第04讲 共顶点三角形+范朝晖.docx
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第04讲共顶点三角形+范朝晖
第十三章轴对称
第四讲共顶点三角形专题
概述
教学内容
本讲内容涉及三角形全等的性质和判定以及等腰三角形和等边三角形的相关概念的知识点,在人教版课本第十二章中学习,在本系列教材初二第1册第四节中已学过.
专题1一般共顶点等腰三角形(共顶点顶点)
专题2共顶点等腰直角三角形
专题3共顶点等边三角形
专题4共顶点半角专题
专题讲解
专题1一般共顶点等腰三角形(共顶点顶点)
【例1】已知△ABC与△ADE中,AB=AC,AD=AE且∠BAC=∠DAE,点A,E在BC的同侧.
(1)如图1,点D在BC上,写出BC,CD,CE之间的数量关系;
(2)如图2,点D在BC的延长线上,其他条件不变,写出BC,CD,CE之间的数量关系.(2013,汉阳区期末)
解析:
归纳总结:
①题型特征:
②方法与技巧:
练1.1如图1,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC,将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度,连接BD,CE,得到图2,然后将BD,CE分别延长至M,N,使DM=
BD,EN=
CE,连接AM,AN,MN,得到图3,若AB=AC,请探究下列数量关系:
(1)在图2中,BD与CE的数量关系是.
(2)在图3中,猜想AM与AN的数量关系,∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想.
专题2共顶点等腰直角三角形
【例2】如图1、图2、图3,△AOB和△COD均是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,
(1)在图1中,AC与BD相等吗?
它们有怎样的位置关系?
请说明理由.
(2)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图2的位置,请问AC与BD还相等吗?
还具有原来的位置关系吗?
为什么?
(3)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图3的位置,请问AC与BD还相等吗?
还具有
(1)中的位置关系吗?
为什么?
(2014,汉江区期末)
解析:
归纳总结:
①题型特征:
②方法与技巧
练2.1如图,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=90°,BE,CF交于M,连接AM.
(1)判断BE与CF的关系;
(2)求∠AMC的度数.
练2.2已知AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=a,M、N分别是AD,CE的中点.
(1)如图1,若a=60°,则∠BMN=;
(2)如图2,若a=90°,则∠BMN=;
(3)将图2的△BDE绕B点逆时针旋转一锐角,如图3,则∠BMN=;
专题3共顶点等边三角形
【例1】如图,点C在线段BD上,△ABD与△ACE都为等边三角形,求∠BDE的度数.(2013,江岸区期末)
解析:
归纳总结:
①题型特征:
②方法与技巧
变式已知A、C、B共线,△ACD和△BCE为等边三角形,直线BD,AE交于点F,AE,CD相交于点M,BD,AE相交于点N.
(1)求证:
AE=BD;
(2)求∠AFB的度数;
(3)求证:
CM=CN;
(4)求证:
MN∥AB;
(5)CF平分∠AFB.
练3.1如图1,已知在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B、A、D在一条直线上,连接BE、CD,M、N分别为BE、CD的中点.
(1)求证:
①BE=CD;②△AMN是等腰三角形.
(2)在图1的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到如图2所示的图形,请直接写出
(1)中的两个结论是否仍然成立.
专题4共顶点半角专题
【例4】在等边△ABC的两边AB、AC所在的直线上分别有两点M、N,D为△ABC外的一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=CD,探究当点M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系;
(1)如图1,当点M、N分别在AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系为,此时
=;
(2)如图2,当点M、N分别在AB、AC上,且DM≠DN时,猜想
(1)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(3)如图3,当点M、N分别在AB、CA的延长线上时,若AN=x,则Q=.(用x,L表示)
练4.2已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD、DC(或它们的延长线)于E、F,当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF,问当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,弦断AE、CF、EF又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.(2013,汉阳区期末)
分级检测
A级
1、如图,已知点D在AC上,点B在AE上,△ABC≌△DBE,且∠BDA=∠A,∠A:
∠C=5:
3,则∠DBC等于()
A.30°B.25°C.20°D.15°
2、如图,将直角三角形(∠ACB为直角)沿线段CD折叠使B落在B’处,若∠ACB’=60°,则∠ACD的度数为.
3、如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为.
4、如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC中点,E,F分别在AC,AB上,且DE⊥DF,试判断DE,DF的数量关系,并说明理由.
5、如图,已知AD⊥AB,AE⊥AC,AD=AB,AE=AC,则下列结论:
①∠DAC=∠BAE;②△DAC≌△BAE;③DC⊥BE;④MA平分∠DME;⑤△BMC≌△CEA;正确的个数是()
A.2个B.3个C.4个D.5个
B级
1、如图,已知等腰△ABC与等腰△ADE,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,求证:
△ABD≌△ACE.
2、如图,已知AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE.
(1)求证:
BE=DC,∠B=∠C;
(2)求证:
BE⊥CD;
(3)连接AF,求∠AFC的大小.
3、如图,将△ABC绕A点顺时针方向旋转a角度到△ADE的位置,设BC与DE交于M点,连接AM.下列结论:
①BC=DE;②∠BAE=a;③∠DMB=a;④MA平分∠DMC.其中正确的是()
A.①②B.①③C.②③④D.①③④
4、两大小不等的等腰直角三角尺ADE与ABC的直角顶点A重合在一起.
(1)将两个三角尺如图1放置,使A,D,C在一条直线上,连接DB,CE,通过观察或测量BD,EC的长度,猜想BD,EC满足的数量和位置关系,并证明你的猜想.
(2)如图2,将三角尺ADE绕点A逆时针旋转,连接BD,EC,猜想BD,EC满足的数量和位置关系,并证明你的猜想.
(3)若三角尺ADE绕点A顺时针旋转到如图3所示位置,此时
(1)中的猜想还成立吗?
若成立,不需证明,说说你得到了什么结论和启示;若不成立,请说明理由.(2014,硚口区期末)
课后反馈
1、如图1,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论.
(2)将图1中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图2,则
(1)中的结论还成立吗?
做出判断并说明理由.
(3)若将图1中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图3(草图即可),则
(1)中的结论还成立吗?
2、如图1,已知点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,AN交MC于点E,BM交CN于点F.
(1)求证:
AN=BM;
(2)求证:
△CEF为等边三角形;
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°,其它条件不变,在图2中补出符合要求的图形,并判断第
(1)、
(2)两小题的结论是否仍然成立(不要求证明)
3、如图,已知点A(2,0),B(0,2),M是BO的中点,BD⊥AM于D,交x轴于C,
(1)求C点坐标;
(2)如果OF⊥OD交BC的延长线于F,求证:
OD=FO;
(3)将题目条件中的“M是BO的中点”改为“M是y轴负半轴上的一个动点”,其它条件不变,对于以下两个结论:
①∠AOD+∠OBD的值不变;②∠ABD+∠OAB的值不变,其中有且只有一个结论正确,请选择正确的结论并求结论中的值.(先画出符合题意的正确图形)
下次课必背
1、全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.
五个判定定理:
三边分别相等的两个三角形全等;两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等;两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等;两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等;斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
2、等要三角形的性质:
等腰三角形两个底角相等;等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
等腰直角三角形的性质:
在执教三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
3、角平分线的性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
4、一些简单做辅助线的方法.
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