最新二次函数知识点总结及典型例题Word文档格式.docx
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二次函数的解析式有三种形式:
口诀-----一般两根三顶点
(1)—般一般式:
y=ax2•bx•c(a,b,c是常数,a=0)
(2)两根当抛物线y=ax2•bx•c与x轴有交点时,即对应的一元二次方程ax2bx0有实根乂勺和
22
x2存在时,根据二次三项式的分解因式ax■bx■c=a(x-xj(x-x2),二次函数y=axbxc可转化为两根式
y=a(x-xj(x-X2)。
如果没有交点,则不能这样表示。
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
(3)三顶点顶点式:
y=a(x-h)2•k(a,h,k是常数,a=0)当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我
们最好设顶点式,这样最简洁。
精品文档
【例1】、抛物线y=ax?
+bx+c与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,且过(-1,16),求抛物线的解析式。
是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,则
(1)abc0(>或<或=)
(2)a的取值范围是
【例3】、下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()
2222
A.y=(x-2)+1B.y=(x+2)+1C.y=(x-2)-3D.y=(x+2)-3
知识点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x-时,y最值二麻一13
2a4a
K
如果自变量的取值范围是X1—X—X2,那么,首先要看-——是否在自变量取值范围X1—X—X2内,若在此范围内,2a
b4ac—b2
则当X=时,y最值;
若不在此范围内,则需要考虑函数在为乞X乞X2范围内的增减性,如果在此范
围内,y随x的增大而增大,则当x=x2时,y最大=ax;
bx2c,当-x1时,y最小二ax;
bx1c;
如果在此
范围内,y随x的增大而减小,则当
【例1】、已知二次函数的图像(下列说法正确的是()
A.有最小值0,有最大值3C.有最小值—1,有最大值3
x=X1时,y最大二ax;
bx1■c,当x=X2时,y最小二ax;
0<xw3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内
B.有最小值—1,有最大值0
D.有最小值一1,无最大值
【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.
当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每
天支出20元的各种费用•根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元•设每个房间的房价每天增加x元(X为10
的正整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式;
(3)—天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?
最大利润是多少元?
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
二次函数
函数
y=ax2bxc(a,b,c是常数,a=0)
2、二次函数y=axbxc(a,b,c是常数,a=0)中,a、b、c的含义:
a表示开口方向:
a>
0时,抛物线开口向上
a<
0时,抛物线开口向下
b
b与对称轴有关:
对称轴为x=-
c表示抛物线与y轴的交点坐标:
(0,c)
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点横坐标。
因此一元二次方程中的厶二b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当厶>
0时,
当厶=0时,
当厶<
图像与
x轴有两个交点;
x轴有一个交点;
x轴没有交点。
【例1】、抛物线y=x-2x-3的顶点坐标是
【例2】、二次函数y=x2+2x_5有()A.最大值-5B.最小值一5C.最大值一6D.最小值一6
【例3】、由二次函数y=2(x—3)2+1,可知()
A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线x=OC.其最小值为1D.当x:
:
3时,y随x的增大而增大
【例4】、已知函数y=(k_3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,贝Uk的取值范围是()
A.k:
:
4
B.
—4
C.
k:
4且k=3
D.—4且k=3
【例5】、
下列函数中
当x>
0时y值随
x值增大而减小的是(
).
3
1
A.y=
=x
B.y
=x—1
C.y=x
D.y=
x
【例6】、
若二次函数
y=(x
-m)2-1.
当xwl时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是()
A.
.m=lB
.m>
C.m
i>
lD.mwl
知识点五、二次函数图象的平移
1对于抛物线y=ax2+bx+c的平移
通常先将一般式转化成顶点式y=ax-hk,再遵循左加右减,上加下减的的原则
化为顶点式有两种方法:
配方法,顶点坐标公式法。
在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后,在写顶点式时,要减去顶点的横坐标,加上顶点的纵坐标。
2y二ax2bxc沿y轴平移:
向上(下)平移m(m>
0)个单位,y二ax2bxc变成y二ax2bxcm
(或y=axbxc-m)
3当然,对于抛物线的一般式平移时,也可以不把它化为顶点式
y=ax2bxc:
向左(右)平移m(m>
0)个单位,y=ax2bx■c变成y=a(xm)2b(xm)c(或
y=a(x-m)b(x-m)c)
【例1】、将抛物线y=-x向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是()
A.y二-(X2)B.y二-x
2C.y二一(x〜2)D.y二一x-2
【例2】、将抛物线y=x2—2x向上平移
3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是
【例3】、抛物线
y=x可以由抛物线
A.先向左平移
2个单位,再向上平移
3个单位
B.先向左平移
2个单位
再向下平移
C.先向右平移
D.先向右平移
再向上平移
【补】抛物线y=2x2-3x-7
在x轴上截得的线段的长度为
【公式】抛物线y=ax2+bx+c在x轴上截得的线段的长度为
知识点六、抛物线y=ax2•bx•c中,a、b、c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小,这与y=ax2中的a完全一样.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2•bx•c的对称轴是直线x—,故:
①b二0时,
对称轴为y轴;
②b0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;
③b0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右aa
侧•口诀---左同,右异(a、b同号,对称轴在y轴左侧)
(3)c的大小决定抛物线y=ax2•bx•c与y轴交点的位置.
当x=0时,y=c,「.抛物线y=ax2・bx・c与y轴有且只有一个交点(0,c):
①c=0,抛物线经过原点;
②c0,与y轴交于正半轴;
③c:
0,与y轴交于负半轴•
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立•如抛物线的对称轴在y轴右侧,则-:
0.
a
【例1】、如图为抛物线y=ax2+bx+c的图像,A、B、C为抛物线与坐标轴的交点,且O/=O(=1,则下列关系中正确
的是()
A.a+b=—1B.a—b=—1C.b<
2aD.ac<
【例2】、已知抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是()
A.a>
0B.bv0C.cv0D.a+b+c>
【例3】、如图所示的二次函数y=ax+bx+c的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:
(1)b—4ac>
0;
(2)
c>
1;
(3)2a—b<
0;
(4)a+b+c<
0。
你认为其中错误的有()A.2个B.3个C.4个D.1个
2一门)
【例4】、如图,二次函数y=ax+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为一,1I,下列结论:
①acv0;
②a+b=0;
12丿
③4ac—b=4a:
④a+b+cv0.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4
【例5、、如图,是二次函数y=ax+bx+c(a丰0)的图象的一部分,给出下列命题:
①a+b+c=0:
②b>
2a;
③ax+bx+c=0
的两根分别为-3和1;
④a-2b+c>
0.其中正确的命题是.(只要求填写正确命题的序号)
【例6】、如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的■对称轴,则下列关系正确的是()
A.m=n,k>
hB.m=n,kvh
C.m>
n,k=hD.mvn,k=h
知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式(浙教版教材上没讲过,但是非常有用,一定要理解性地记忆)
1、两点间距离公式:
如图:
点
A坐标为(xi,yi),点B坐标为(X2,y2),贝VAB间的距离,即线段AB的长度为
.洛-X22•%-丫22(这实际上是根据勾股定理得出来的)
2、中点坐标公式:
如图,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为A(Xi,yi),
B(X2,y2),AB中点P的坐标为(Xp,yp).由Xp-Xi-Xp,得Xp=仝X2,
同理壯二,所以AB的中点坐标为(乞公,匹丄).
222
3、两平行直线的解析式分别为:
y=kix+bi,y=k2X+b2,那么ki=k2,也就是说当我们知道一条直线的k值,就一定能知
道与它平行的另一条直线的k值。
4、两垂直直线的解析式分别为:
y=kiX+bi,y=k2X+b2,那么kiXk2=-i,也就是说当我们知道一条直线的k值,就一定
能知道与它垂直的另一条直线的k值。
(对于这一条,只要能灵活运用就行,不需要理解)
以上四条,我称它们为坐标系中的“四大金刚”
一2
【例i】、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x+2x+3与X轴交于A.B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B.D两点的坐标;
(2)点P是x轴上一个动点,过P作直线I//AC交抛物线于点Q,试探究:
随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;
若不存在,
请说明理由.
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出M点的坐标.
【例2】、如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-i,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.(i)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+M啲值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF//BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?
若能,求点E的坐标;
若不能,请说明理由;
,求△APC的面积的最大值.
BC为一边,点0为对称中心作菱形BDEC点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m0),过P作x轴的垂线I
交抛物线于点Q
(1)求点ABC的坐标;
(2)当点P在线段OB上运动时,直线I分别交BDBC于点MN。
试探究m为何值时,四边形CQM是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM勺形状,并说明理由。
(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q使"
BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出Q点坐标;
若不存在,请说明理由。
【练习】
1、平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线•如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m,距地面均为1m学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m2.5m处•绳子在甩到最高处时刚好通
过他们的头顶•已知学生丙的身高是1.5m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)()
2/
x_1-1x<
3
2、已知函数
y,则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为(
j(x-52-1(x>
3)
中的大致图象是()
4.
如图,已知二次函数y=x?
+bx+c的图象经过点(一1,0),(1,—2),当y随x的增大而增大时,x的取值
给出下列结果
6.已知二次函数y=ax2•bx•c的图像如图,其对称轴x=-1
①b2.4ac②abc0③2ab=0④abc0⑤a-b,c:
0,则正确的结论是()
A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤
7.抛物线y二axbxc上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如上表:
从上表可知,下列说法中正确的
③抛物线的对称轴是x=1;
④在对称轴左侧,y随x增大而增大.
是.(填写序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3,0);
②函数y=ax2+bx+c的最大值为6;
OA.
8.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(一2,4),
(1)求厶OAB的面积;
(2)若抛物线y二-X-2xc经过点A.
①求c的值;
②将抛物线向下平移m个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在
的内部(不包括△OAB的边界),求m的取值范围(直接写出答案即可).
12I
9、“已知函数y=」x2+bx+c的图象经过点A(c,—2),,这个二次函数图象的对称轴是x=3。
”题
2
目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?
若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;
若不能,请说明理由。
10、如图所示,在平面直角坐标系中,四边形
M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是
ABCD是直角梯形,BC//AD,/BAD=90°
BC与y轴相交于点M,且
A(-1,0),B(-1,2),D(3,0),连接DM,并把线段DM沿DA方向
(2)抛物线上是否存在点P.使得PA=PC.若存在,求出点P的坐标;
若不存在.请说明理由。
(3)
平移到ON,若抛物线
y=ax2+bx+c经过点D、
M、N.
(1)求抛物线的解析式
设抛物线与x轴的另一个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有QE-QC最
12
11、如图,抛物线y=x+bx—2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(一1,0)
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
⑵判断△ABC的形状,证明你的结论;
⑶点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求m的值.
12、在平面直角坐标系中,如图1,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和0C分别落在x轴
和y轴的正半轴上。
设抛物线y=ax2+bx+c(a<
0)过矩形顶点B、C.
(1)当n=1时,如果a=—1,试求b的值;
(2)当n=2时,如图2,在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN,使EF在线段CB上,如果M,N两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
将矩形OABC绕点0顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点0,
1、已知双曲线xy=1与直线y=—x+Jb无交点,贝Ub的取值范围是
4、
2、如图1,直线y=kx(k>
0)与双曲线y=—交于A(xi,yi),B(X2,y)两点,贝V2xiy2—7x2yi的值等于.
3、如图,双曲线y(X-0)经过四边形OABC勺顶点A、C,/ABC=90°
OC平分OA与X轴正半轴的夹角,AB
X
//X轴,将△ABC沿AC翻折后得到△AB/C,B/点落在OA上,则四边形OABC的面积是.
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