《12函数及其表示》导学案3文档格式.docx
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解 要能表示成y为x的函数,则必须对于定义域内任意一个x,均有惟一的y值与之对应.
(1)满足要求,可表示成y为x的函数
y=-
(x≠0).
(2)不满足,因为对于(-1,0]内任一x值,均有两个y值与之对应,因此不能表示成y为x的函数.
(3)满足要求,可表示为y=
.
二、判断两函数是否表示同一函数
例2判断下列各组函数是否表示同一函数,并说明理由.
(1)f(x)=
,g(x)=x0;
(2)f(x)=
,g(x)=
解
(1)中f(x)=
=1(x≠0),g(x)=x0=1(x≠0),其定义域均为{x|x≠0}且对应关系也相同,故是同一函数.
(2)中f(x)的定义域为[1,+∞),而g(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),其定义域不同,故不是同一函数.
三、根据条件求f(a)或f[g(x)]的表达式
例3已知f(x)=
求f[f(-1)]及f(x2+1).
分析 已知函数为分段函数,要根据变量的取值,正确选择相应的解析式,所以在研究分段函数时,要特别注意定义域的制约作用.
解 f(-1)=-(-1)+1=2,
则f[f(-1)]=f
(2)=22+1=5.
因为x2+1>
0,
则f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.
四、求函数的定义域与值域
例4求函数y=
的定义域.
分析 我们目前要考虑定义域主要考虑下列各种情形:
①偶次根式的被开方数为非负数;
②分式的分母不能为零;
③幂指数为零时,底数不能为零;
④自变量本身的实际意义等.
解 根据题意得
解之得x≥-2且x≠3.
所以函数的定义域为{x|x≥-2且x≠3}.
例5已知y=f(x+1)的定义域为[1,2],求下列函数的定义域:
(1)f(x);
(2)f(x-3);
(3)f(x2).
分析 本题为根据题中的已知条件求函数的定义域,应根据自变量的特点求解.
解
(1)∵f(x+1)的定义域为[1,2],即1≤x≤2,
∴2≤x+1≤3,即f(x)的定义域为[2,3].
(2)∵f(x)的定义域为[2,3],
∴2≤x-3≤3.∴5≤x≤6.
即f(x-3)的定义域为[5,6].
(3)∵f(x)的定义域为[2,3],
∴2≤x2≤3,∴
≤x≤
或-
≤x≤-
,
即f(x2)的定义域为[-
,-
]∪[
].
点评
(1)若y=f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))的定义域是a≤g(x)≤b的解集;
(2)已知f(g(x))的定义域为[a,b],则当x∈[a,b]时g(x)的函数值的取值集合就是f(x)的定义域.
例6下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )
A.y=
B.y=2x+1(x>
0)
C.y=x2+x+1
D.y=
分析 求函数的值域方法很多,但目前我们只要会求一些简单函数的值域即可.
解析 A.由于x2-3x+1=(x-
)2-
≥-
所以y=
的值域为[0,+∞);
B.y=2x+1函数值y随着x增大而增大,
所以y=2x+1(x>
0)值域为(1,+∞);
=(x+
)2+
≥
则y=x2+x+1的值域为[
,+∞);
,x≠0,x2>
0,则y>
0.
故只有选项D正确.
答案 D
学习“函数的表示方法”应注意的几个细节
函数有三种常用的表示法:
列表法、图象法和解析法,三种表达形式在本质上都揭示了量与量之间的函数关系,我认为学好本节内容应从以下几个细节入手:
(1)要学会用不同的方式表示函数,并能将其相互转化,转化时应注意式子要恒等变形,否则定义域及值域都可能发生变化.
(2)已知函数类型,求函数解析式最常用方法是待定系数法,解题关键在于简略地列出方程组求解系数,但在很多求解析式的问题中,不确定给出哪一种类型的函数,此时就要另寻捷径.
(3)换元法与整体替换法是求解一类函数解析式的通法,但要注意引入“元”的范围,即定义域问题.
(4)学习分段函数时,要注意分段函数是一个函数而不是几个函数这一细节,分段函数具有很强的抽象性,在解决有关分段函数的有关问题时,不要被其表面形式所迷惑.
(5)解决抽象函数的有关问题的基本方法是:
给变量赋予特殊值,从而使问题具体化、简单化,减少变量个数,找到解题规律,达到求出函数解析式的目的.至于给变量赋予怎样的特殊值,则应根据题目的结构特征来确定.
(6)理解映射的定义,进一步理解函数的实质——两个非空数集间的一种映射.
认识我的“三古怪”——映射
我叫映射,是两个集合间元素与元素的对应关系.我本身由三部分构成,即“原象的集合A”、“象的集合B”和“从集合A到集合B的对应关系f”.我的脾气有点古怪,下面介绍一下我自己.
古怪之一我十分偏爱“原象”:
表现在我要保证任何原象都有且仅有唯一的象和它对应
例7判断下列对应是否是集合A到集合B的映射.
(1)已知集合A={1,2,3,4},且集合B={3,4,5,6,7,8,9},对应关系为f:
x→2x+1;
(2)集合A=Z,B=N*,对应关系f:
a→b=(a+1)2;
(3)已知集合A={0,1,2,4},集合B={1,4,9,25},f:
a→b=(a+1)2.
分析 判断对应是否是集合A到集合B的映射,首先应看集合A的原象是否都在集合B内有且仅有唯一的象.
解
(1)A={1,2,3,4}的元素在对应关系f:
x→2x+1的作用下在B={3,4,5,6,7,8,9}中都能找到唯一的象,故此对应为映射.同理可知(3)也是映射.
(2)中集合A=Z的元素“-1”在集合B=N*中找不到象,故不是映射.
点评 同学们在判断两个集合间的对应关系是不是映射时,首先得看清原象集合中的元素,在对应关系f的作用下是否都有象,再看原象所对应的象是否唯一.
例8判断下列对应是否是映射,有没有对应关系,并说明理由.
分析 这是一道图表信息题.要判断对应是不是映射,先要弄清图中传达的信息.
解 图
(1)中元素b有两个象,故不是映射;
图
(2)中元素d没有象,故不是映射;
而图(3)中元素d是象,它可以没有原象,故是映射.图(3)给出的对应有对应关系,对应关系是用图形表示出来的.
点评 在判断图表信息给出的对应关系是否是映射时,由于对应关系不明显,元素间的对应关系是通过图象反映出来的,做题前应先弄清哪一个是原象的集合,哪一个是象的集合,再进行合理判断.
古怪之三我严把函数入口关:
表现在要想成为函数必须得先过我这一关
例9集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y<
1},下列选项中表示从M到N的函数的是( )
A.f:
x→y=
xB.f:
x→y=2x
C.f:
xD.f:
x→y=x
分析 选项从表面上看好象都是初中所学的一次函数,但函数的前提是映射,所以应先判断它们是否是映射.
解析 A选项中集合M中的元素“2”在集合N中没有象,故A选项不是映射,就更谈不上是函数了;
同理可得B项和D项也不是函数.故选C.
答案 C
点评 判断一个对应是不是函数时,同学们首先应判断对应是不是映射,因为要是函数先得是映射.
同学们现在看清了我这三个“古怪”的脾气了吗?
以后做题时可要注意,免得我给你们添麻烦!
函数及其表示易错点剖析
一、函数定义域中的误区
例10已知函数f(3x+1)的定义域为[1,7],求函数f(x)的定义域.
错解 欲求f(x)的定义域,就是求x的取值范围.
因为f(3x+1)的定义域为[1,7],
即1≤3x+1≤7,
解得0≤x≤2.
所以f(x)的定义域为[0,2].
剖析 定义域是自变量的取值范围,而f(3x+1)的自变量是x,即1≤x≤7.而求f(x)的定义域即是求f(x)中x的取值范围.
正解 令3x+1=t,则4≤t≤22.
即f(t)中,t∈[4,22].
故f(x)的定义域为[4,22].
例11求函数y=x+
的值域.
错解 令
=t,
则x=t2+1,
原函数表达式变为y=t2+t+1.
因为t2+t+1=(t+
即y≥
故所求函数y=x+
的值域为[
,+∞).
剖析 这是运用“换元法”解答这类问题的常见错误,错因在于忽视了换元后函数的定义域发生了变化.
正解 令
则x=t2+1(t≥0).
原函数表达式变为y=t2+t+1(t≥0).
因为t≥0,
所以y≥1.
即所求函数y=x+
的值域为[1,+∞).
二、函数图象中的误区
例12设集合M={x|0≤x≤2},集合N={y|0≤y≤2},给出下列四个图象,其中能表示集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
错解 函数的对应关系可以一对一,也可以多对一,故
(1)
(2)(3)正确,选D.
剖析 不但要考虑几对几的问题,还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应.
正解 图
(1),定义域M中的(1,2]部分没有和它对应的数,不符合函数的定义;
图
(2),定义域、值域及对应关系都是符合的;
图(3),y∈(2,3]部分不是集合N的子集,或者说没有对应的数;
图(4),在定义域的(0,2]上任给一个元素,值域的(0,2]上有两个元素和它对应,因此不惟一;
故只有图
(2)正确.
答案为B.
三、求值域时的误区
确定一个函数只需要两个要素:
定义域和对应关系,在此前提下,函数值也随之确定.因此,在求函数的值域时,必须注意函数的定义域.
例13求函数y=x2-2x,x∈[-1,2]的值域.
错解 y=x2-2x=(x-1)2-1,因为(x-1)2≥0,
所以y=(x-1)2-1≥-1.
从而知,函数y=x2-2x的值域为[-1,+∞).
剖析 这里函数的定义域有限制,即-1≤x≤2,上述解法只对二次函数y=ax2+bx+c(a>
0)在定义域为实数集时适用.
正解 y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[-1,2].由图象知,
当-1≤x<
1时,y随x的增大而减小;
当1≤x≤2时,y随x的增大而增大.
并且当x=-1时,y取最大值3;
当x=1时,y取最小值-1.
从而知-1≤y≤3,
即函数y=x2-2x,x∈[-1,2]的值域是[-1,3].
函数解析式求解的常用方法
一、换元法
例1已知f(
+1)=x+2
,求f(x).
分析 采用整体思想,可把f(
+1)中的“
+1”看做一个整体,然后采用另一参数替代.
解 令t=
+1,则x=(t-1)2(t≥1),
代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1.
∴f(x)=x2-1(x≥1).
点评 将接受对象“
+1”换作另一个元素(字母)“t”,然后从中解出x与t的关系,代入原式中便求出关于“t”的函数关系,此即为函数解析式,但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化,否则就得不到正确的表达式.此法是求函数解析式时常用的方法.
二、待定系数法
例2已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的表达式.
解 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则
f(x+1)+f(x-1)
=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c
=2ax2+2bx+2a+2c
=2x2-4x.
故有
解得
所以f(x)=x2-2x-1.
点评 若已知函数是某个基本函数,可设表达式的一般式,再利用已知条件求出系数.
三、方程消元法
例3已知:
2f(x)+f(
)=3x,x≠0,求f(x).
解 2f(x)+f(
)=3x,①
用
去代换①式中的x得2f(
)+f(x)=
.②
由①×
2-②得f(x)=2x-
,x≠0.
点评 方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的.
四、赋值法
例4设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式.
解 令x=y得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=1,
所以f(x)=x2+x+1.
点评 有些函数的性质是用条件恒等式给出的,有时可以通过赋值法使问题得以解决.
分段函数题型归纳
有些函数在其定义域中,对于自变量x的不同取值范围,对应关系不同,这样的函数通常称为分段函数.分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几条线段.而分段函数的值域也是各部分上的函数值的取值集合的并集,最好的求解办法是“图象法”.重要的是,分段函数虽由几部分构成,但它代表的是一个函数.
解决分段函数问题的基本思想是“分段归类”,即自变量在哪一段就充分利用这一段的函数解析式来分析解决问题.既要紧扣“分段”特征,又要将各段有机联系使之整体化、系统化.
一、分段函数的求值
例5已知函数f(x)=
则f{f[f(-2)]}=________.
解析 ∵-2<
-1,
∴f(-2)=2×
(-2)+3=-1.
又-1≤-1≤1,
∴f[f(-2)]=f(-1)=(-1)2=1.
又∵-1≤1≤1,
∴f{f[f(-2)]}=f
(1)=12=1.
答案 1
点评 求分段函数的函数值时,一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间,然后用与这个子区间相对应的关系式求函数值.
二、求分段函数的解析式
例6已知函数f(x)=
求f(x+1).
解 当x+1<
0即x<
-1时,
f(x+1)=
;
当x+1≥0即x≥-1时,
f(x+1)=(x+1)2.
所以f(x+1)=
三、分段函数的图象
例7函数f(x)=x+
的图象是( )
解析 因为f(x)=x+
=
故选C.
点评 本例为已知函数的解析式,确定选择分段函数的图象问题.
四、分段函数的实际应用
例8从甲同学家到乙同学家的中途有一个公园,甲、乙两家到该公园的距离都是2km,甲10点钟出发前往乙家,如图所示表示甲从自家出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分钟)的关系.依图象回答下列问题:
(1)甲在公园休息了吗?
若休息了,休息了多长时间?
(2)甲到达乙家是几点钟?
(3)写出函数y=f(x)的解析式.
解
(1)由图所知,甲在公园休息了,休息了10分钟.
(2)甲到达乙家是11点.
(3)函数y=f(x)是分段函数,
当0≤x≤30时,设y=k1x,将(30,2)代入,得k1=
当30<
x≤40时,y=2.当40<
x≤60时,设y=k2x+b.
将(60,4),(40,2)代入,得k2=
,b=-2.
所以f(x)=
函数图象的三种变换
函数的图象变换是高考中的考查热点之一,常见变换有以下3种:
一、平移变换
例9设f(x)=x2,在同一坐标系中画出:
(1)y=f(x),y=f(x+1)和y=f(x-1)的图象,并观察三个函数图象的关系;
(2)y=f(x),y=f(x)+1和y=f(x)-1的图象,并观察三个函数图象的关系.
解
(1)如图
(2)如图
点评 观察图象得:
y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到;
y=f(x-1)的图象可由y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到;
y=f(x)+1的图象可由y=f(x)的图象向上平移1个单位长度得到;
y=f(x)-1的图象可由y=f(x)的图象向下平移1个单位长度得到.
二、对称变换
例10设f(x)=x+1,在同一坐标系中画出y=f(x)和y=f(-x)的图象,并观察两个函数图象的关系.
解 画出y=f(x)=x+1与y=f(-x)=-x+1的图象如图所示.
由图象可得函数y=x+1与y=-x+1的图象关于y轴对称.
点评 函数y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称;
函数y=f(x)的图象与y=-f(x)的图象关于x轴对称;
函数y=f(x)的图象与y=-f(-x)的图象关于原点对称.
三、翻折变换
例11设f(x)=x+1,在不同的坐标系中画出y=f(x)和y=|f(x)|的图象,并观察两个函数图象的关系.
解 y=f(x)的图象如图1所示,y=|f(x)|的图象如图2所示.
点评 要得到y=|f(x)|的图象,把y=f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方,其余部分不变.
例12设f(x)=x+1,在不同的坐标系中画出y=f(x)和y=f(|x|)的图象,并观察两个函数图象的关系.
解 如下图所示.
点评 要得到y=f(|x|)的图象,先把y=f(x)图象在y轴左方的部分去掉,然后把y轴右边的对称图象补到左方即可.
与函数图象有关的问题
例13如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析 对于一个选择题而言,求出每一幅图中水面的高度h和时间t之间的函数关系式既无必要也不可能,因此可结合相应的两幅图作定性分析,即充分利用数形结合.
对于第一幅图,不难得知水面高度的增加应是均匀的,因此不正确;
对于第二幅图,随着时间的增加,越往上,增加同一个高度,需要的水越多,因此趋势愈加平缓,因此正确;
同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的.
故只有第一幅图不正确,因此选A.
答案 A
点评 本题考查函数的对应关系.由容器的形状识别函数模型,是典型的数形结合问题,“只想不算”有利于克服死记硬背,更突出了思维能力的考查.近两年的高考越来越注重对理性思维能力的考查.
变式拓展1向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是( )
解析 取水深h=
,此时注水量V′>
,即水深至一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半.
A中V′<
,C、D中V′=
,故排除A、C、D,选B.
答案 B
例14设甲、乙两地的距离为a(a>
0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
解析 依据题意,小王两段路程的速度是不一致的,前者速度要大些,且前者与后者的速度比为3∶2,因此前者图象倾斜程度要大些.此外,由于y表示的是路程,不是位移,因此选D.
点评 近几年的高考试题和高考模拟试题加大了对跨学科知识的考查,其中物理类题型最为多见.解决这类试题时,可结合物理中的相关知识来加以解答.如本题,由于往返所用时间是不一致的,因此速度也是不一致的,且前者与后者的速度比为3∶2,更为重要的是路程与位移的区别.
变式拓展2某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校
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