.6%.
(设计者:
刘鹏)
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- 正态分布 新人 高中数学 选修 23 教学 设计
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