沪科版九年级数学上册 第23章 232 解直角三角形及其应用 导学案.docx
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沪科版九年级数学上册第23章232解直角三角形及其应用导学案
解直角三角形及其应用
第一课时
教学目标:
1、熟练掌握直角三角形除直角外五个元素之间的关系。
2、学会根据题目要求正确地选用这些关系式解直角三角形。
教学重难点:
1、重点:
会利用已知条件解直角三角形。
2、难点:
根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。
教学过程:
1、复习回顾
*直角三角形三边的关系:
勾股定理a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:
两锐角互余∠A+∠B=90°.
*直角三角形边与角之间的关系:
锐角三角函数
*互余两角之间的三角函数关系:
sinA=cosB.
*同角之间的三角函数关系:
*特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
2、新课探究:
有以上的关系,如果知道了五个元素中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余的三个元素。
在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形。
例1在RT△ABC中,∠C=90°,∠B=42°6′,c=287.4,解这个三角形。
解:
∠A=90°-42°6′=47°54′
a=c·cosB=287.4×0.7420=213.3
b=c·sinB=287.4×0.6704=192.7
例2在△ABC中,∠A=55°,b=20cm,c=30cm,求三角形的面积
(精确到0.1cm2)
解:
如图,作AB上的高CD,在RT△ACD中,CD=AC·sinA=b·sinA.
当∠A=55°,b=20cm,c=30cm时,有
3、练习:
(1)在RT△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠BAC的平分线AD=,解此直角三角形。
(2)如图,根据图中已知数据,求△ABC
其余各边的长,各角的度数和△ABC
的面积
(3)如图,根据图中已知数据,求△ABC
其余各边的长,各角的度数和
△ABC的面积.
4、小结:
本节课主要学习了如何利用已知条件,选用合适的三角关系式解直角三角形,这是需要我们熟练掌握的,为后面学习解决实际问题提供打下基础。
5、作业:
课本108页练习1、2、3
6、个性化设计与反馈:
解直角三角形及其应用
第二课时
教学目标:
1、了解仰角、俯角的概念,并弄清它们的意义。
2、将实际问题转化成数学问题,并由实际问题画出平面图形,也能有平面图形想像出实际情景,再根据解直角三角形的来解决实际问题。
教学重难点:
1、重点:
将实际问题转化成数学问题且了解仰角、俯角的概念。
2、难点:
实际情景和平面图形之间的转化。
教学过程:
1、复习回顾:
*直角三角形三边的关系:
勾股定理a2+b2=c2.
直角三角形两锐角的关系:
两锐角互余∠A+∠B=90°.
*直角三角形边与角之间的关系:
锐角三角函数
*互余两角之间的三角函数关系:
sinA=cosB.
*同角之间的三角函数关系:
*特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
2、探究新课:
例如,如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?
(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
♦你能完成这个任务吗?
♦请与同伴交流你是怎么想的?
♦准备怎么去做?
这个图形与前面的图形相同,因此解答如下:
解:
如图,根据题意可知,∠A=30°,
∠DBC=60°,AB=50m.求CD的长
设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
答:
该塔约有43m高.
老师提示:
解决这个问题的方法,我们称为实际问题数学化,这是解决实际问题常用的方法。
在进行高度测量时,视线与水平线所成角中,当视线在水平线上方时叫做仰角,当视线在水平线下方时叫做俯角
3、例题:
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?
楼梯多占多长一段地面?
(结果精确到0.01m).
这个问题我们也应该数学化,根据题意可以画图为:
解:
如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.
(1)AB-BD的长,
(2)AD的长.
答:
调整后的楼梯会加长约0.48m.
(AD的长度请学生们共同讨论并计算,答案:
)
4、练习:
(1)有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).
(2)书本109页练习:
1、2、3
5、小结:
本节课学习了解决实际问题的重要方法:
实际问题数学化,由实际问题画出平面图形,也能有平面图形想像出实际情景,再根据解直角三角形的来解决实际问题。
并且了解了仰角,俯角的概念。
6、作业:
书本113页习题:
1、3、4
7、个性化设计与反馈:
解直角三角形及其应用
第三课时
教学目标:
1、航海方位角的概念,并学会画航行方位图,将航海问题转化成数学问题。
2、通过航海问题的解决让学生体会船只在海上航行的实际情景,从而培养空间想象力。
教学重难点:
1、重点:
学会画航行的方位图,将航海问题转化成数学问题。
2、难点:
将航海的实际情景用航行方位图表现出来。
教学过程:
1、复习回顾
如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定,CD与地面
成40°角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固
另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?
(结果精确到0.01m).
解:
如图,根据题意可知,∠CDB=40°,EC=2m,DB=5m.求DE的长.
∴∠BDE≈51.12°.
答:
钢缆ED的长度约为7.97m.
2、探究新课:
如图,海中有一个小岛A,该岛四周
10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航
行,开始在A岛南偏西550的B处,往东
行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.
♦你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图:
请与同伴交流你是怎么想的?
怎么去做?
解:
要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=55°∠CAD=25°BC=20海里.设AD=x,则
答:
货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
3、例题:
如图:
东西两炮台A、B相距2000米,
同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰C在
它的南偏东40゜的方向,炮台B测得敌舰
C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.
(精确到1米)
解 在Rt△ABC中,∵∠CAB=90゜-∠DAC=50°,
∴BC=AB•tan∠CAB
=2000×tan50゜≈2384(米).
又∵ ,
∴AC=
答:
敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
4、练习:
课本111页练习1、2
5、小结:
本节课我们学习了航海方位角的概念,并学会根据航海实际情景来画航行方位图,将航海问题转化成数学问题来解决。
6、作业:
课本113页3、5、8
7、个性化设计与反馈:
解直角三角形及其应用
第四课时
教学目标:
1、加强对坡度、坡角、坡面概念的理解,了解坡度与坡面陡峭程度的关系。
2、能解决堤坝等关于斜坡的实际问题,提高解决实际问题的能力。
教学重难点:
1、重点:
对堤坝等关于斜坡的实际问题的解决。
2、难点:
对坡度、坡角、坡面概念的理解。
教学过程:
1、复习回顾:
修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面坡度(或坡比).记作i,即i=.
坡度通常写成1∶m的形式,如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作a,有i==tana。
显然,坡度越大,坡角a就越大,坡面就越陡
2、探究新课:
如图,铁路路基的横断面是等腰梯形ABCD,路基上底宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡的坡度为1:
1.6.求路基的下底宽(精确到0.1)与斜坡的坡角。
解:
因而,铁路路基下底宽约为28.4,坡角约为32°.
3、例题:
如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°
♦1)求坡角∠ABC的大小;
♦
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3).
解:
如图,过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.
1)
∴∠ABC≈13°.
答:
坡角∠ABC约为13°.
2)
答:
修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.
4、练习:
如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=180mm,燕尾槽的尝试是70mm,求它的里口宽BC(结果精确到1mm).
5、小结:
本节课从对坡度、坡角、坡面概念的复习,了解坡度与坡面陡峭程度的关系。
学会解决堤坝等关于斜坡的实际问题,提高解决实际问题的能力。
6:
作业:
课本113页6
2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).
3、如图,沿水库拦水坝的背水坡将坝面加宽两米,坡度由原来的1:
2改成1:
2.5,已知原背水坡长BD=13.4米,
求:
(1)原背水坡的坡角宽后的背水坡的坡角;
(2)加宽后水坝的横截面面积增加了多少?
(精确到0.01)
7、个性化设计与反馈:
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- 沪科版九年级数学上册 第23章 232 解直角三角形及其应用 导学案 沪科版 九年级 数学 上册 23 直角三角形 及其 应用