学年八年级数学上册 第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗作业设计 新版北师大版Word文件下载.docx
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③9,40,41;
④4,6,8;
⑤32,42,52,以各组数为边长,能组成直角三角形的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
9.适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为( )
①a=3,b=4,c=5;
②a=6,∠A=45°
;
③a=2,b=2,c=2
④∠A=38°
,∠B=52°
.
10.在△ABC中,已知AB=12cm,AC=9cm,BC=15cm,则△ABC的面积等于( )
A.108cm2B.90cm2C.180cm2D.54cm2
二.填空题(共10小题)
11.如图,AD=8,CD=6,∠ADC=90°
,AB=26,BC=24,该图形的面积等于__.
12.三角形的三边长为a、b、c,且满足等式(a+b)2﹣c2=2ab,则此三角形是__三角形(直角、锐角、钝角).
13.有一根长24cm的小木棒,把它分成三段,组成一个直角三角形,且每段的长度都是偶数,则三段小木棒的长度分别是__cm,cm,cm.
14.下列四组数:
①4,5,8;
②7,24,25;
③6,8,10;
④
,
,2.其中可以为直角三角形三边长的有.(把所有你认为正确的序号都写上)
15.我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数.现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数.你能发现其中规律吗?
请完成下列空格.
3,4,5;
5,12,13;
7,24,25;
9,40,41;
11,__,__;
…
16.若△ABC得三边a,b,c满足(a﹣b)(a2+b2﹣c2)=0,则△ABC的形状为__.
17.若一个三角形的三边之比为5:
12:
13,且周长为60cm,则它的面积为__cm2.
18.一个零件的形状如图,工人师傅量得这个零件的各边尺寸(单位:
dm)如下:
AB=3,AD=4,BC=12,CD=
13,且∠DAB=90°
,这个零件的面积为.
19.如图,四边形ABCD中,∠B=90°
,AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,则四边形ABCD的面积是__.
20.小明有两条长分别是3厘米和4厘米的小木棒,当他再找一根长度为__厘米的小木棒时,可以使这三根木棒刚好拼成一个直角三角形.
三.解答题(共10小题)
21.如图在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°
,求∠DAB的度数.
22.一块试验田的形状如图,已知:
∠ABC=90°
,AB=4m,BC=3m,AD=12m,CD=13m.求这块试验田的面积.
23.如图,点E在正方形ABCD内,AE=6,BE=8,AB=10.试求出阴影部分的面积S.
24.如图:
∠ADC=90°
,AD=12,CD=9,AB=39,BC=36,求四边形ABCD的面积.
25.如图是一块地的平面图,AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,∠ADC=90°
,求这块地的面积.
26.如图,有一块土地形状如图所示,∠B=90°
,AB=BC=4,CD=6,AD=2,请计算这块土地的面积.
27.已知:
△ABC中,AB=13,BC=10,中线AD=12,求证:
AB=AC.
28.在△ABC中,D为BC的中点,AB=5,AD=6,AC=13.试判断AD与AB的位置关系.
29.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合大学,为了方便A、B两地师生的交往,学校准备在相距5km的A、B两地之间修筑一条笔直的公路,已知在C地有一个以C为圆心,半径为2km的果园,而且AC=4km,BC=3km,问:
计划修筑的这条公路会不会穿过该果园?
为什么?
30.设点E,F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,且AB=4,BE=3EC,F为CD的中点,连结AF,AE,EF.问△AEF是什么形状的三角形?
请说明理由.
答案
一.选择题
1.【答案】A
【解析】∵正方形小方格边长为1,∴BC=
,AC=
,AB=
,在△ABC中,∵BC2+AC2=52+13=65,AB2=65,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.故选A.
考点:
1.勾股定理的逆定理;
2.勾股定理.
2.【答案】A
【解析】如果两条较小的边的平方和等于较大边的平方,则这个三角形就是直角三角形.A选项中
,这这个三角形不是直角三角形.
3.【答案】B
【解析】根据勾股定理的逆定理即可判断.因为
,所以4,5,6不能构成直角三角形,所以A选项错误;
因为
,所以
能构成直角三角形,所以B选项正确;
,所以6,8,77不能构成直角三角形,所以C选项错误;
,所以5,12,13不能构成直角三角形,所以D选项错误;
故选B.
4.【答案】C
【解析】①因为∠A+∠B=∠C,则2∠C=180°
∠C=90°
,所以△ABC是直角三角形;
②因为∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3,设∠A=x,则x+2x+3x=180,x=30°
∠C=30°
×
3=90°
③因为∠A=90°
−∠B,所以∠A+∠B=90°
则∠C=180°
−90°
=90°
④因为3∠A=2∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=
∠C
+
∠C+∠C=180°
∠C=
,所以三角形为钝角三角形。
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个。
故选:
C.
点睛:
本题考查了三角形内角和定理的应用,能求出每种情况的∠C的度数是解此题的关键.三角形内角和定理的应用:
①直接根据两已知角求第三个角;
②根据三角形中角的关系,用代数方法求第三个角;
③在直角三角形中,已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.
5.【答案】C
【解析】当第三边是斜边时,根据勾股定理得,第三边的长为
当第三边是直角边时,根据勾股定理得,第三边的长为
.故选C.
6.【答案】D
【解析】A、72+242=252,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形;
B、42+52=(
)2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形;
C、12+(
)2=(
D、402+502≠602,不符合勾股定理的逆定理,不是直角三角形.故选D.
勾股定理的逆定理.
7.【答案】C
【解析】如图,根据题意得OA=40×
15=600,OB=40×
20=800,因为6002=360000,8002=640000,10002=1000000,360000+640000=1000000.所以6002+8002=10002.所以∠AOB=∠AOB=90°
,所以∠BOS=∠B′ON=60°
,所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°
或北偏西60°
8.【答案】C
【解析】因为72+242=252;
122+162=202;
92+402=412;
42+62≠82;
(32)2+(42)2≠(52)2,所以能组成直角三角形的个数为3个.故选C.
本题主要考查了勾股定理的逆定理,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,已知一个三角形三边的长,常用勾股定理的逆定理判断这个三角形是否是直角三角形.
9.【答案】C
【解析】①a=3,b=4,c=5,∵32+42=25=52,∴满足①的三角形为直角三角形;
②a=6,∠A=45°
,只此两个条件不能断定三角形为直角三角形;
③a=2,b=2,
,∵22+22=8=
,∴满足③的三角形为直角三角形;
④∵∠A=38°
∠B=52°
,∴∠C=180°
−∠A−∠B=90°
,∴满足④的三角形为直角三角形。
综上可知:
满足①③④的三角形均为直角三角形。
故选C.
点睛:
根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义,验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”,由此即可得出结论.
10.【答案】D
【解析】∵92+122=152,∴根据勾股定理的逆定理,三角形是直角三角形,两直角边为9和12,所以△ABC的面积=12×
9×
=54(cm2).故选D.
根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形,再根据直角三角形的面积公式即可求解.
二.填空题
11.【答案】96
【解析】如图,连接AC,在Rt△ADC中,CD=6,AD=8,则
.在△ABC中,AB=26,BC=24,AC=10,则
故△ABC为直角三角形.
.故本题的正确答案应为96.
12.【答案】直角
【解析】
(a+b)2﹣c2=2ab,a2+2ab+b2-c2=2ab,a2+b2=c2,所以此三角形是直角三角形.故答案为直角.
13.【答案】6810
【解析】设直角三角形的三边长为x-2,x,x+2,则(x-2)2+x2=(x+2)2,解得,x=0(舍)或x=8.则x-2=8-2=6,x+2=8+2=10.故答案为6;
8;
10.
14.【答案】②③④
【解析】因为42+52≠82;
72+242=252;
62+82=102;
,所以可以为直角三角形三边长的有②③④.
故答案为②③④.
15.【答案】6061
【解析】勾股数的第一个数是奇数,第三个数比第二个数大1,且第二个数是偶数,注意到4=2×
1×
2;
12=2×
2×
3,24=2×
3×
4;
40=2×
4×
5;
60=2×
5×
6,60+1=61.故答案为
(1).60;
(2).61
16.【答案】等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
【解析】因为(a﹣b)(a2+b2﹣c2)=0,所以a-b=0或a2+b2=c2,所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.
17.【答案】120
【解析】可设三角形的三边分别为5x,12x,13x,则5x+12x+13x=60,解得x=2,所以三角形三边长分别为10,24,26.因为102+242=262(cm2).
方程思想;
勾股定理的逆定理;
直角三角形的面积公式.
18.【答案】36
【解析】连接BD,由勾股定理得BD的长,由勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形,然后分别求出这两个直角三角形的面积.连接BD,∵AB=3,AD=4,∠DAB=90°
,∴BD=
=
=5,∵BC
=12,CD=13,∴BD2+BC2=CD2,∴∠DBC=90°
.∴四边形ABCD的面积=
4+
12=36.这个零件的面积是36平方分米.
19.【答案】144
【解析】如图,连接AC,因为∠B=90°
,所以AC2=AB2+BC2=62+82=100.因为AC2+CD2=AD2,所以∠ACD=90°
.
所以S△ABC=
AB×
BC=
6×
8=24;
S△ACD=
AC×
CD=
10×
24=120.所以四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ACD
=24+120=144.故答案为144.
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理,当已知一个四边形的四边长和一个角是直角求四边形的面积时,通常连接一条对角线,将四边形分成两个三角形,将勾股定理和勾股定理的逆定理结合起来解题.
20.【答案】5或
【解析】因为这个直角的第三边的长不确定是直角边还是斜边,所以需要分类讨论:
当第三边是斜边时,根据勾股定理得,第三边的长为
.故答案为5或
21.【答案】135°
解:
连接AC,
∵∠B=90°
,AB=BC=2,∴AC=
=2
,∠BAC=45°
又∵CD=3,DA=1,∴AC2+DA2=8+1=9,CD2=9,
∴AC2+DA2=CD2,∴△ACD是直角三角形,
∴∠CAD=90°
,∴∠DAB=45°
+90°
=135°
22.【答案】36
【解析】连接AC,根据勾股定理得出△ABC和△ACD都是直角三角形,然后根据直角三角形的面积计算法则得出答案.
连接AC根据勾股定理可得:
AC=5m
∵AD=13m,CD=13m∴△ACD为直角三角形
∴S=3×
4÷
2+5×
12÷
2=6+30=36(平方米)
勾股定理
23.【答案】76
【解析】先判断△ABE是直角三角形,再用正方形的面积-直角△ABE的面积即可求解.
在△ABE中,∵AE=6,BE=8,AB=10,62+82=102,
∴△ABE是直角三角形,
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣
AE×
BE=100﹣
8=76.
24.【答案】324
【解析】连接AC,在Rt△ACD中,由勾股定理求出AC的长,由勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形,然后分别求这两个直角三角形的面积.
∵∠D=90°
,AD=9,CD=12,∴AC=15,
在△BCA中,BC2+AC2=152+362=392=AB2,∴△BCA是直角三角形,
∴S四边形ABCD=
AC•BC+
AD•CD,=
12+
36×
15,=54+270=324.
答:
四边形ABCD的面积是324.
25.【答案】24
【解析】连接AC,根据解直角△ADC求AC,求证△ACB为直角三角形,根据四边形ABCD的面积=△ABC面积-△ACD面积即可计算.
如图,连接AC,
∵AD=4,CD=3,∠ADC=90°
,∴AC=
=5,∴S△ACD=6,
在△ABC中,∵AC=5,BC=12,AB=13,
∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°
∴Rt△ABC的面积=30,∴四边形ABCD的面积=30-6=24.
1.勾股定理的逆定理;
2.勾股定理.
26.【答案】8+4
【解析】连接AC,在Rt△ABC中,由勾股定理求出AC的长,由勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形,然后分别求这两个直角三角形的面积.
,AB=BC=4,∴
∴
∵CD2=62=36,∴AC2+AD2=CD2,∴∠DAC=90°
∴S△ABC=
∴S△ADC=
∴这块土地的面积=
27.【解析】由勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形,再根据线段垂直平分线的性质即可得证.
∵AD是△ABC的中线,BC=10,∴BD=DC=
BC=5.
∵BD2+AD2=52+122=132=AB2,∴AD⊥BC,
∵AD是△ABC的BC边的中线,
∴AD是BC的中垂线,
∴AB=AC.
28.【答案】AD⊥AB
【解析】延长AD至E,使得AD=DE,连接BE,则易证△ADC≌△EDB(SAS),得EB=AC,在△ABE中由勾股定理的逆定理判断△ABE是直角三角形.
延长AD至E,使得AD=DE,连接BE,
∵D为BC的中点,∴BD=CD,
在△ADC和△EDB中,
∴△ADC≌△EDB(SAS),∴EB=AC=13,
∵AD=6,∴AE=12,
∵52+122=132,∴AB2+AE2=EB2,
∴∠BAE=90°
,∴AD⊥AB.
29.【答案】不会穿过
【解析】先由勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形,再由三角形的面积公式求出点C到AB的距离即可.
计划修筑的这条公路不会穿过该果园,理由如下:
∵BC2+AC2=32+42=52=AB2,∴△ABC为直角三角形,
作CD⊥AB于D点,
BC•AC=
AB•CD,即:
4=5•CD,解得CD=2.4,
∵2.4>2,∴不会穿过.
30.【答案】△AEF是直角三角形
【解析】分别在Rt△ABE,Rt△ECF,Rt△FDA中用勾股定理求出AE,EF,AF的长,再根据勾股定理的逆定理判断△AEF是直角三角形.
∵AB=4,BE=3EC,∴EC=1,BE=3,
∵F为CD的中点,∴DF=FC=2,
∴EF=
,AF=
,AE=
=5.
∴AE2=EF2+AF2.
∴△AEF是直角三角形.
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理及正方形的性质,在正方形中一定存在有直角三角形,所以判断一个三角形是否是直角三角形,往往需要结合使用勾股定理和勾股定理的逆定理.
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