中山大学信息光学习题课后答案习题234章作业Word文档格式.docx
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2.6证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式:
(1)若fr(r)-(r-r。
),则B{fr(r)}=2n。
」。
(2n。
「);
(2)若a^r釘时fr(r)=1,而在其他地方为零,贝UB{fr(r)}=」1(2n)—aj1(2启);
*1fP)
(3)若B{fr(r)}=F(P),贝VB{fr(r)}=p—;
ala丿
⑷B{e-n,eY
2.7设g(r^)在极坐标中可分离变量。
证明若f(r户)二f「(r)e叫,则:
F{f(rj)}=(T)meimHm{fr(r)}
其中Hm{}为m阶汉克尔变换:
Hm{fr(r)}=2rfr(r)Jm(2n'
)dr。
而('
,)空间频率中的极坐
标。
(提示:
eiasinx八二
—:
Jk(a)e
ikx
fx—1\p
i'
x+3'
(1)recti*6(2x—3)
(2)rect1
12丿
计算下列各式的一维卷积。
x-1
(3)rect*comb(x)
*、(x-4)*、(x-1)
ITOC'
(4)sinrect(x)
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
试用卷积定理计算下列各式。
用宽度为a的狭缝,对平面上强度分布
f(x)=2cos(2n0x)
扫描,在狭缝后用光电探测器记录。
求输出强度分布。
利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。
假定缝宽为
计算下面函数的相关。
应用傅里叶定理求下面积分。
7n2
(1)ecos(2^ax)dx
002
(2)sine(x)sin(nx)dx
求函数f(x)=rect(x)和f(x)
=tri(x)的一阶和二阶导数。
试求下图所示函数的一维自相关。
试计算函数f(x)二rect(x-3)的一阶矩。
证明实函数f(x,y)的自相关是实的偶函数,即:
Rff(x,y)二Rff(-x,-y)。
求下列广义函数的傅里叶变换。
(1)step(x)
(2)sgn(x)(3)sin(2n0x)
求下列函数的傅里叶逆变换,并画出函数及其逆变换式的图形。
⑴H(x)二tri(x1)「tri(x-1)
(2)G(x)二rect(x/3)「rect(x)
2.20表达式
comb
p(x,y)二g(x,y)*comb三(
_x
定义了一个周期函数,它在x方向上的周期为
X,它在y方向上的周期为Y。
⑻证明p的傅里叶变换可以写为:
其中G是g的傅里叶变换。
(b)
P(,)。
习题3
3.1设在一线性系统上加一个正弦输入:
g(x,y)=cos[2nx•y)],在什么充分条件下,输出是一个
空间频率与输入相同的实数值正弦函数?
用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。
3.2证明零阶贝塞尔函数2J°
(2n°
r)是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。
对应的本
征值是什么?
3.3傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换,因此它满足本章把提出的关系系统的定义。
试
问:
(a)这个系统是线性的吗?
(b)你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数?
如果能够,它是什么?
如果不能,为什么不能?
3.4某一成像系统的输入是复数值的物场分布U°
(x,y),其空间频率含量是无限的,而系统的输出是像场
分布Ui(x,y)。
可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器,其传递函数在频域上的区间
「亞Bx,|FBy之外恒等于零。
证明,存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体Uo(x,y),
它与真实物体Uo产生完全一样的像Ui,并且等产供效物体的场分布可写成:
OCIOdr
U°
(x,y)=\'
Uo(,)sinc(n-2Bx)sinc(m-2BY)dd
joo
3.5定义:
0fif(x,y)dxdy
0HF(今)d®
f(o,o)假
F(0,0厂二
分别为原函数f(x,y)及其频谱函数F(】)的“等效面积”和“等效带宽”
「xy
nm
x_臥,y_2BY
,试证明:
.;
xyL「二1
上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比,称为傅里叶变换反比定理,亦称面积计算定理。
3.6已知线性不变系统的输入为:
f(x)二comb(x)。
系统的传递函数为rect(/b)。
当b=1和b=3时,
求系统的输出g(x),并画出函数及其频谱。
3.7对一个线性不变系统,脉冲响应为:
h(x)=7sinc(7x)
用频率域方法对下列的每一个输入fi(x),求其输出gi(x)(必要时,可取合理近似):
(1)f|(x)=cos4n
(2)f2(x)二cos(4n()rect(x/75)
⑶f3(x)=[1cos(8n)]rect(x/75)(4)f4(x)二comb(x)*rect(2x)
3.8给定正实常数0和实常数a和b,求证:
(1)
若|b|—,则—sinc(x/b)*cos(2
2-0|b|
n0x)二cos(2n0x)
若|b|丄,则—sinc(x/b)*cos(2
2-0|b|
noX)=O
若|b|:
|a|,则sinc(x/b)*sinc(x/a)
=|b|sinc(x/a)
(4)若|b|:
回,则sinc(x/b)*sinc2(x/a)=|b|sinc2(x/a)
2
1
3.9若限带函数f(x)的傅里叶变换在带宽w之外恒为零,
(1)如果|a|,证明:
w
|a|
sin(x(a/)叹=(f)x
()
(2)如果|a|•丄,上面的等式还成立吗?
3.10给定一个线性系统,输入为有限延伸的矩形波:
g(x)二1comb(x/3)rect(x/100)*rect(x)
若系统脉冲响应:
h(x)二rect(x—1)。
求系统的输出,并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的
图形。
3.11
给定一线性不变系统,输入函数为有限延伸的三角波
g(x)二-comb(x/2)rect(x/50)*tri(x)IL2
对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出:
(1)H()二rect(/2)
(2)H()二rect(/4)-rect(/2)
3.12若对函数:
h(x)=asinc(ax)抽样,求允许的最大抽样间隔。
3.13证明在频率平面上一个半径为B的圆之外没有非零的频谱分量的函数,遵从下述抽样定
理:
g(x,y)W£
glX工匸J
12B2B.丿42n/2B)2+(y-m/2B)2
习题4
4.1尺寸为ab的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明,求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。
4.2采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径,求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布:
(1)t(x°
y。
)=circ(Jx:
+y:
)⑵t(X0,y°
)=J1,:
科x°
+y0,
10,其它
4.3余弦型振幅光栅的复振幅透过率为:
t(x0)=abcos(2二x0/d)
式中,d为光栅的周期,ab0。
观察平面与光栅相距z。
当z分别取下述值时,确定单色平面波垂直照明光栅,在观察平面上产生的强度分布。
⑶zg
面上,坐标为(0,b)。
假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内,证明观察平面上强
度分布是以P点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。
位于夫琅禾费区,也孔径相距为z。
求衍射图样的强度分布。
用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径,求距离为z的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强
度分布。
单位振幅的单色平面波垂直照明孔径,求出相距孔径为z的观察平面上夫琅禾费衍射图
样的强度分布并画出沿y方向截面图。
4.8参看下图,边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模,其中心落在
(,)点。
采用单位振幅的单色平面波垂直照射,求出与它相距为z的观察平面上夫琅禾
费射图样的光场分布。
画出x'
y'
O时,孔径频谱在x方向上的截面图。
4.9下图所示孔径由两个相同的矩孔构成,它们的宽度为a,长度为b,中心相距d。
采用单
位振幅的单色平面波垂直照明,求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
假定b=4a及d=1.5a,画出沿x和y方向上强度分布的截面图。
4.10下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示,即:
t(xo)=step(xo)
采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏,求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图
样的复振幅分布。
画出沿x方向的振幅分布曲线。
4.11下图所示为宽度为a的单狭缝,它的两半部分之间通过相位介质引入位相差n。
位振幅的单色平面波垂直照明,求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。
画出沿x方向的截面图。
4.12线光栅的缝宽为a,光栅常数为d,光栅整体孔径是边长L的正方形。
试对下述条件,分别确定a和d之间的关系:
(1)光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。
(2)光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。
4.13衍射屏由两个错开的网络构成,其透过率可以表示为:
t(x,y))=combx(a/)coynbb/)comb[aa0.1)y)bcomb(/)
采用单位振幅的单色平面波垂直照明,求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强
画出沿x方向的截面图。
4.14如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。
其折射率为n,齿宽为a,齿形角为:
•,光栅的
整体孔径为边长为L的正方形。
采用单位振幅的单色平面波垂直照明,求相距光栅为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。
若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大,:
角应如何选择?
4.15衍射零是由mn个圆孔构成的方形列阵,它们的半径都为a,其中心在xo方向间距为
dx,在y。
方向间距为dy,采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏,求相距为z的观
察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
4.16在透明玻璃板上有大量(N)无规则分布的不透明小圆颗粒,它们的半径都是a。
位振幅的单色平面波垂直照明,求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。
古希腊哲学大师亚里士多德说:
人有两种,一种即吃饭是为了活着”一种是活着是为了吃饭”一个人之所以伟大,首先是因为他有超于常人的心。
志当存高远”,风物长宜放眼量”这些古语皆鼓舞人们要树立雄无数个自
己,万千种模样,万千愫情怀。
有的和你心手相牵,有的和你对抗,有的给你雪中送炭,有的给你烦忧……
与其说人的一生是同命运抗争,与性格妥协,不如说是与自己抗争,与自己妥协。
人最终要寻找的,就是最爱的那个自己。
只是这个自己,有人终其一生也未找到;
有人只揭开了冰山的一角,有人有幸会晤一次,却已用尽一生。
人生最难抵达的其实就是自己。
我不敢恭维我所有的自己都是美好的,因为总有个对抗的声音:
你还没有这样的底气。
很惭愧,坦白说,自己就是这个样子:
卑微过,像一棵草,像一只蚁,甚至像一粒土块,但拒绝猥琐!
懦弱过,像掉落下来的果实,被人掸掉的灰尘,但拒绝屈膝,宁可以卵击石,以渺小决战强大。
自私过,比如遇到喜欢的人或物,也想不择手段,据为己有。
贪婪过,比如面对名利、金钱、豪宅名车,风花雪月,也会心旌摇摇,浮想联翩。
倔强过,比如面对误解、轻蔑,有泪也待到无人处再流,有委屈也不诉说,不申辩,直到做好,给自己证明,给自己看!
温柔过,当爱如春风袭来,当情如花朵芳醇,黄昏月下,你侬我侬。
强大过,内刚外柔,和风雨搏击,和坎坷宣战,不失初心,不忘梦想,虽败犹荣。
庸俗的自己,逐流的自己,又兼点若仙的自己,美的自己,丑的自己,千篇一律的自己,独一无二的自己。
我们总想寻一座庙宇,来安放尘世的疲惫,寻一种宗教,来稀释灵魂里的荒凉。
到头来,却发现,苦苦向往的湖光山色,原来一直在自己的心里,我就是自己的庙宇,我就是自己的信仰。
渺小如己,伟大如己!
王是自己,囚是自己。
庙堂是自己,陋室是自己。
上帝是自己,庶民是自己。
别人身上或多或少都投射着一个自己,易被影响又不为所动的自己。
万物的折痕里都会逢到一个缩小版的自己,恍如隔世相逢,因此,会痴爱某一物,也会痛恨某一物的自己。
万事的细节里都会找到自己的影子,或喜或忧的自己。
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